Listy zadań nr 5-6

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, 2011/12
Wydział Elektroniki
Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Listy zadań nr 5 - 6
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Lista 5. Zmienne losowe dwuwymiarowe. Rozkłady łączne, brzegowe.
Niezależność zmiennych losowych. Momenty. Współczynnik korelacji.
Sumowanie niezależnych zmiennych losowych. Prawo wielkich liczb.
Zadanie 5.1
(a) Wektor losowy (X, Y ) ma następujący rozkład łączny:
P (X = 0, Y = −1) = C; P (X = 0, Y = 0) = 0; P (X = 0, Y = 1) = 0, 15;
P (X = 1, Y = −1) = P (X = 1, Y = 0) = 0, 25; P (X = 1, Y = 1) = 0, 2.
Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzegowe tego wektora losowego. Czy X i Y są niezależne?
(b) Znaleźć rozkład łączny wektora losowego (X, Y ), gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
P (X = 1) = 0, 3; P (X = 2) = 0, 7;
P (Y = 0) = 0, 75; P (Y = 1) = 0, 25.
Zadanie 5.2
(
8 3
y (5x
9
+ 2) dla 0 < x < 1, 0 < y < 1
jest gęstością wektora losowego
0
poza tym.
(X, Y ). Obliczyć P ((X, Y ) ∈ ∆), gdzie ∆ to obszar 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ x ¬ 2y. Wyznaczyć
rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ). Czy X i Y są niezależne?
(a) Funkcja f (x, y) =
(
e−x−y dla x > 0, y > 0
jest gęstością wektora losowego (X, Y ). Obli0
poza tym.
czyć P (1 < X < 2, −1 < Y < 1). Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ). Czy
X i Y są niezależne?
(b) Funkcja f (x, y) =
(
∗
C dla (x, y) ∈ K
gdzie K to półokrąg o środku
0 poza tym,
w punkcie (0, 0) i promieniu 1, położony nad osią Ox, była gęstością pewnego wektora losowego
(X, Y ). Obliczyć następnie P (X 2 + Y 2 ¬ 1/4). Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego
(X, Y ). Czy X i Y są niezależne?
(c) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f (x, y) =
(d) Dobrać stałą C tak, aby funkcja
(
f (x, y) =
Cxy(2 − x − y) dla 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1,
0
poza tym
była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Obliczyć następnie P ((X, Y ) ∈ ∆), gdzie ∆
to trójkąt 0 ¬ x ¬ 1/2, 0 ¬ y ¬ x. Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ).
1
Zadanie 5.3
Wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych oraz macierz kowariancji wektora losowego (X, Y ) o podanym rozkładzie. Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y , które są składowymi
tego wektora.
xn
yk
(a) −1
0
1
0
1
0, 15 0, 25 ;
0
0, 25
0, 15 0, 2
xn
yk
(b)
0
1
1
2
0, 225 0, 525
0, 075 0, 175
(
(c) rozkład o gęstości f (x, y) =
8 3
y (5x
9
0
(
(d) rozkład o gęstości f (x, y) =
e−x−y dla x > 0, y > 0
0
poza tym.
(
∗
+ 2) dla 0 < x < 1, 0 < y < 1
poza tym.
2
π
dla (x, y) ∈ K
gdzie K to półokrąg o środku w punkcie
0 poza tym,
(0, 0) i promieniu 1, położony nad osią Ox.
(e) rozkład o gęstości f (x, y) =
(
(f) rozkład o gęstości f (x, y) =
6xy(2 − x − y) dla 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1,
0
poza tym.
Czy X i Y są niezależne?
Zadanie 5.4
(a) Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy Exp(3), a Y rozkład
normalny N (2, 3). Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 3X − 5Y − 3.
(b) Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład Poissona P(3), a Y rozkład
Bernoulliego B(10; 0, 2). Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej
Z = 3X − 5Y + 7.
(c) Niech Y = X +2N , gdzie X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p = 0, 3; a N ma rozkład
normalny N (0, 2), przy czym zmienne losowe X i N są niezależne. Obliczyć współczynnik
korelacji ρXY .
Zadanie 5.5
(a) Zmienne losowe X1 , X2 , . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie wykładniczym Exp(2).
