Stochastyczne modele rynków finansowych - rozdział 1

Cześć
¾ I
Czas dyskretny
Kursy otwarcia czy zamkniecia
¾ pojawiaja¾sie¾ w kolejnych ustalonych momentach czasu. Jeśli pominiemy dni wolne od handlu otrzymamy ciag
¾ kolejnych
momentów pojawiania sie¾ notowań (0; h; 2h; 3h; :::), gdzie za h przyjmujemy
zwykle 1=252, gdyz· w roku jest oko÷o 252 dni transakcyjnych na gie÷dzie. Moment czasu t = 0 wygodnie jest przyjać
¾ za poczatek
¾ notowań lub poczatek
¾
inwestycji. Dla wygody zapisu przyjmujemy, z·e notowania pojawiaja¾ sie¾
w dyskretnych momentach czasu ponumerowanych kolejnymi nieujemnymi
liczbami ca÷
kowitymi tj. (0; 1; 2; 3; ::::).
W rozwaz·anych modelach rynku wystepuj
¾ a:
¾ walor pozbawiony ryzyka
np. obligacja, lokata bankowa (przy sta÷ej i znanej stopie procentowej) oraz
walor ryzykowny np. akcja, waluta, z÷oto (ogólnie dowolne dobro, którego
cena w przysz÷
ości nie jest obecnie znana). Dla ustalenia uwagi ograniczamy
rozwaz·ania do obligacji i akcji.
Pomocne w studiowaniu niniejszego rozdzia÷u moga¾ okazać sie¾ pozycje
[2], [3] i [4] z proponowanej literatury.
1
Modele o jednym okresie
1.1
Model dwumianowy
Model dwumianowy moz·liwie najbardziej upraszcza rzeczywistość zachowujac
¾ jednocześnie stochastyczny charakter zmian cen5 . Model dopuszcza dwa
moz·liwe scenariusze zachowania sie¾ akcji, które zwykle utoz·samiane sa¾ ze
wzrostem lub spadkiem cen akcji.
Ograniczanie zachowania sie¾ ceny do informacji mówiacej
¾ wy÷acznie
¾
o
wzroście lub spadku jest surowe, ale pamietajmy,
¾
z·e informacja o tym, z·e
cena akcji spadnie (wzrośnie) bywa wystarczajaca
¾ do podjecia
¾ decyzji o inwestycji.
W tym rozdziale rozwaz·amy dwa momenty czasu: t = 0 oraz t = T .
Niech cene¾ instrumentu ryzykownego opisuje proces stochastyczny S indeksowany elementami zbioru f0; T g. Przy czym S(0) jest wielkościa¾znana¾(deterministyczna).
¾ Natomiast przysz÷a cena S (T ) jest nieznana, a ściślej jest
zmienna¾ losowa.
¾ Model dwumianowy dopuszcza dwa moz·liwe scenariusze
(zdarzenia), a tym samym dwie moz·liwe ceny, stad
¾ zbiór zdarzeń elementarnych (zbiór wyników) jest dwuelementowy. Wygodnie jest zde…niować
jako zbiór moz·liwych stóp zwrotu:
= fU; Dg .
5
Jedyny prostszy model to model deterministyczny, który zak÷ada, z·e cena akcji jest
stale taka sama.
6
Wówczas
gdzie
S (T ) : fU; Dg ! S U (T ) ; S D (T ) ,
S D (T ) = S (0) (1 + D)
S U (T ) = S (0) (1 + U )
przy czym 1 + U zwyk÷
o sie¾ interpretować jako wspó÷czynnik wzrostu (ang.
up), a 1 + D jako wspó÷
czynnik spadku (ang. down). Cena akcji rośnie lub
spada z odpowiednim prawdopodobieństwem P . Przyjmijmy, z·e:
P (fU g) = p; P (fDg) = 1
p, gdzie 0 < p < 1.
Sytuacja, w której p = 0 lub p = 1 oznacza model z jedna¾ cena,
¾ który nie
jest dla nas interesujacy
¾ (nie jest modelem dwumianowym). Dla wygody
bedziemy
¾
zapisywać P (f!g) jako P (!). Formalnie P jest odwzorowaniem,
którego dziedzina¾ jest rodzina podzbiorów :
F = f;; fU g ; fDg ; g ;
przy czym
P (;) = 0, P ( ) = 1.
Zauwaz·my, z·e F jest cia÷
em (formalna de…nicja znajduje sie¾ w kursie Metody
Matematyczne). Liczba p, określajaca
¾ prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia
! = U , jednoznacznie wyznacza prawdopodobieństwo P . Moz·na zatem
utoz·samiać p z P i na odwrót.
Niech K bedzie
¾
zmienna¾ losowa¾ oznaczajac
¾ a¾ stope¾ zwrotu z inwestycji
w instrument ryzykowny, zatem
K=
U z prawdopodobieństwem p
D z prawdopodobieństwem 1
p
Dla ustalenia porzadku
¾
zak÷adamy, z·e:
D < U.
Poniewaz· cena nie moz·e przyjmować wartości ujemnej, zatem
1 < D.
Ostatecznie przyjmuje sie:
¾
1 < D < U.
Zilustrujmy na diagramie dynamik¾
e ceny akcji:
S (0) (1 + U )
S (0)
%
&
S (0) (1 + D)
7
Przyk÷
ad 3 Niech S (0) = 100; U = 0; 1; D =
0; 2
100 (1 + 0; 1) = 110
100
%
&
100 (1 + ( 0; 2)) = 80
Uwaga 1 U oraz D kojarzone sa¾zwykle ze wzrostem (U > 0) oraz spadkiem
ceny (D < 0) w porównaniu z poczatkow
¾
a¾ cena¾ akcji S (0), ale w ogólnej
sytuacji tak by´c nie musi. Poni·zszy przyk÷ad ilustruje taka¾ sytuacje.
¾
Przyk÷
ad 4
S (0) = 100; U =
0; 1; D =
0; 2; T = 1
S D (1) = 100 (1 + ( 0; 2)) = 80
S U (1) = 100 (1 + ( 0; 1)) = 90
1.1.1
Strategie inwestycyjne
Za÷
óz·my, z·e na rynku handluje sie¾ akcja¾ S. Dostepna
¾
jest równiez· inwestycja w pozbawiony ryzyka instrument A z rynku pienie¾z·nego - jest to tzw.
rachunek rynku pienie¾z·nego (ang. money market account) realizowany przez
obligacje.
¾
Przez A (0) i A (T ) bedziemy
¾
rozumieć wartość jednostki instrumentu A
odpowiednio w chwilach t = 0 i t = T . Przyjmijmy, z·e A (T ) = A (0) (1 + R),
gdzie R jest wolna¾ od ryzyka stopa¾ procentowa.
¾ Dla ustalenia uwagi zak÷adamy, z·e A (0) = 1.
