Zestaw 1 P1. Znaleźć rozwiązania zagadnień a) { ux = 2xuy u(4,y

Zestaw 1
P1. Znaleźć rozwiązania zagadnień
(
ux = 2xuy
a)
u(4, y) = g(y),
(
ux = 2xuy
b)
u(x, x + 3) = g(x)
korzystając z informacji, że rozwiązania tego równania są postaci
u(x, y) = ϕ(y + x2 )
gdzie ϕ jest dowolną funkcją klasy C 1 .
Czy rozwiązania są określone jednoznacznie dla dowolnych (x, y) ∈ R2 ? Jeśli nie, to na jakim obszarze są
określone jednoznacznie? Czy funkcja g może być dowolną funkcją klasy C 1 , czy też musi spełniać jakieś warunki?
P2. Znaleźć warunek różniczkowy, który pozwala wywnioskować, że funkcja jest stała na poziomicy pewnej innej
funkcji. (Wskazówka: proszę pomyśleć o interpretacji gradientu.) Korzystając z niego, sprawdzić, że w poprzednim
zadaniu rozwiązania rzeczywiście muszą być podanej postaci.
P3. Znaleźć jakiekolwiek rozwiązanie zagadnienia:
∂2u
(x, y) = 0,
∂x2
u(x, x) = 1,
∂u
(x, x) = x2 .
∂y
P4. Obliczyć div(∇u).
P5. Niech f = f (x, y, z) będzie klasy C 1 i spełnia równanie
x
∂f
∂f
∂f
+y
+z
= nf.
∂x
∂y
∂z
Pokazać, że wtedy f jest jednorodna stopnia n (tzn. f (tx, ty, tz) = tn f (x, y, z))
∂f ∂f
P6. Niech f = f (x, y, z) będzie klasy C 1 i jednorodna stopnia n. Pokazać, że ∂f
∂x , ∂y , ∂z są jednorodne stopnia n − 1.
2
P7. Niech f = f (x, y, z) będzie klasy C i jednorodna stopnia n. Pokazać, że f spełnia równania
x
i
∂f
∂f
∂f
+y
+z
= nf
∂x
∂y
∂z
2
∂
∂
∂
x
+y
+z
f = n(n − 1)f
∂x
∂y
∂z
Zestaw 2
P1. Określić czy równania są liniowe, semiliniowe, quasiliniowe czy całkowicie nieliniowe:
k∇uk = 1,
div(k∇ukp−2 ∇u) = 0,
utt − ∆u = f (u),
u · ut = ux ,
2
ut + uux + uxxx = 0,
u(t, x)∆x u(t, x) + f (t, x) = 0,
utt + dut − uxx = 0,
∂
∂u
(u(x, y) −
(x, y)) = (u(x, y))2 ,
2
∂x
∂y
u(t, x)utt (t, x) = uxx (t, x)2 ,
P2. Znaleźć rozwiązania zagadnień
(
ux + uy − 2xu = 0
a)
u(x, −x) = g(x),
(
b)
∂u
∂2u
(x, y) + u(x, y) (x, y) = 0
∂x2
∂y
ux + uy − 2xu = 0
u(x, y) = g(y), dla x2 + y 2 = 1
korzystając z informacji, że rozwiązania tego równania są postaci
u(x, y) = ϕ(y − x)ex
2
gdzie ϕ jest dowolną funkcją klasy C 1 .
Czy rozwiązania są określone jednoznacznie dla dowolnych (x, y) ∈ R2 ? Jeśli nie, to na jakim obszarze są
określone jednoznacznie? Czy funkcja g może być dowolną funkcją klasy C 1 , czy też musi spełniać jakieś warunki?
R3. Znaleźć rozwiązania zagadnień
(
(
xux + yuy = 0
xux + yuy = 0
a)
b)
u(x, x + 1) = g(x),
u(0, y) = g(y).
(
(
xux − yuy = 0
xux − yuy = 0
c)
d)
u(x, 0) = g(x),
u(1, y) = g(y).
przewidując najpierw postać rozwiązań.
Czy rozwiązania są określone jednoznacznie dla dowolnych (x, y) ∈ R2 ? Jeśli nie, to na jakim obszarze są
określone jednoznacznie? Czy funkcja g może być dowolną funkcją klasy C 1 , czy też musi spełniać jakieś warunki?
R4. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania
y
∂2u
∂u
2
+2
=
∂y 2
∂y
x
oraz rozwiązania zagadnień
(
( 2
2
y ∂∂yu2 + 2 ∂u
∂y = x
a)
u(x, x) = g(x),
2
2
y ∂∂yu2 + 2 ∂u
∂y = x
b)
u(y 3 , y) = g(y),
P5. Rozpatrzmy równanie
∂ 2 u ∂u
∂2u
=
+
,
2
∂t
∂x2
∂t
z warunkiem początkowym
1
, ut (x, 0) = 0.
1 + x2
Proszę policzyć pochodne do rzędu 4 (względem czasu i zmiennej przestrzennej) rozwiązania w dowolnym punkcie
(x, 0) ∈ R2 .
P6. Znaleźć rozwiązanie