X1 + . . . + Xn
Do czego jest zbieżna średnia arytmetyczna
? W sensie jakiej zbieżności?
n
(b) Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
jednostajnym U(0, 1). Zdefiniujmy
(
Zn =
0
dla n = 1, 3, 5, . . .
Xn dla n = 2, 4, 6, . . .
n
1X
Zi równa jest 0,25 czy 0,5 z prawdopodobieństwem 1? Odpowiedź uzan→∞ n
i=1
Czy granica lim
sadnić.
2
Lista 6. Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a. Centralne
Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Lévy’ego.
Zadanie 6.1
(a) W pewnym dużym okręgu wyborczym ma zostać przeprowadzone referendum w sprawie budowy elektrowni atomowej. Wśród uprawnionych do głosowania mieszkańców 45% popiera tę
inwestycję, a 55% jest przeciw. Na podstawie tw. Moivre’a–Laplace’a oszacować, jakie jest
prawdopodobieństwo odrzucenia projektu w referendum, w których weźmie udział tylko 200
osób wybranych losowo. Oszacować błąd przybliżenia.
(b) Jeśli gracz wyrzuci kostką 6 oczek, to wygrywa 4 zł. Jeśli nie, przegrywa 1 zł. Oszacować
prawdopodobieństwo tego, że w 1000 rzutach gracz przegra co najwyżej 20 zł. Oszacować błąd
przybliżenia.
(c) W pewnym towarzystwie ubezpieczeniowym jest ubezpieczonych 100000 samochodów. Każdy
z właścicieli płaci roczną składkę 50 zł za samochód. Średnio 9 na 1000 samochodów ulega
uszkodzeniu w ciągu roku. Właścicielowi uszkodzonego pojazdu towarzystwo wypłaca 5000 zł.
Na podstawie tw. Moivre’a–Laplace’a oszacować, jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu
roku towarzystwo nie poniesie strat. Oszacować błąd przybliżenia.
(d) Prawdopodobieństwo, że dowolna osoba odpowie na przesłaną pocztą reklamę i zamówi towar,
wynosi 0,03. Reklamę wysłano do 200 osób. Na podstawie tw. Moivre’a–Laplace’a oszacować
prawdopodobieństwo, że (1) dokładnie 5 osób, (2) mniej niż 5 osób przyśle zamówienia. Oszacować błąd przybliżenia. Porównać wyniki z otrzymanymi w zadaniu 7.3(a) metodą dokładną
i przybliżoną z tw. Poissona.
Zadanie 6.2
(a) Czas oczekiwania na tramwaj linii 14 jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o średniej
20 minut. Pan Piotr codziennie w dni robocze dojeżdża nim do pracy. Oszacować na podstawie
CTG Lindeberga–Lévy’ego prawdopodobieństwo, że pan Piotr traci w ciągu 160 kolejnych dni
roboczych na czekanie na tramwaj linii 14 więcej niż 2500 minut.
(b) Czas pracy lampy pewnego typu ma rozkład wykładniczy o średniej 100 dni. Na podstawie
tw. Lindeberga–Lévy’ego oszacować, czy wystarczy mieć w zapasie 169 lamp, aby z prawdopodobieństwem 0,9 wystarczyło ich na 15000 dni nieprzerwanej pracy. (Przyjmujemy, że spalona
lampa jest natychmiast wymieniana na nową.)
(c) Pewna konstrukcja składa się ze 500 jednakowych elementów. Na podstawie CTG Lindeberga–
Lévy’ego oszacować prawdopodobieństwo, że całkowita masa tej konstrukcji nie przekroczy
1755 kg, jeśli rozkład masy elementów, z których jest złożona, ma wartość oczekiwaną 3,5 kg i
odchylenie standardowe 0,5 kg?
(d) Samolot zabiera na pokład 70 osób. Waga pasażerów ma pewien rozkład o wartości oczekiwanej
75 kg i wariancji 25 kg2 . Oszacować na podstawie CTG Lindeberga–Lévy’ego prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów przekroczy 5300 kg.