Liczbe¾ posiadanych w portfelu akcji oznaczać bedziemy
¾
przez x, a liczbe¾
jednostek rynku pienie¾z·nego przez y. Portfel inwestycyjny bedziemy
¾
utoz·samiać
z para¾ liczb (x; y). Wartość portfela oznaczymy przez Vx;y . Wielkość ta zalez·y od wartości akcji i jednostki rynku pienie¾z·nego, stad:
¾
Vx;y = xS + yA.
W danym momencie czasu trwania inwestycji wartość portfela wynosi
Vx;y (0) = xS (0) + yA (0)
oraz
Vx;y (T ) = xS (T ) + yA (T ) .
Poniewaz· cena akcji w chwili t = T jest losowa, stad
¾ wartość portfela w
chwili t = T jest zmienna¾ losowa¾ przyjmujac
¾ a¾ wartość:
!
Vx;y
(T ) = xS ! (T ) + yA (T )
8
z prawdopodobieństwem P (!), a konkretnie:
Vx;y (T ) =
xS U (T ) + yA (T )
.
xS D (T ) + yA (T )
Zak÷
adamy, z·e ceny walorów w dowolnej chwili czasu sa¾ liczbami dodatnimi:
S (0) > 0; S (T ) > 0; A (0) > 0; A (T ) > 0.
Dla wygody prowadzenia rachunków zak÷adamy, z·e liczby posiadanych
walorów moga¾ być dowolnymi liczbami rzeczywistymi tzn.:
x 2 R i y 2 R.
Zauwaz·my, z·e liczba posiadanych akcji czy obligacji moz·e być np. u÷amkiem.
Innymi s÷
owy za÷
oz·yliśmy tzw. (doskona÷a)
¾ podzielność walorów. Powyz·sze
za÷
oz·enie wymaga dodatkowego komentarza. Podzielność walorów próbuje
sie¾ uzasadniać t÷
umaczac,
¾ z·e inwestor zwykle zakupuje/posiada pakiety akcji
czy obligacji, zatem ma sens mówić o 41 pakietu walorów z÷oz·onego ze 100
sztuk, tzn. 25 akcji czy obligacji. Jednak
nie da sie¾ w ten sposób wyt÷up
maczyć posiadania np. cześci
¾ równej 2 lub 57 z pakietu 100 akcji. Za÷oz·enie
podzielności walorów wprowadza sie¾ dla wygody prowadzenia rachunków.
Jeśli wielkości x lub y sa¾ ujemne to oznacza, z·e zajeliśmy
¾
pozycje krótkie
w danych walorach. Jeśli wielkości x lub y sa¾ dodatnie to oznacza to, z·e
zajeliśmy
¾
pozycje d÷
ugie.
Wprowadźmy, zapowiedziana¾ we wstepie,
¾
formalna¾ de…nicje¾ arbitraz·u:
De…nicja 1 Istnieje mo·zliwo´s´c arbitra·zu (krócej: istnieje arbitra·z) je´sli istnieje portfel arbitra·zowy (x; y) taki, ·ze Vx;y (0) = 0, Vx;y (T )
0 oraz z
dodatnim prawdopodobie´nstwem V (T ) > 0.
Uwaga 2 Warunek: V (T ) > 0 z dodatnim prawdopodobie´nstwem oznacza,
z·e V U (T ) > 0 lub V D (T ) > 0.
Istnieje wygodny sposób na sprawdzenie istnienia moz·liwości arbitraz·u:
Twierdzenie 2 Brak arbitra·zu równowa·zny jest warunkowi D < R < U .
Dowód.
Etap I: Udowodnijmy, z·e jeśli moz·liwość arbitraz·u nie istnieje to prawdziwy
jest warunek D < R < U .
a) Przypuśćmy, z·e R D:
S(0)
S(0)
Niech (x; y) = 1; A(0)
, wówczas V1; S(0) (0) = S (0) A(0)
A (0) = 0. W
A(0)
9
chwili t = T wartość portfela wynosi:
V1;
S(0)
A(0)
S (0)
(T ) = S (T )
A (T ) =
A (0)
(
)
S U (T ) S (0) A(T
A(0)
=
)
S D (T ) S (0) A(T
A(0)
=
Ostatecznie V1;
S (0) (U
S (0) (D
S(0)
A(0)
(T )
z prawdopodobieństwem p
z prawdopodobieństwem 1
R) z prawdopodobieństwem p
R) z prawdopodobieństwem 1
p
p
.
0. Natomiast gdy ! = U , co zachodzi z praw-
dopodobieństwem p > 0; wówczas V1;
(T ) > 0. Otrzymujemy sprzeczność
S(0)
A(0)
z brakiem arbitraz·u.
b) Przypuśćmy, z·e U R:
S(0)
Niech (x; y) =
1; A(0)
, wówczas V
S(0)
1; A(0)
(0) =
S (0) +
S(0)
A(0) A (0)
= 0.
W chwili t = T wartość portfela wynosi:
V
S(0)
1; A(0)
(T ) =
=
S (0)
A (T )
A (0)
S (0) (1 + K) + S (0) (1 + R)
S (T ) +
= S (0) (R
K)
0.
Natomiast gdy ! = D, co zachodzi z prawdopodobieństwem 1 p > 0;
wówczas V 1; S(0) (T ) > 0. Otrzymujemy sprzeczność z brakiem arbitraz·u.
A(0)
Etap II: Udowodnijmy, z·e jeśli prawdziwy jest warunek D < R < U , to nie
istnieje moz·liwość arbitraz·u.
Rozwaz·my dowolny portfel (x; y), dla którego Vx;y (0) = 0, stad:
¾
xS (0) + yA (0) = 0
y=
xS (0)
.
A (0)
Wartość portfela w chwili t = T wynosi:
Vx;y (T ) = xS (T ) + yA (T )
xS (0)
= xS (T )
A (T )
A (0)
S (0) x (U R)
=
.
S (0) x (D R)
Rozwaz·my nastepuj
¾ ace
¾ przypadki:
jeśli x = 0, to Vx;y (T ) = 0 z prawdopodobieństwem 1,
10
jeśli x > 0, to
Vx;y (T ) =
S (0) x (U
S (0) x (D
R) > 0
,
R) < 0
Vx;y (T ) =
S (0) x (U
S (0) x (D
R) < 0
.
R) > 0
jeśli x < 0, to
Zatem nie ma moz·liwości arbitraz·u.
Uwaga 3 Za÷o·zenie prawdziwo´sci warunku D < R < U jest rozsadne
¾ (podobnie jak za÷o·zenie braku arbitra·zu). Gdyby D < U
R, wówczas nikt
nie by÷by zainteresowany zakupem akcji, która w ka·zdej z mo·zliwych sytuacji przynosi÷aby zysk nie wiekszy
¾
ni·z inwestycja pozbawiona ryzyka, a to
narusza÷oby za÷o·zenie o sensowno´sci istnienia akcji (handlu akcja)
¾ na rynku.
