pobierz

Zadania z algebry liniowej - sem. I
Macierze i układy równań
Stwierdzenie 1. Dwa układy równań postaci


a11 x1



 a21 x1
..


.


 a x
m1 1
a12 x2
a22 x2
+
+
+ ... +
+ ... +
a1n xn
a2n xn
=
=
b1
b2
,
+ am2 x2 + ... + amn xn = bm
gdzie aij , bi ∈ R dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,
są nazywane równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań.
Następujące operacje prowadzą do układu równoważnego:
• przestawienie dowolnych dwóch równań,
• pomnożenie dowolnego równania przez liczbę różną od zera,
• dodanie stronami do dowolnego równania układu innego równania pomnożonego przez
liczbę różną od zera (bez usuwania żadnych równań).
Zadanie 1. Rozwiązać podane układy równań:
(
a)
b)
2x + y = 3
,
y − 5x = −4


 2x + 4y + 5z = 7
(
g)
3x + y − z = 1 ,


2x + y = 1
h)
c)


 x−z =5
x+y =4 ,

 y + z = −1
i)



x + y + 4z = 5
2x + y − 7z = 1 ,
d)


−3x − y + 18z = 3
e)


 x−z =5
f)
x + y = 10
,
x−y =4
k)
m)
x − 3y − 4z = 4 ,


3y − z = −4


 x+y+z =3
x−y =3
2x + z = 3
,
x − z = 18
y − x = 12


 x+y+z =3


2x + 3y = 5 ,
y−z =0
1
o)
,
x−y+z =2
−x + y = −1 ,


2x + y − z = 13


 x−y+z =1
x+z =4
,

 x+y−z =3
n)


 2x + 2y + 2z = 18


x+y =4 ,

 y + z = −2
(
2x + 6y = 4
,
x + 3y = 2


 2x + 3y + 4z = 11


j)
l)






x + z = −3
x+y =2 ,

 x+y−z =3


 x + z + t = −1


x+y+t=2 ,
x + y = −3


x + y + z + t = 18


 x + 2y − t = 36
p)
,

x + y − 3t = 18



x − z = 36


x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 10


 4x + x + 2x + 3x = 10
1
2
3
4
q)
,
 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 10



s)

x + y + z = 15





x
 − z + 2y = 15
t − u = 10
,



t + u + x = 15



2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 10
t + y − z = 25


3x1 − x2 + x3 − 2x4 = 0


 x + 3x − 2x = −12
1
2
3
r)
,

x
+
x
−
2x
1
3
4 = −5



t)

x+y+z+t=4





 x−z+y =1






x1 + x2 + x3 + x4 = 4
t−u=0
.
t+u+x=3
x+y−z+t=2
Odpowiedzi: a) (x, y) = (1, 1), b) (x, y, z) = (−3, 7, −3), c) (x, y, z) = (α, 4−α, α−5), α ∈ R,
β+4
d) (x, y, z) = (β, 39−15β
11 , 11 ), β ∈ R, e) (x, y, z) ∈ ∅, f) (x, y) = (7, 3), g) x = 2 − 3α, y = α, α ∈
R, h) (x, y, z) = (5, −1, 1), i) (x, y, z) ∈ ∅, j) (x, y, z) = (5, 17, −13), k) x = 1, y = 1, z = 1,
l) (x, y, z) = (5, 4, 1), m) (x, y, z) = (2, 3, 2), n) (x, y, z) = (−2, 4, −1), o) x = α, y = −α − 3,
z = −α − 6, z = 5, α ∈ R, p) (x, y, z, t) = (4, 0, 10, −16), q) (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 1, 1, 1),
r) (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, −3, 2, 4), s) (x, y, z, t, u) = (−9, 16, 8, 17, 7), t) (x, y, z, t, u) = (1, 1, 1, 1, 1).
Definicja 1. Prostokątną tablicę złożoną z liczb aij , gdzie:
i ∈ {1, ..., m} oznacza numer wiersza, a j ∈ {1, ..., n} numer kolumny (m, n ∈ N+ ),
nazywamy macierzą rozmiaru m × n.
Liczbę aij nazywamy wyrazem macierzy A = [aij ].