utt + 2uxx = 5
u(0, x) = x2


ut (0, x) = 4x
u(x, 0) =
Wskazówka: można rozwiązać przez rozwinięcie w szereg.
P7. Rozwiązać problem


u = u(x, y),
∆u = 4,
2
u(x, x) = 2x ,


ux (x, x) = 2x,
przy pomocy wyliczenia pochodnych cząstkowych na prostej zawierającej warunek początkowy i przedstawienia
rozwiązania w postaci szeregu Taylora. Wsk.: wygodnie jest dokonać najpierw zmiany zmiennych s = x, t = y −x.
Zestaw 3
P1. Niech u będzie funkcją dwóch zmiennych rzeczywistych t oraz x. Rozważmy zagadnienie
(
ut + ux + u2 = 0
u(0, x) = g(x)
gdzie g ∈ D(Rn ), g 6≡ 0. Wykazać, że dla pewnego δ > 0 istnieje funkcja u ∈ C ∞ ((−δ, δ) × R), która spełnia te
warunki. Czy rozwiązanie można rozszerzyć na całą płaszczyznę R2 ?
P2. Niech b ∈ RN , c ∈ R. Rozwiązać zagadnienie
(
∂u
dla t > 0, x ∈ RN
∂t (t, x) + b · ∇x u(t, x) + cu(t, x) = 0
u(0, x) = g(x)
dla x ∈ RN
Wskazówka: Założyć, że rozwiązanie istnieje i nazywa się u. Dla ustalonego (t, x) określić funkcję κ(s) = u(t+s, x+
sb) i znaleźć równanie różniczkowe zwyczajne jakie ta funkcja spełnia. Proszę zastanowić się nad interpretacją
takiego podejścia.
P3. Rozwiązać równanie
utt = uxx .
Wskazówka: Zapisać powyższe równanie jako
∂
∂
∂
∂
−
+
u(t, x) = 0
∂t ∂x
∂t ∂x
a następnie powyższe równanie stopnia 2 zamienić na układ I stopnia
(
∂
∂
+ ∂x
)u = v,
( ∂t
∂
( ∂t
−
∂
∂x )v
=0
i skorzystać z metody rozwiązywania równania transportu. [Można też zrobić na parę innych sposobów.]
P4. Znaleźć rozwiązania zagadnienia początkowego


uxx (t, x) − 3utx (t, x) − 4utt (t, x) = 0, dla t > 1, x ∈ R
u(1, x) = x2 ,
dla x ∈ R