Natomiast w przypadku R
D < U nikt nie by÷by zainteresowany posiadaniem instrumentu pozbawionego ryzyka, gdy·z jego stopa zwrotu by÷aby
nie wieksza
¾
ni·z stopa zwrotu z instrumentu ryzykownego, a to naruszy÷oby
za÷o·zenie istnienia waloru pozbawionego ryzyka na rynku.
Przyk÷
ad 5 Niech T = 1, S (0) = 210, S U (1) = 215, S D (1) = 190 oraz
R = 5%. Sprawd´zmy czy istnieje mo·zliwo´s´c arbitra·zu.
Wyznaczmy U oraz D :
S U (1) S (0)
215 210
=
S (0)
210
D
190 210
S (1) S (0)
=
D=
S (0)
210
U=
0; 024
0; 095
Poniewa·z R > U , zatem z powy·zszego twierdzenia wiadomo, ·ze w modelu
istnieje arbitra·z. Je´sli A (0) = 1, to sk÷ad portfela arbitra·zowego jest postaci:
x=
1
S (0)
y=
= 210.
A (0)
Uwaga 4 Przy zadanej warto´sci poczatkowej
¾
portfela Vx;y (0) oraz ustalonej
warto´sci inwestycji xS (0) w instrument ryzykowny, liczba jednostek inwestycji pozbawionej ryzyka jest jednoznacznie wyznaczona zale·zno´scia:¾
Vx;y (0) = xS (0) + yA (0) ,
stad
¾
y=
Vx;y (0) xS (0)
.
A (0)
11
De…nicja 2 Niech X (t) oznacza warto´s´c dowolnego waloru w chwili t, gdzie
t = 0 lub t = T . Wówczas przez zdyskontowana¾ warto´s´c X (t) rozumiemy:
e (t) = A (0) X (t) .
X
A (t)
W szczególności zachodza¾ zwiazki:
¾
1
X (T )
1+R
e (0) = X (0)
X
e (t) = A
e (0) = A (0)
A
e (T ) =
X
e (T )
Vex;y (T ) = xSe (T ) + y A
Vex;y (T ) = xSe (T ) + yA (0) .
Warto zauwaz·yć, z·e na ogó÷Se (T ) 6= S (0).
Uwaga 5 Na zmiane¾ warto´sci portfela maja¾wp÷yw zmiany warto´sci instrumentu ryzykownego i przyrost warto´sci instrumentu pozbawionego ryzyka:
Vx;y (T )
Vx;y (0) = xS (T ) + yA (T )
= x (S (T )
(xS (0) + yA (0))
S (0)) + y (A (T )
A (0))
Natomiast na zmiane¾zdyskontowanych warto´sci portfela ma wp÷yw wy÷¾
acznie
zmiana zdyskontowanych warto´sci akcji:
Vex;y (T )
1.1.2
Vex;y (0) = Vex;y (T ) Vx;y (0)
= xSe (T ) + yA (0) (xS (0) + yA (0))
= x Se (T )
S (0) .
Portfel replikujacy
¾
Niech H bedzie
¾
instrumentem …nansowym typu europejskiego tzn. jego
wyp÷
ata H (T ) w chwili T zalez·y od wartości S (T ). Przyk÷adami instrumentu H sa¾(europejskie) opcje kupna i sprzedaz·y, dla których odpowiednio:
H (T ) = max fS (T )
H (T ) = max fX
X; 0g
S (T ) ; 0g ,
gdzie X > 0 jest cena¾ wykonania opcji.
De…nicja 3 Portfel (x; y) nazywamy portfelem replikujacym
¾
instrument H,
je´sli Vx;y (T ) = H (T ).
12
De…nicja 4 Model nazywamy zupe÷nym, gdy dla dowolnego instrumentu H
istnieje portfel replikujacy.
¾
Umiejetność
¾
konstrukcji portfela replikujacego
¾
(x; y) umoz·liwia nam wyznaczenie wartości H (0), gdyz· korzystajac
¾ z zasady jednej ceny otrzymujemy
Vx;y (0) = H (0).
Przyk÷
ad poniz·ej pokazuje konkretny sposób wyznaczania portfela replikujacego.
¾
Przyk÷
ad 6 Niech S bedzie
¾
akcja,¾ dla której S (0) = 100. Wspó÷czynniki
wzrostu i spadku to odpowiednio U = 0; 1 i D = 0; 1, ponadto T = 1.
Dynamike¾ ceny akcji ilustruje poni·zszy diagram:
S (0)
100
S (1)
100 (1 + 0; 1) = 110
%
&
t=0
100 (1 + ( 0; 1)) = 90
t=1
Niech H (1) bedzie
¾
warto´scia¾opcji kupna z cena¾wykonania X = 105. Wówczas:
5; gdy ! = U
.
H ! (1) =
0; gdy ! = D
Przy stopie R = 5% wyznaczmy portfel replikujacy
¾ (x; y) instrument H.
Poczatkowa
¾
warto´s´c portfela Vx;y (0) jest suma¾pieniedzy
¾ zainwestowanych w
akcje xS (0) oraz w obligacje yA (0). Dla prostoty rozumowania przyjmujemy
A (0) = 1, stad:
¾
Vx;y (0) = xS (0) + y.
Warto´s´c Vx;y (1) wynosi wówczas:
Vx;y (1) = xS (1) + y (1 + R) .
Aby portfel by÷replikujacy
¾ musi by´c spe÷niony warunek:
Vx;y (1) = H (1)
czyli
xS U (1) + y (1 + R) = 5
.
xS D (1) + y (1 + R) = 0
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:
110x + 1; 05y = 5
.
90x + 1; 05y = 0
13
(1)
Rozwiazaniem
¾
uk÷adu sa:¾
1
x = ;y =
4
150
7
Ostatecznie portfelem replikujacym
¾
jest:
(x; y) =
1
;
4
150
7
,
którego warto´s´c poczatkowa
¾
wynosi:
Vx;y (0) = xS (0) + y
1
150
= 100
4
7
25
=
3; 57.
7
Nale·zy zwróci´c uwage,
¾ ·ze x = 14 i y = 150
¾
7 jest jedynym rozwiazaniem
uk÷adu równa´n (1), a zatem jest dok÷adnie jeden portfel replikujacy.
¾ Z zasady
jednej ceny warto´s´c Vx;y (0) = 3; 57 jest równa H (0), czyli cenie opcji.
Przygladnijmy
¾
sie¾ teraz dok÷adniej uzyskanemu portfelowi oraz strategii
replikujacej:
¾
w chwili t = 0 inwestor majac
¾ do dyspozycji 3; 57z÷po·zycza 21; 43z÷
( 150
)
i
zakupuje
akcj
e
¾
za
kwot
e¾ 25z÷.