A=


a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
am1 am2
...
amn






Zbiór macierzy wymiaru m × n oznaczamy Mm×n .
Definicja 2. Na macierzach możemy wykonywać następujące operacje:
• dodawanie macierzy A = [aij ] ∈ Mm×n , B = [bij ] ∈ Mm×n :
C = A + B, gdzie C = [cij ] = [aij + bij ],
• mnożenie macierzy A = [aij ] ∈ Mm×n przez liczbę α ∈ R:
αA = [α ∗ aij ],
• mnożenie macierzy A = [aij ] ∈ Mm×n przez macierz B = [bij ] ∈ Mn×k :
C = A∗B ∈ Mm×k , gdzie C = [cij ] = [ai1 ·b1j +ai2 ·b2j +...+ain ·bnj ] =
" n
X
k=1
2
#
aik · bkj .
Twierdzenie 1. Własności dodawania macierzy i mnożenia przez skalar
(dla A, B, 0 = [0] ∈ Mm×n , α ∈ R):
• A + B = B + A,
• α(A + B) = αA + αB,
• A + (B + C) = (A + B) + C,
• (α + β)A = αA + βA,
• A + 0 = A,
• 1 · A = A,
• A + (−1)A = 0,
• (αβ)A = α(βA).
Zadanie 2. Udowodnić powyższe własności.
Twierdzenie 2. Własności mnożenia macierzy:
• dla A ∈ Mm×n , B, C ∈ Mn×k :
A(B + C) = AB + AC,
• dla A, B ∈ Mm×n , C ∈ Mn×k :
(A + B)C = AC + BC,
• dla A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×k , α ∈ R:
A(αB) = (αA)B = α(AB),
• dla A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×k , C ∈ Mk×l :
(AB)C = A(BC),
• dla A ∈ Mm×n , In = diag(1, ..., 1) ∈ Mn×n , Im = diag(1, ..., 1) ∈ Mm×m :
AIn = Im A = A.
Zadanie 3. Udowodnić powyższe własności.
Zadanie 4. Wyliczyć wszystkie możliwe iloczyny macierzy podanych w przykładzie:
a)
"
A=
#
−1 2 0
1 4 −2




−5 2 1
3




, B =  −3 0 0  , C =  −4  ,
−1 2 1
1
b)
"
A=
3 1
−4 1
#
"
, B=
1 0
0 1
#
"
, C=
1 15
0 0


#
,
c)




1 −1 1
1 0 1
1 2
3






A =  −1 1 −1  , B =  0 1 0  , C =  2 0 −1  .
1 −1 1
0 0 1
3 −1 2
3
Zadanie 5. Znaleźć macierz X:
(I) X = 3A − 2A ∗ B,
(II) X = B 2 − B,
(III) X = −2C + 32 B ∗ C,
mając dane macierze z poprzedniego zadania.
Definicja 3. Niech A = [aij ] ∈ Mm×n . Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz AT = [aji ] ∈ Mn×m , tzn. kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się
kolejnymi kolumnami macierzy transponowanej.
Zadanie 6. Dane są macierze:






"
#
1 1
2 −3 1
0 1 1
2 0 1






, D =  1 0 .
A =  0 0 −1  , B =  1 0 −2  , C =
1 1 −2
0 3
3 2
1
0 0 0
Znaleźć:
a) A2 ,
j) (CD)2 ,
s) (B − A)T ,
b) A3 ,
k) DC,
t) B T − AT ,
c) B 3 ,
l) DCA,
u) (B − A)T (DC)T ,
d) AB
m) DCBA,
e) BA
n) DCAB,
f) ABA,
o) (DC)2 ,
g) BAD,
p) AT B,
h) BADC,
q) (BA)T ,
y) DT C T ,
i) CD,
r) B T AT ,
z) DT − 2C,
v) (B − DC)T A,
w) (AT − B)C T ,
x) (2A − 3B)(DC)T ,
o ile taka macierz istnieje.
Zadanie 7. Dane są macierze:




5
4 9
4 −3 1




A =  −2 3 1  , B =  4 −3 1  .
1 −1 0
−4 3 −1
Pokazać, że AB = 0 oraz BA 6= 0.
Jak wyglądają macierze A2 , B 2 ?
4
Zadanie 8. Rozwiązać równania
"
a) X ·
1 0
1 1
#
"
=
#
"
1 1
,
0 1
b)
XT
·
2 1
0 3
#
"
=
#
2 −2
,
6 1
bez obliczania macierzy odwrotnej.
Zadanie 9. Niech A, B ∈ Mn×n . Rozpatrzmy równości:
AB = BA
(I)
(II)
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2
a) Czy równości te są prawdziwe?
b) Podaj przykład macierzy spełniających te równości.
c) Jeśli podane równości nie zachodzą dla wszystkich macierzy A, B ∈ Mn×n ,
podaj kontrprzykład.
Bibliografia:
1. K. Jankowska, T. Jankowski, Zbiór zadań z matematyki, PG, Gdańsk 2006.
2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2001.
3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 2001.
4. A. Romanowski, Algebra liniowa, PG, Gdańsk 2007.
5. J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, PWN, Warszawa 2008.
6. J. Topp, Algebra liniowa, PG, Gdańsk 2005.
5