x
ut (1, x) = e ,
dla x ∈ R
R5. Niech funkcja f : [0, 1] → R będzie taka, że funkcja
p
g : B(0, 1) 3 (x, y) 7→ f ( x2 + y 2 )
jest funkcją klasy C 2 i spełnia równanie
∆g = 0, g|∂B(0,1) = 0.
Jakie równanie / warunki spełnia f ?
R6. Znajdź wszystkie radialne rozwiązania równania uxx = uyy (przez radialne rozumiane jest takie, które zależy
jedynie od odległości od zera, czyli od x2 + y 2 ).
R7. Niech u(t, r) będzie dana. Niech U (t, x) := u(t, kxk) spełnia równanie ciepła Ut = ∆U (w R3 ). Jakie równanie
spełnia u?
R8. Niech funkcje u(t) i v(x) będą takie, że funkcja
g(t, x) := u(t)v(x)
spełnia równanie
gt = gxx .
Jakie równania spełniają funkcje u i v?
R9. Niech u(t, x) będzie rozwiązaniem równania ciepła ut = ∆u, gdzie x ∈ R2 . Znajdź wszystkie a, b ∈ R, że funkcja
(t, x) → u(at, bx) też jest rozwiązaniem tego samego równania ciepła.
Zestaw 4
P1. Rozwiązać równanie charakterystyk dla
∂u
∂u
−x
= 0.
∂x
∂y
Jakie należy narzucić założenia na funkcję f : R → R aby powyższe równanie miało rozwiązanie spełniające
następujący warunek początkowy: u(x, 0) = f (x)?
P2. Rozwiązać równanie
ux + uy + uz = 0
y
z warunkiem początkowym u(0, y, z) = y − z.
P3. Rozwiązać zagadnienie ux + uy + 2uz = 0, u(1, y, z) = yz.
P4. Rozwiązać zagadnienia początkowe
(
(
(
uux1 + ux2 = 1,
x1 ux1 − x2 ux2 = 0,
x1 ux1 + x2 ux2 = 2u,
(c)
(b)
(a)
u(x1 , x1 ) = 21 x1 ,
u(x1 , 1) = 3x1 ,
u(x1 , 1) = g(x1 ),
(
(
x1 ux1 + 2x2 ux2 + ux3 = 3u,
(1 + x2 )ux (x, y) + 2xyuy (x, y) = 0,
(d)
(e)
u(x1 , x2 , 0) = g(x1 , x2 ),
u(x, x + x3 ) = x2 .
Zestaw 5
∂z
∂z
∂z
∂z
+ y ∂y
= z − x2 − y 2 ; y = −2, z = x − x2 ; b) (x − z) ∂x
+ (y − z) ∂y
= 2z, x − y = 2, z + 2x = 1.
P1. Rozwiązać a) x ∂x
P2. Rozwiązać zagadnienia początkowe
(
(
∂u 2
∂u
∂u 2
∂u 2
( ∂x
)
+
=
x
( ∂x
) + ( ∂x
) =u
2
∂x
1
2
1
2
u(x1 , 0) = 4x1
u(x1 , 0) = x21
√
∂z
∂z
∂z
∂z
R3. Rozwiązać równania: a) 2y 4 ∂x
− xy ∂y
= x z 2 + 1; b) sin2 (x) ∂x
+ tan(z) ∂y
= cos2 z.
R4. Udowodnić, że każde rozwiązanie u : R2 → R, u klasy C 1 , równania
(x + y)ux + (y − x)uy = 0
jest funkcją stałą i pokazać przykład niestałego rozwiązania określonego na otwartym podzbiorze R2 .
R5. Czy poniższe równanie
(x3 − 3xy 2 )zx + (3x2 y − y 3 )zy = 0
z warunkiem z = sin y przy x2 + y 2 = 2 ma rozwiązanie w pewnym otoczeniu punktu (1, 1)?
P6. Rozwiązać równanie stosując podane podstawienie