7
w chwili t = 1 inwestor sp÷aca po·zyczona¾kwote¾wraz z odsetkami 21; 43
1; 05 = 22; 50. Warto´s´c jego portfela wynosi wówczas:
xS U (1) + y (1 + R) ; gdy ! = U
=
xS D (1) + y (1 + R) ; gdy ! = D
=
27; 50
22; 50
22; 50; gdy ! = U
22; 50; gdy ! = D
5; gdy ! = U
,
0; gdy ! = D
zatem dok÷adnie tyle, ile warto´s´c wyp÷aty opcji.
W powyz·szym przyk÷
adzie przedstawiona zosta÷a idea tworzenia portfela
replikujacego.
¾
Idee¾ te¾ moz·na uogólnić na dowolna¾ opcje¾ kupna, dla której
H (T ) = max fS (T ) X; 0g. Wówczas portfel replikujacy
¾ wyznacza sie¾ z
warunku:
Vx;y (T ) = H (T ) ,
który jest równowaz·ny uk÷
adowi równań:
xS U (T ) + yA (T ) = max S U (T )
xS D (T ) + yA (T ) = max S D (T )
14
X; 0
X; 0
.
Jeśli X S U (T ), to wartość opcji jest równa zero, zatem portfelem replikujacym
¾
jest (0; 0), a H (0) = 0. W przypadku, gdy X
S D (T ), portfelem
A(0)
X
replikujacym
¾
jest 1; A(T
X A(T
) , a H (0) = S (0)
) . W sytuacji, gdy
S D (T ) < X < S U (T ), uk÷
ad równań ma postać:
xS U (T ) + yA (T ) = S U (T )
xS D (T ) + yA (T ) = 0
X
.
Jego rozwiazaniem
¾
sa:
¾
S (0) (1 + U ) X
S (0) (U D)
(1 + D) (S (0) (1 + U )
y=
(U D) A (T )
x=
X)
Wyznaczmy teraz cene¾ portfela replikujacego,
¾
która z zasady jednej ceny
jest równa cenie instrumentu H w chwili t = 0:
H (0) = Vx;y (0)
(1 + D) (S (0) (1 + U ) X)
S (0) (1 + U ) X
S (0)
A (0)
=
S (0) (U D)
(U D) A (T )
S (0) (1 + U ) X
(1 + D) (S (0) (1 + U ) X) A (0)
=
U D
(U D)
A (T )
S (0) (1 + U ) X
1+D
=
1
.
U D
1+R
Podobne rozumowanie przeprowadza sie¾ replikujac
¾ opcje¾ sprzedaz·y. Zobaczmy
na przyk÷
adzie, jaka¾ role¾ odgrywa w powyz·szym rozumowaniu arbitraz·.
Przyk÷
ad 7 Niech T = 1, S (0) = 200, S U (1) = 220, S D (1) = 210,
A (0) = 1 oraz R = 4; 5%. Wyznaczmy portfel replikujacy
¾ dla opcji kupna z
data¾ wyga´sniecia
¾ T = 1 i cena¾ realizacji X = 215. Wspó÷czynniki wzrostu i
spadku wynosza¾ odpowiednio
U = 0; 1, D = 0; 05.
Poniewa·z S D (1) < X < S U (1), zatem sk÷ad portfela replikujacego
¾
wynosi
220 215
S (0) (1 + U ) X
=
= 0; 5
S (0) (U D)
10
(1 + D) (S (0) (1 + U ) X)
1; 05 (220 215)
y=
=
=
(U D) A (T )
0; 05 1; 045
x=
100; 48
Warto´s´c portfela replikujacego
¾
wynosi:
Vx;y (0) = xS (0) + y = 0; 5 200
15
100; 48 =
0; 48 < 0.
Czy mo·zemy przyja´c,
¾ ·ze H (0) = Vx;y (0)? Nie, bo cena by÷aby ujemna. Zasada jednej ceny gwarantowa÷a prawdziwo´s´c H (0) = Vx;y (0) : Nieuprawnione
jest korzystanie tutaj z tej zasady, a to za sprawa¾ arbitra·zu, który istnieje
poniewa·z R < D.
Uwaga 6 W sytuacji ogólnej, gdy H jest dowolnym instrumentem …nansowym, dla którego H ! (T ) = H ! , gdzie H !
0 sa¾ ustalonymi liczbami,
portfel replikujacy
¾ wyznaczamy z uk÷adu równa´n:
xS U (T ) + yA (T ) = H U
,
xS D (T ) + yA (T ) = H D
którego rozwiazania
¾
sa¾ postaci:
(
x=
y=
HU HD
S U (T ) S D (T )
(1+U )H D (1+D)H U
(U D)A(T )
.
(2)
Powy·zszy uk÷ad da sie¾ rozwiaza´c
¾ dla ka·zdego H, zatem model dwumianowy
jest modelem zupe÷nym. Przy za÷o·zeniu braku arbitra·zu, z zasady jednej ceny,
otrzymujemy warto´s´c instrumentu H w chwili t = 0:
H (0) = Vx;y (0)
=
HU
SU
(3)
HD
SD
S (0) +
(1 +
(T )
(T )
U
D
H
H
(1 + U ) H D
=
+
U D
U
1.1.3
U ) HD
D) H U
(1 +
(U D) A (T )
(1 + D) H U 1
.
D
1+R
A (0)
(4)
(5)
Zmiana prawdopodobieństwa
Jeśli chcemy zastosować model dwumianowy w praktyce, to musimy określić
parametry U , D i p. Okazuje sie,
¾ z·e w pewnych sytuacjach, takich jak
wycena instrumentów pochodnych (szczegó÷y w kursie Instrumenty Inz·ynierii
Finansowej), nieznana¾ wielkość p moz·emy zastapić
¾ inna¾ (znana)
¾ wielkościa¾
p .
De…nicja 5 Dwa prawdopodobie´nstwa P1 i P2 okre´slone na tym samym
ciele F sa¾ równowa·zne, gdy dla dowolnego A 2 F :
P1 (A) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy P2 (A) > 0.
Uwaga 7 Warto zauwa·zy´c, ·ze je´sli P1 i P2 sa¾równowa·zne, to gdy zdarzenie
A 2 F ma prawdopodobie´nstwo zero wzgledem
¾
P1 , to równie·z P2 (A) = 0 i
na odwrót.
16
Model dwumianowy dopuszcza dok÷adnie dwa moz·liwe scenariusze (ruchy
ceny). Zbiór moz·liwych scenariuszy, dziedzina prawdopodobieństwa oraz
prawdopodobieństwo P sa¾ odpowiednio równe:
= fU; Dg
F = f;; fU g ; fDg ; fU; Dgg
P (U ) = p; P (D) = 1
p, gdzie 0 < p < 1.