(e) W grupie studenckiej przeprowadza się test, w którym można uzyskać do 100 punktów. Średni wynik uzyskiwany przez studenta wynosi 40 pkt, a wariancja 202 . Wyniki studentów są
niezależne i o takim samym rozkładzie. Oszacować na podstawie CTG Lindeberga–Lévy’ego
prawdopodobieństwo tego, że przeciętna liczba punktów przypadająca na jednego studenta w
grupie 150 osób zawiera się w przedziale od 35 do 45 pkt.
3
Odpowiedzi i wskazówki:
Lista nr 5:
xn
0
1
yk
−1
0, 15 0, 25
5.1 (a) C = 0, 15;
0
0
0, 25
1
0, 15 0, 2
r.brzeg.X 0, 3 0, 7
xn
1
2
r.brzeg.
yk
Y
0, 225 0, 525
0, 75
(b) 0
1
0, 075 0, 175
0, 25
P
r.brzeg.X
0, 3
0, 7
=1
r.brzeg.
Y
0, 4
; X i Y nie sa niezależne;
0, 25
0, 35
P
=1
(
5.2 (a) P ((X, Y ) ∈ ∆) =
(
2123
2160
≈ 0, 9829; fX (x) =
(2/9)(5x + 2) dla 0 < x < 1,
, fY (y) =
0
dla pozostalych x.
4y 3 dla 0 < y < 1,
, X i Y są niezależne;
0
dla pozostalych y.
(b) P (1 < X < 2, −1 < Y < 1) =
e2 −2e+1
e3
(
≈ 0, 1470; fX (x) =
e−x dla x > 0,
,
0
dla pozostalych x.
(
e−y dla y > 0,
, X i Y są niezależne;
0
dla pozostalych y.
( √
2
1 − x2 dla − 1 < x < 1,
2
2
2
(c) C = π ; P (X + Y ¬ 0, 25) = 0, 25; fX (x) = π
,
0
dla
pozostalych
x.
( √
4
1 − y 2 dla 0 < y < 1,
fY (y) = π
; X i Y nie są niezależne;
0
dla pozostalych y.
(
4x − 3x2 dla 0 < x < 1,
(d) C = 6; P ((X, Y ) ∈ ∆) = 0, 0625; fX (x) =
,
0
dla pozostalych x.
(
4y − 3y 2 dla 0 < y < 1,
fY (y) =
0
dla pozostalych y.
fY (y) =
"
5.3 (a) (EX, EY ) = (0, 7; −0, 05); macierz kowariancji to
#
0, 21 −0, 015
;
−0, 015 0, 7475
−0, 015
√
ρXY = √
≈ −0, 0379;
0, 21 0, 7475
"
#
0, 21
0
(b) (EX, EY ) = (1, 7; 0, 25); macierz kowariancji to
; ρXY = 0;
0
0, 1875
"
#
109/1458
0
(c) (EX, EY ) = (16/27; 4/5); macierz kowariancji to
; ρXY = 0;
0
2/75
#
"
1 0
(d) (EX, EY ) = (1; 1); macierz kowariancji to
; ρXY = 0;
0 1
"
#
0, 25
0
4
(e) (EX, EY ) = (0; 3π ); macierz kowariancji to
; ρXY = 0
2
0 " 9π36π−16
2
#
43/720 −1/144
(f) (EX, EY ) = (7/12; 7/12); macierz kowariancji to
;
−1/144 43/720
ρXY = −5/43 ≈ −0, 1163 6= 0, więc X i Y nie są niezależne;
4
√
5.4 (a) EZ = −12, D2 Z = 226; (b) EZ = 6, D2 Z = 67; (c) ρXY = 0, 21/ 0, 21 · 16, 21 ≈ 0, 1138
5.5 (a) do 4/3 z prawdop. 1; (b) do 0,25.
Lista nr 6:
6.1 (a) 0, 9319 ± 0, 06; (b) 0, 0064 ± 0, 05; (c) 0, 9996 ± 0, 03; (d) (1) 0, 1492 ± 0, 64; (2) 0, 2676 ± 0, 32
6.2 (a) ≈ 0, 9972; (b) tak; (c) ≈ 0, 6736; (d) ≈ 0, 1170; (e) ≈ 0, 9978
5