(
ξ = x,
∂u
∂u
x
+y
=u
∂x
∂y
η = xy .
P7. Rozwiązać równanie stosując podane podstawienie
(
ξ = x + y,
η = x − y.
∂u
∂u
=
∂x
∂y
P8. Rozwiązać równanie stosując podane podstawienie
∂u
∂u
−x
=0
y
∂x
∂y
(
ξ = x,
η = x2 + y 2
P9. W 2 poprzednich zadaniach znaleźć rozwiązania (nie wszystkie!) spełniające warunki początkowe
u(x, 0) = g(x) dla x ∈ R;
u(0, y) = g(y) dla y ∈ R;
u(x, y) = g(x, y) dla x − y = 0;
u(x, y) = g(x, y) dla y = x2 .
R10. Proszę zastanowić się, dlaczego takie, a nie inne podstawienia zostały wybrane do poprzednich zadań.
Zestaw 6
P1. Sprawdzić jakiego typu jest dane równanie, a następnie sprowadzić do postaci kanonicznej:
a)
b)
c)
d)
uxx + 2uxy + 5uyy − 32u = 0,
2uxx + 3uxy + uyy + 7ux + 4uy − 2u = 0,
uxx − 4uxy + 2uyy = 0,
5uxx + uyy + 5uzz + 4uxy − 8uxz − 4uyz = x.
P2. Rozpatrzmy równanie
uxx − 4uxy + 2uyy = 0.
Znaleźć zamianę zmiennych, która doprowadzi do równania vξξ = vηη . Korzystając z tego rozwiązać równanie.
P3. Proszę zrobić nierozwiązane ćwiczenia z wykładu.
P4. Sprawdzić, że prawdą jest równość
Z
Z
∂u
,
∆u =
∂n
Ω
∂Ω
dla
a) u(x, y, z) = x2 + 2y, Ω = B(0, 1),
b) u(x, y) = xn , Ω = [0, 1] × [0, 1].
Zestaw 7
P1. Niech Ω zbiorem ograniczonym o brzegu klasy C 2 , niech u, v : Ω → R będą funkcjami klasy C 2 znikającymi na
brzegu i spełniającymi warunki:
∆u = λu, ∆v = βv,
R
gdzie λ 6= β. Czy Ω uv = 0?
P2. Niech Ω będzie otwartym ograniczonym podzbiorem Rn o brzegu klasy C 1 . Niech n oznacza normalną zewnętrzną
do brzegu. Niech λ > 0. Niech u = u(x) będzie klasycznym rozwiązaniem zagadnienia brzegowego równania
Helmholza
∆u = λu dla x ∈ Ω
∂u
dla x ∈ ∂Ω
∂n = 0
Pokazać, że wtedy średnia całkowa funkcji u jest równa zeru, tzn.
Z
1
u(x)dx = 0
m(Ω) Ω
gdzie m(Ω) oznacza miarę Lebesgue’a zbioru Ω.
P3. Niech Ω będzie otwartym ograniczonym podzbiorem Rn o brzegu klasy C 1 . Niech n oznacza normalną zewnętrzną
do brzegu. Niech f ∈ C(Ω). Udowodnić, że warunkiem koniecznym istnienia klasycznego (tzn. klasy C 2 (Ω))
rozwiązania zagadnienia brzegowego typu Neumanna dla równania Poissona
∆u(x) = f (x) dla x ∈ Ω
∂u
dla x ∈ ∂Ω
∂n (x) = 0
jest aby średnia całkowa funkcji f była równa zeru, tzn.
Z
1
f (x)dx = 0
m(Ω) Ω
gdzie m(Ω) oznacza miarę Lebesgue’a zbioru Ω.
P4. Proszę zrobić nierozwiązane ćwiczenia z wykładu.
Zestaw 8
P1. Rozwiązać problem