Jakiekolwiek inne prawdopodobieństwo P1 określone na F, które równiez·
dopuszcza÷
oby dwa scenariusze tzn.:
P1 (U ) = p1 ; P1 (D) = 1
p1 ; gdzie 0 < p1 < 1
jest równowaz·ne P , gdyz· oba sa¾ jednocześnie dodatnie:
A
;
fU g
fDg
P (A)
0
p
1 p
1
P1 (A)
0
p1
1 p1
1
Moz·emy stanać
¾ przed problemem decyzyjnym: czy zainwestować kwote¾
S (0) zakupujac
¾ akcje,
¾ czy kwote¾ S (0) ulokować w bezpiecznej inwestycji ze
sta÷a¾i znana¾stopa¾zwrotu R. Powstaje pytanie, która z inwestycji przyniesie
nam wiekszy
¾
zysk. Wartość bezpiecznej inwestycji po okresie T wyniesie:
S (0) (1 + R) .
W przypadku akcji nie moz·na być pewnym jej przysz÷ej wartości. Niemniej
jednak moz·na obliczyć jej oczekiwana¾przysz÷a¾wartość E (S (T )) korzystajac
¾
z lematu:
Lemat 1
E (S (T )) = S (0) (1 + E (K))
Dowód.
S (T ) = S (0) (1 + K)
E (S (T )) = E (S (0) (1 + K))
Korzystajac
¾ z liniowości wartości oczekiwanej otrzymujemy:
E (S (T )) = S (0) E (1 + K) = S (0) (1 + E (K)) .
17
Wstepny
¾
wybór inwestycji (nie uwzgledniaj
¾
ac
¾ ryzyka) moz·na przeprowadzić przez porównanie oczekiwanych stóp zwrotu R oraz E (K). Naturalne jest oczekiwanie rekompensaty za ryzyko, co przek÷ada sie¾ na relacje¾
E (K) > R. Przypadek E (K) < R moz·e odpowiadać sytuacji, w której
moz·liwy jest duz·y zwrot z bardzo ma÷ym prawdopodobieństwem. Natomiast sytuacja E (K) = R świadczy o równowaz·ności inwestycji w walor
ryzykowny i walor pozbawiony ryzyka na poziomie oczekiwanych stóp zwrotu.
Ten ostatni przypadek bedzie
¾
nas szczególnie interesowa÷.
Zbadajmy, kiedy zachodzi zwiazek
¾
E (K) = R. Dla dowolnej wartości
prawdopodobieństwa p 2 (0; 1) moz·emy tak dobrać wielkości U i D aby
E (K) = R. W tym celu nalez·y rozwiazać
¾ równanie:
U p + D (1
p) = R.
Mamy jedno równanie i dwie niewiadome U oraz D. Rozwiazań
¾ jest nieskończenie wiele:
R D
U =D+
, D 2 R.
p
Chcac
¾ zachować porzadek
¾
D < U ograniczamy zbiór do:
U =D+
R
D
p
, D < R:
Oczywiście moz·emy równiez· rozwiazać
¾ równanie wzgledem
¾
D:
D=U
U
1
R
, U 2 R.
p
Chcac
¾ zachować porzadek
¾
D < U ograniczamy zbiór do:
D=U
U
1
R
, R < U.
p
Uwaga 8 Uzyskane restrykcje: D < R i R < U sa¾ równowa·zne z brakiem
arbitra·zu.
Przyk÷
ad 8 Je´sli p =
wzgledem
¾
ryzyka, gdy
1
2
oraz R = 5% to model dwumianowy jest neutralny
0; 05 D
0; 5
5 100D
=D+
50
U = 0; 1 D, gdzie D < 0; 05
U =D+
Gdyby D =
1% to U = 0; 11 = 11%:
18
Powyz·sze podejście ma wade,
¾ wymaga dokonania zmiany wartości U i
D, na które w praktyce nie mamy wp÷ywu. Wielkości U i D powinny zostać
odczytane z rynku. Moz·liwe jest, na szczeście,
¾
inne podejście, które jak
sie¾ okaz·e jest dla nas bardziej interesujace.
¾
A mianowicie dla ustalonych
wielkości U i D moz·na wyznaczyć prawdopodobieństwo (równowaz·ne prawdopodobieństwu wyjściowemu) dla którego w modelu dwumianowym spe÷niony
jest warunek E (K) = R. W tym celu rozwia¾z·emy równanie:
U p + D (1
p )=R
wzgledem
¾
zmiennej p . Jest to równanie liniowe z jedna¾niewiadoma,
¾ którego
rozwiazanie
¾
istnieje i jest jedyne:
R
U
D
.
D
R D
R D
Jeśli 0 < U
D < 1, to p = U D nazywamy prawdopodobieństwem
neutralnym wzgledem
¾
ryzyka. Charakterystyki zmiennych losowych np.
wartość oczekiwana, odchylenie standardowe itp. liczone wzgledem
¾
tego
prawdopodobieństwa oznaczamy dodajac
¾ symbol :
E () ; V ar () .
Oczywiście prawdopodobieństwa P (wyznaczone przez p ) i P (wyznaczone
przez p) sa¾ równowaz·ne.
Lemat 2
E (S (T )) = S (0) (1 + R)
E
Dowód.
Se (T ) = S (0)
E (S (T )) = S (0) (1 + U ) p + S (0) (1 + D) (1
p )
Poniewaz· p jest prawdopodobieństwem neutralnym wzgledem
¾
ryzyka, zatem zachodzi:
U p + D (1 p ) = R.
Jest to równowaz·ne z:
(1 + U ) p + (1 + D) (1
p ) = 1 + R,
stad
¾ otrzymujemy:
E (S (T )) = S (0) (1 + U ) p + S (0) (1 + D) (1
E
Se (T ) = E
S (T )
1+R
p ) = S (0) (1 + R)
= S (0) .
Istnieje zwiazek
¾ miedzy brakiem arbitraz·u a prawdopodobieństwem neutralnym wzgledem
¾
ryzyka, o czym mówi poniz·sze twierdzenie.
19
Twierdzenie 3 (Pierwsze fundamentalne twierdzenie wyceny) W modelu dwumianowym brak arbitra·zu jest równowa·zny istnieniu prawdopodobie´nstwa
neutralnego wzgledem
¾
ryzyka p takiego, ·ze 0 < p < 1.
Dowód. Korzystajac
¾ z za÷
oz·enia o braku arbitraz·u udowodnimy, z·e istnieje
prawdopodobieństwo neutralne wzgledem
¾
ryzyka. Skorzystajmy z uprzednio
udowodnionego twierdzenia:
brak arbitraz·u , D < R < U
Przy za÷
oz·eniu braku arbitraz·u zachodzi:
0<
R
U
D
< 1,
D
R D
stad
¾ p = U
¾
D jest prawdopodobieństwem, a jednocześnie rozwiazaniem
równania U p + D (1 p ) = R wzgledem
¾
p . Ostatecznie z de…nicji p =
R D
¾
ryzyka.
U D jest prawdopodobieństwem neutralnym wzgledem
Wychodzac
¾ z za÷
oz·enia, z·e p jest prawdopodobieństwem neutralnym
wzgledem
¾
ryzyka oraz pamietaj
¾ ac
¾ o jedyności rozwiazania
¾
równania U p +
D (1 p) moz·na zapisać:
p =
R
U
D
2 (0; 1) .
D
Poniewaz·:
R D
, zatem D < R
U D
R D
< 1, zatem R < U
U D
Ostatecznie D < R < U , a zatem nie istnieje moz·liwość arbitraz·u.
0<
Uwaga 9 Ze wzgledu
¾ na jednoznaczno´s´c rozwiazania
¾
liniowego wypowied´z
twierdzenia mo·zna wzmocni´c zastepuj
¾ ac
¾ istnienie prawdopodobie´nstwa wyra·zeniem: istnieje dok÷adnie jedno prawdopodobie´nstwo.
Prawdopodobieństwo neutralne wzgledem
¾
ryzyka p moz·e róz·nić sie¾ od
nieznanego (rzeczywistego) prawdopodobieństwa p. W konsekwencji probabilistyczny model dwumianowy z prawdopodobieństwem p moz·e nie pokrywać sie¾ z prawdziwym (nieznanym) modelem. Pomimo tego p odgrywa
kluczowa¾ role¾ w wycenie instrumentów pochodnych, mowa tu o tzw. wycenie martynga÷
owej (szczegó÷
y w kursie Instrumenty Inz·ynierii Finansowej).
20
1.2
Model trójmianowy
W przysz÷
ości cena akcji moz·e wzrosnać,
¾ spaść lub pozostać na tym samym
poziomie w porównaniu z obecna¾ cena.
¾ Model dwumianowy w naturalny
sposób uogólnia sie¾ do modelu trójmianowego.
W modelu trójmianowym cena akcji w chwili zero S(0) jest wielkościa¾
znana.
¾ Cena akcji w przysz÷ości S (T ) jest zmienna¾ losowa¾ określona¾ na
zbiorze zdarzeń (wyników):
= fU; M; Dg ,
gdzie D < M < U , w nastepuj
¾ acy
¾ sposób:
gdzie
S (T ) : fU; M; Dg ! S D (T ); S M (T ); S U (T ) ,
S D (T ) = S (0) (1 + D)
S M (T ) = S (0) (1 + M )
S U (T ) = S (0) (1 + U ) .
Cena akcji przyjmuje konkretna¾ wartość z odpowiednim prawdopodobieństwem. Niech P bedzie
¾
prawdopodobieństwem wyznaczonym przez liczby p
i q, gdzie 0 < p; q; p + q < 1. Dziedzina¾ prawdopodobieństwa P jest rodzina
podzbiorów :
F = f;; fU g ; fM g ; fDg ; fU; M g ; fU; Dg ; fM; Dg ; g :
Stopa zwrotu K w modelu trójmianowym ma rozk÷ad prawdopodobieństwa
postaci:
8
< U z prawdopodobieństwem p
M z prawdopodobieństwem q
.
:
D z prawdopodobieństwem 1 p q
Przyk÷
ad 9 Niech S (0) = 10, S D (T ) = 9, S M (T ) = 10, S U (T ) = 12;
1
p = 4 , q = 21 . Wyznaczmy rozk÷ad K:
12 10
S U (T ) S (0)
=
= 0; 2
S (0)
10
S M (T ) S (0)
10 10
M=
=
=0
S (0)
10
S D (T ) S (0)
9 10
D=
=
= 0; 1.
S (0)
10
U=
Ostatecznie szukany rozk÷ad
8
< 0; 2
0
:
0; 1
ma posta´c:
z prawdopodobie´nstwem
z prawdopodobie´nstwem
z prawdopodobie´nstwem
21
1
4
1
2
1
4
.
Twierdzenie 4 Brak mo·zliwo´sci arbitra·zu równowa·zny jest warunkowi:
D < R < U:
Dowód.
Udowodnijmy, z·e jeśli moz·liwość arbitraz·u nie istnieje to prawdziwy jest
warunek D < R < U .
a)Przypuśćmy, z·e R D:
S(0)
S(0)
wówczas V1; S(0) (0) = S (0) A(0)
A (0) = 0. W
Niech (x; y) = 1; A(0)
A(0)
chwili t = T wartość portfela wynosi:
V1;
S(0)
A(0)
S (0)
(T ) = S (T )
A (T )
A (0)
8
< S (0) (U R) z prawdopodobieństwem p
S (0) (M R) z prawdopodobieństwem q
=
:
S (0) (D R) z prawdopodobieństwem 1
Ostatecznie V1;
S(0)
A(0)
(T )
:
p
q
0. Natomiast gdy ! 2 fM; U g, co zachodzi z
prawdopodobieństwem p + q > 0; zachodzi V1;
sprzeczność z brakiem arbitraz·u.
b) Przypuśćmy, z·e U R:
S(0)
Niech (x; y) =
1; A(0)
wówczas V
S(0)
1; A(0)
S(0)
A(0)
(0) =
(T ) > 0. Otrzymujemy
S (0) +
S(0)
A(0) A (0)
= 0.
W chwili t = T wartość portfela wynosi
V
S(0)
1; A(0)
S (0)
S (T ) +
A (T )
A (0)
8
z prawdopodobieństwem p
< S (0) (R U )
S (0) (R M )
z prawdopodobieństwem q
=
:
S (0) (R D) z prawdopodobieństwem 1 p
(T ) =
Ostatecznie V
S(0)
1; A(0)
(T )
prawdopodobieństwem 1
q
0. Natomiast gdy ! 2 fM; Dg, co zachodzi z
p > 0; zachodzi V
S(0)
1; A(0)
(T ) > 0. Otrzymujemy
sprzeczność z brakiem arbitraz·u.
Udowodnimy, z·e jeśli prawdziwy jest warunek D < R < U , to nie istnieje
moz·liwość arbitraz·u.
Rozwaz·my dowolny portfel (x; y), dla którego Vx;y (0) = 0, a zatem:
xS (0) + yA (0) = 0 ) y =
22
xS (0)
.
A (0)
Wartość portfela w chwili T wynosi:
Vx;y (T ) = xS (T ) + yA (T )
8
xS(0)
>
>
A(0) A (T )
< xS (0) (1 + U )
xS(0)
=
xS (0) (1 + M )
A(0) A (T )
>
>
xS(0)
: xS (0) (1 + D)
A(0) A (T )
8
< xS (0) (U R)
xS (0) (M R) .
=
:
xS (0) (D R)
Jeśli x = 0, to Vx;y (T ) = 0. Jeśli x > 0, to korzystajac
¾ z za÷oz·enia otrzyU
D
mujemy Vx;y (T ) = xS (0) (U R) > 0 oraz Vx;y (T ) = xS (0) (D R) < 0.
U (T ) < 0 oraz V D (T ) > 0. Zatem nie mozna stworzyć
Jeśli x < 0, to Vx;y
·
x;y
portfela arbitraz·owego.