ut = uxx ,
u(0, x) = sin 3x,


u(t, 0) = u(t, π) = 0,
dla t ≥ 0, x ∈ (0, π),
dla x ∈ [0, π],
dla t ≥ 0.
P2. Rozwiązać problemy

utt = uxx ,



u(0, x) = 0,

ut (0, x) = sin 2x,



u(t, 0) = u(t, π) = 0.

utt = uxx ,



u(0, x) = sin 5 x,
2
1

u
(0,
x)
=
cos
t

2 x,


u(t, 0) = u(t, π) = 0.
P3. Rozwiązać problem


utt = uxx ,
u(0, x) = x(π − x), ut (0, x) = 0,


u(t, 0) = u(t, π) = 0,
dla t ≥ 0, x ∈ (0, π),
dla x ∈ [0, π],
dla t ≥ 0.
P4. Rozwiązać problem


utt = uxx ,
u(0, x) = x, ut (0, x) = 1,


ux (t, 0) = ux (t, π) = 0,
dla t ≥ 0, x ∈ (0, π),
dla x ∈ [0, π],
dla t ≥ 0.
P5. Rozwiązać problem


ut = uxx − u,
u(0, x) = f (x),


u(t, 0) = u(t, π) = 0,
dla t ≥ 0, x ∈ (0, π),
dla x ∈ [0, π],
dla t ≥ 0.
P6. Rozwiązać równanie
uxx + uyy = 0
w kwadracie x ∈ [0, π], y ∈ [0, π] przy warunkach brzegowych u(x, 0) = u(0, y) = u(π, y) = 0 i u(x, π) = sin(mx).
P7. Rozwiązać metodą rozdzielania zmiennych zagadnienie
(
tut = uxx + 2u,
dla x ∈ (0, π), t > 0,
u(t, 0) = u(t, π) = 0, dla t > 0.
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań spełniających warunek u(0, x) = 0.
Zestaw 9
P1. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji:
2
h(x) = e−ax , x ∈ R;
2
H(x) = e−akxk , x ∈ Rn
Wskazówka: ĥ można obliczyć co najmniej dwoma sposobami:
1) wprost z definicji, przy użyciu residuów;
2) sprawdzając jakie zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego spełnia transformata Fouriera h (ta
metoda jest szybsza, ale najlepiej pracuje dla a = 21 ).
P2. Znaleźć ĝ, fˆ, gdzie


x |x| < 1
f (x) := xg(x).
g(x) := 12 |x| = 1 ;


0 |x| > 1
P3. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji χ(0,1) e−x , gdzie χA oznacza funkcję charakterystyczną zbioru A.
P4. Niech a, b ∈ R. Wiemy, że transformatą Fouriera funkcji x 7→ f (x) jest funkcja F . Ile wynosi transformata
Fouriera funkcji x 7→ f (ax + b)?
2
P5. Niech f (x) = g(x) := e−x . Obliczyć splot f ∗ g trzema metodami:
(i) licząc całki bezpośrednio,
(ii) korzystając z transformaty Fouriera;
(iii) korzystając z interpretacji probabilistycznej.
P6. Niech a, b > 0, c, d ∈ R, α, β > 0. Obliczyć splot f ∗ g jeżeli
(i) f (x) = χ[−a,a] ,
g(x) = χ[−b,b] ;
(ii) f (x) = e−
(x−c)2
2α
P7. Znaleźć fˆ, gdzie
(
H(x) :=
1 x>0
;
0 x60
f (x) = x2 H(x)
.
g(x) = e−
(x−d)2
2β
.
Zestaw 10
R1. Posługując się transformatą Fouriera rozwiązać:


utt (t, x) = uxx (t, x), dla t > 0, x ∈ R
oraz
u(0, x) = ϕ(x),
dla x ∈ R


ut (0, x) = ψ(x),
dla x ∈ R


utt (t, x) = uxx (t, x) + f (t, x),
u(0, x) = 0,


ut (0, x) = 0,
dla t > 0, x ∈ R
dla x ∈ R
dla x ∈ R
przy danych (odpowiednio gładkich) funkcjach f , ϕ.
R2. [Nierówność Younga.] Jeżeli
p, q, r ∈ [1, ∞],
1 1
1
+ =1+ ,
p q
r
a f, g : Rn → [0, ∞] są borelowskie, to
||f ? g||Lr 6 ||f ||Lp · ||g||Lq .
Przeprowadzić dowód nierówności Younga dla przypadków:
a) p = q = 1, (r = 1),
b) p = 1, q = ∞, (r = ∞),
c) p = 1, q = 2, (r = 2).
P3.
P4.
P5.
P6.
P7.
P8.
Proszę rozwiązać ćwiczenia z wykładu.
Pokazać, że jeżeli ϕ ∈ C(Rn , R), supp ϕ ⊂ Rn jest zwarty, a u ∈ L1loc (Rn , R), to ϕ ? u ∈ C(Rn ).
Pokazać, że jeżeli ϕ ∈ C k (Rn , R), supp ϕ ⊂ Rn jest zwarty, a u ∈ L1loc (Rn , R), to ϕ ? u ∈ C k (Rn ).
Pokazać, że jeżeli supp ϕ ⊂ Rn , supp u ⊂ Rn są zwarte, to supp(ϕ ? u) ⊂⊂ Rn .
Pokazać, że jeżeli ϕ ∈ D(Rn , R), a u ∈ L1loc (Rn , R) ma zwarty supp u, to ϕ ? u ∈ D(Rn ).
Niech Ω będzie otwartym podzbiorem Rn , a u ∈ L1loc (Ω) (tzn. jest sumowalna na każdym zwartym podzbiorze
Ω). Proszę pokazać, że jeżeli
Z
u(x)ϕ(x)dx = 0
Ω
dla dowolnej ϕ ∈ D(Ω), to u = 0 prawie wszędzie.
Zestaw 11
P1. Niech Φ ∈ D(RN ). Niech
Φ( nx )
Φ(nx)
Φ(x)
,
ψn (x) :=
,
ξn (x) :=
.
n
n
n
Sprawdzić, czy ciągi te są zbieżne w D(RN ).
P2. Określamy odwzorowanie liniowe [P.V. x1 ] na D(R) wzorem
Z −ε Z +∞ Z
ϕ(x)
ϕ(x)
1
dx := lim
+
dx
[P.V. ](ϕ) := P.V.
+
x
x
x
ε→0
R
−∞
ε
ϕn (x) :=
Wykazać, że [P.V. x1 ] jest dystrybucją na R.
P3. Dla dowolnej funkcji ϕ ∈ D(R) określamy
Z
Z
ϕ(x) − ϕ(0)
ϕ(x)
T (ϕ) :=
dx +
dx.
|x|
x
|x|<1
|x|>1
Pokazać, że odwzorowanie T : D(R) 3 ϕ 7→ T (ϕ) jest dystrybucją.
P4. Niech D(R) oznacza przestrzeń funkcji próbnych na R. Czy odwzorowanie D(R) 3 ϕ → ϕ2 (0) + ϕ0 (1) ∈ R jest
ciągłe? Czy jest dystrybucją?
P5. Określmy funkcję Heaviside’a wzorem
(
1, x > 0,
d
H(x) :=
Obliczyć Λ0H = dx
[H].
0, x 6 0.
P6. Obliczyć
d
1
d
[ln | · |],
[P.V. ]
dx
dx
x
P7. Niech Λf , Λg dystrybucje regularne, takie, że Λf = Λg . Udowodnij, że wtedy f (x) = g(x) dla prawie wszystkich x.
P8. Niech f będzie klasy C 1 i niech g = f 0 . Udowodnij, że
Λg (ϕ) = −Λf (ϕ0 ) dla ϕ ∈ D(R).
Zestaw 12
P1. Obliczyć granicę w D0 (R) :
(
fn (x) =
n
2,
0,
|x| 6
|x| >
1
n
1
n
P∞
P2. Niech ak ∈ R dowolne. Udowodnij, że szereg k=0 ak δk jest zbieżny w przestrzeni D0 .
P3. Dla jakich funkcji f ∈ C ∞ (Ω) jest prawdą, że f · δ00 = 0?
P4. Znaleźć rozwiązania ogólne w D0 (R) następujących równań:
id · T = 0,
α · T = 0, gdzie α(x) = x(x − 1)
0
P5. Znaleźć rozwiązania ogólne w D (R) następujących równań:
id · T 0 = 0,
id · T 0 = 1,
T 00 = δ0
P6. Udowodnij, że delta Diraca δa w punkcie a nie jest dystrybucją regularną.
id · T = 1.