Uwaga 10 Warunek D < R < U gwarantuje brak arbitra·zu. Warto zauwa·zy´c, ·ze nie nak÷ada on restrykcji na relacje¾ miedzy
¾ stopa¾ R i wielko´scia¾
M.
Przyk÷
ad 10 Niech S (0) = 10, U = 5%, M = 0%, D = 2%, A (0) =
1, R = 6%, T = 1, p = q = 31 . Poniewa·z nie zachodzi relacja D <
R < U , to z powy·zszego twierdzenia wynika istnienie arbitra·zu. Dowód
twierdzenia, a ´sci´slej podpunkt b), wskazuje przepis na portfel arbitra·zowy:
S(0)
(x; y) =
1; A(0)
= ( 1; 10) i wówczas V 1;10 (0) = 10 + 10 = 0. W
chwili t = 1 warto´s´c portfela jest zmienna¾ losowa:¾
8
< 0; 1, gdy ! = U
0; 6 gdy ! = M
V 1;10 (1) =
:
0; 8 gdy ! = D
o rozk÷adzie:
1.2.1
8
< 0; 1 z prawdopodobie´nstwem
0; 6 z prawdopodobie´nstwem
:
0; 8 z prawdopodobie´nstwem
1
3
1
3
1
3
.
Portfel replikujacy
¾
Niech H bedzie
¾
instrumentem, dla którego H = f (S (T )), gdzie f jest
funkcja¾ nieujemna.
¾ Sprawdźmy czy moz·na wyznaczyć portfel replikujacy.
¾
Gdyby taki portfel (x; y) istnia÷, zachodzi÷by warunek:
Vx;y (T ) = f (S (T ))
xS (T ) + yA (T ) = f (S (T )) .
23
Ostatecznie warunek jest równowaz·ny uk÷adowi trzech równań z dwiema
niewiadomymi:
8
< xS U (T ) + yA (T ) = f S U (T )
xS M (T ) + yA (T ) = f S M (T ) .
:
xS D (T ) + yA (T ) = f S D (T )
W sytuacji ogólnej uk÷
ad ten nie ma rozwiazania.
¾
8
< xS U (T ) + yA (T ) = b
xS M (T ) + yA (T ) = b , gdzie b 0
Przyk÷
ad 11 Rozwiazaniem
¾
uk÷adu
:
xS D (T ) + yA (T ) = b
b
jest sta÷¾
a, jest x = 0 i y = A(T ) . Warto´s´c portfela replikujacego
¾
wynosi
zatem xS (0) + yA (0) =
b
A(T ) A (0).
o warto´sci b w chwili T jest wart
Zauwa·zmy, ·ze walor pozbawiony ryzyka
w chwili 0.
b
A(T ) A (0)
8
< xS U (T ) + yA (T ) = b
xS M (T ) + yA (T ) = b , gdzie b
0 i
Przyk÷
ad 12 Rozwa·zmy uk÷ad
:
D
xS (T ) + yA (T ) = c
c
0 sa¾ sta÷ymi takimi, ·ze b 6= c. Dwa pierwsze równania jednoznacznie
b
wskazuja¾ rozwiazanie
¾
x = 0 i y = A(T
) , które po podstawieniu do trzeciego
równania daje:
b = c,
zatem uk÷ad jest sprzeczny. Nie jest mo·zliwa replikacja. Sytuacja z uk÷adu
jest typowa dla opcji sprzeda·zy, dla której nie istnieje portfel replikujacy.
¾
Niech S (0) = 100, U = 0; 1, M = 0, D = 0; 1, T = 1, a cena realizacji
opcji sprzeda·zy wynosi 95. Wówczas wyp÷ata opcji to:
8
< 0, gdy ! = U
0, gdy ! = M .
:
5, gdy ! = D
Wniosek 1 Model trójmianowy nie jest zupe÷ny.
W przypadku ogólnym tj. replikacji instrumentu H, dla którego H ! (T ) =
H!, H!
0, moz·na postawić warunek na istnienie portfela replikujacego
¾
sformu÷
owany za pomoca¾ poniz·szego twierdzenia:
Twierdzenie 5 Portfel replikujacy
¾ istnieje, wtedy i tylko wtedy, gdy:
SM
SU
SD U SU
H + U
SD
S
24
SM D
H = HM .
SD
Dowód. Aby portfel replikujacy
¾ (x; y) istnia÷, prawdziwe musza¾ być w
szczególności pierwsze i trzecie równanie uk÷adu:
8
< xS U (T ) + yA (T ) = H U
xS M (T ) + yA (T ) = H M .
:
xS D (T ) + yA (T ) = H D
Rozwiazania
¾
równań sa¾ takie jak we wzorze (2), tzn.
x=
y=
HU HD
S U (T ) S D (T )
(1+U )H D (1+D)H U
(U D)A(T )
.
Aby ca÷
y uk÷
ad mia÷rozwiazanie,
¾
prawdziwe musi być równiez· drugie równanie, co jest równowaz·ne warunkowi:
HU
SU
H D M SU H D
S +
SD
SU
SM SD U SU
H + U
SU SD
S
SDH U
= HM
SD
SM D
H = HM .
SD
Obserwacja 1 Niech
w1 =
SM
SU
SD
SU
oraz w2 = U
D
S
S
SM
.
SD
M
D
U
Zauwa·zmy, ·ze wi > 0 oraz w1 +w2 = 1. Z warunku SS U SSD H U + SS U
H M wynika, ·ze H M jest ´srednia¾ wa·zona¾ wielko´sci H U i H D :
SM
HD
SD
=
w1 H U + w2 H D = H M .
Wniosek 2 Przy ustalonych warto´sciach ceny S (1) oraz wielko´sciach H U
i H D warto´s´c H M jest wyznaczona jednoznacznie z równania:
w1 H U + w2 H D = H M .
1.2.2
Zmiana prawdopodobieństwa
Przypomnijmy podstawowe za÷oz·enia modelu:
8
< U z prawdopodobieństwem p
M z prawdopodobieństwem q
K=
:
D z prawdopodobieństwem 1
p
q
gdzie D < M < U oraz 0 < p; q; p + q < 1.
Jakiekolwiek inne prawdopodobieństwo P1 , które dopuszcza÷oby trzy scenariusze tzn.
25
P1 (fU g) = p1 ; P1 (fM g) = q1 , P1 (fDg) = 1
p1
q1 ,
gdzie 0 < p1 ; q1 ; p1 + q1 < 1 jest równowaz·ne P , gdyz· oba sa¾ jednocześnie
dodatnie:
A
P (A)
P1 (A)
;
0
0
fU g
p
p1
fM g
q
q1
fDg
1 p q 1 p1 q1
fU; M g
p+q
p 1 + q1
fU; Dg
1 q
1 q1
fM; Dg
1 p
1 p1
1
1
Podobnie jak w przypadku dwumianowym interesować nas bedzie
¾
sytuacja, w której oczekiwane stopy zwrotu z inwestycji w walor ryzykowny i
walor pozbawiony ryzyka sa¾ takie same. Wyznaczmy zatem prawdopodobieństwo P wzgledem
¾
którego:
E (K) = R.
Równanie przyjmuje postać:
U p + M q + D (1
p
q ) = R,
poniewaz·:
R = R(p + q + (1
p
q ))
otrzymujemy:
(U
R) p + (M
R) q + (D
R) (1
p
q ) = 0.
Otrzymaliśmy równanie z dwiema niewiadomymi p i q . Rozwiazań
¾
tego równania jest nieskończenie wiele, zatem w modelu trójmianowym jest
nieskończenie wiele prawdopodobieństw neutralnych wzgledem
¾
ryzyka wyznaczonych przez (p ; q ).
Przyk÷
ad 13 Wyznaczmy prawdopodobie´nstwa neutralne wzgledem
¾
ryzyka
dla modelu trójmianowego, gdy U = 0; 1; M = 0; 05; D = 0; 1 oraz R =
0; 05:
Równanie E (K) = R przyjmuje posta´c:
(0; 1
0; 05) p + (0; 05
0; 05) q + ( 0; 1
0; 05) (1
Rozwia¾·zmy je:
0; 05p
0; 15 (1
26
p
q )=0
p
q )=0
p =
0; 75q + 0; 75.
Jest niesko´nczenie wiele par (p ; q ) spe÷niajacych
¾
powy·zsza¾ równo´s´c i sa¾
to punkty znajdujace
¾ sie¾ na prostej. Jednak nie wszystkie z tych punktów wyznaczaja¾ prawdopodobie´nstwo. Aby tak sie¾ sta÷o na÷o·zymy warunek
fp ; q ; p + q g 2 (0; 1). W naszej sytuacji warunek:
0<p +q <1
jest równowa·zny warunkowi:
0 < 0; 25q + 0; 75 < 1 ,
3 < q < 1.
Ostatecznie zbiór prawdopodobie´nstw neutralnych wzgledem
¾
ryzyka identy…kowanych jednoznacznie przez pary (p ; q ) jest postaci:
f(p ; q ) : p =
0; 75q + 0; 75 i 0 < q < 1g .
Rozwiazanie
¾
mo·zna przedstawi´c na uk÷adzie wspó÷rzednych:
¾
2,25
p = -0,75q + 0,75
p
0,75
-3
-2
-1
0
1
2
3
-0,75
q
Przyk÷
ad 14 Niech S (0) = 10, U = 5%, M = 0%, D = 2%, A (0) = 1,
R = 6%, T = 1, p = q = 13 . Zbadajmy istnienie prawdopodobie´nstwa
neutralnego wzgledem
¾
ryzyka. Gdyby prawdopodobie´nstwo istnia÷o, spe÷nione
by÷oby równanie:
(U
R) p + (M
0; 01p
R) q + (D
0; 06q
27
R) (1
p
q) = 0
0; 08 (1
p
8
7
q) = 0
2
q = p.
7
A poniewa·z zachodzi´c powinien zwiazek
¾ p + q < 1, stad:
¾
8
7
2
q+q <1
7
8 + 6q < 7,
co nie mo·ze by´c spe÷nione, gdy q 2 (0; 1). Nie istnieje zatem prawdopodobie´nstwo
neutralne wzgledem
¾
ryzyka. Warto zauwa·zy´c, ·ze w powy·zszym modelu wystepuje
¾
arbitra·z, gdy·z U < R.
Twierdzenie 6 (Pierwsze fundamentalne twierdzenie wyceny) W modelu trójmianowym z jednym krokiem brak arbitra·zu jest równowa·zny istnieniu prawdopodobie´nstwa neutralnego wzgledem
¾
ryzyka (p ; q ) takiego, ·ze
fp ; q ; p + q g 2 (0; 1).
Dowód. Za÷
óz·my istnienie prawdopodobieństwa neutralnego wzgledem
¾
ryzyka. Jest ono jednoznacznie wyznaczone przez (p ; q ). Zachodza¾ zatem
zwiazki:
¾
(U
R) p + (M
(U
R) q + (D
D) p + (M
R) (1
p
q )=0
D) q + D
R = 0.
Aby wykazać brak moz·liwości arbitraz·u wystarczy udowodnić, z·e D < R <
U . Przypuśćmy, z·e R D. Poniewaz·:
U
D > 0, M
D > 0, D
R
0,
stad:
¾
(U
D) p + (M
Otrzymaliśmy sprzeczność z (U
puśćmy, z·e U R. Poniewaz·:
U
R
0, p > 0, M
D) q + D
D) p + (M
R < 0, q > 0, D
R > 0.
D) q + D
R < 0, 1
R = 0. Przy-
p
q > 0,
stad:
¾
(U
R) p + (M
R) q + (D
R) (1
p
q ) < 0.
Otrzymaliśmy sprzeczność z (U R) p + (D R) (1 p
q ) = 0.
Przy za÷
oz·eniu braku arbitraz·u, co jest równowaz·ne warunkowi D < R <
U; wykaz·emy istnienie prawdopodobieństwa neutralnego wzgledem
¾
ryzyka.
Gdyby takie prawdopodobieństwo istnia÷o to zachodzi÷oby:
(U
D) p + (M
R
U
D) q + D R = 0
D M D
q = p.
D
U D
28
Poniewaz· p 2 (0; 1):
R
U
0<R
0<
D
R<
D
D
D
(M
M
U
(M
D
q<1
D
D) q < U
D) q < U
D R < (M D) q < U
R D
U R
>q>
.
M D
M D
Zauwaz·my, z·e:
U
M
D
D+D
R
R
R
< 0.
D
Poniewaz· q 2 (0; 1):
R
M
0 < q < min
Poniewaz· p + q 2 (0; 1):
R
U
0<R
0<
D
D
D
M
U
(M
D
;1 .
D
D
q+q <1
D
D)q + (U D) q < U
R+D <( M +D+U
D)q < U
D
D
R+D
R + D < (U M )q < U R
D R
U R
<q<
.
U M
U M
Zauwaz·my, z·e:
D R
< 0,
U M
stad:
¾
U R
0<q<
:
U M
Ostatecznie prawdopodobieństwa neutralne wzgledem
¾
ryzyka istnieja¾ i sa¾
postaci:
(p ; q ) : q 2
0; min
R
M
D U
;
D U
R
;1
M
,p =
R
U
D
D
M
U
D
q
D
.
Wniosek 3 Je´sli w modelu trójmianowym z jednym krokiem zachodzi D <
R < U , to zbiór prawdopodobie´nstw neutralnych wzgledem
¾
ryzyka jest postaci:
(p ; q ) : q 2
0; min
R
M
D U
;
D U
R
;1
M
,p =
R
U
D
D
M
U
D
q
D
Dowód. Uzasadnienie tezy wynika bezpośrednio z dowodu pierwszego fundamentalnego twierdzenia.
29
.