Zadania do ćwiczeń z tematyki podstawowej opory cieplne

Zadania do ćwiczeń z tematyki podstawowej
opory cieplne, strumienie, obliczanie oporów wielowarstwowych ścian, etc
zad 1
(rysunek nie oddaje skali układu cieplnego)
papi
er
blacha
ciepło
Obliczyć równoważną przewodność cieplną właściwą pakietu blach transformatorowych,
złożonego z n =100 arkuszy blach o grubości  b = 0,5 mm, odizolowanych papierem o grubości
 p = 0,05 mm.
W p =99
W
,
mK
b = 63
W
mK
p
p F
W b =100
Wz=
 p = 0,116
b
b F
100  b 99  p
z F
 z = 1,28
W z =W pW b
W
mK
zad 2
obliczyć równoważną przewodność cieplną właściwą pakietu blach transformatorowych, z danymi
jak w zadaniu poprzednim, przy założeniu, że uwzględniamy opory cieplne, dla przepływu ciepła w
kierunku równoległym do blach.
czyli wzory są zupełnie inne, wzór dla oporu stawianego przez jedną warstwę blachy:
W b=
b
b a b
W p=
b
p a p
Wz=
b
 z a 100  b 99  p 
1
99 100
=

Wz Wp Wb
czyli
1
99 100 99  p a  p 100  b a b
=

=

Wz Wp W b
b
b
 z a 100  b99  p 100  b a  b 99  p a  p
=

b
b
b
z 100 b99  p =100  b  b 99  p  p
z =
100  b  b 99  p  p
= 57,35
100  b 99  p 
zad3
W
. Grubość
mK
ściany  = 0.3 m . Obliczyć gęstość strumienia przenikającego przez ściankę, jeżeli temperatury
na powierzchniach ściany odpowiednio t1=50ºC t2=20ºC.
Płaska ściana wykonana jest z materiału o
t1
−4 2
t =0.10.011 t5.1⋅10 t
1
1
 0.01 t0.0055 t 21.7⋅10−4 t 3   t 1=
∫ 0.10.011 t5.1⋅10−4 t 2 dt= t −t
t 2−t 1 t
t2
2
1
1
 0.01⋅500.0055⋅50 21.7⋅10−4⋅503−0.01⋅20−0.0055⋅202 −1.7⋅10−4⋅203 
t 2−t 1
=1,148 W/mK
 zast=
2
q=
T
 = 114,8 W/m2
z
zad 4
Wyznaczyć opór cieplny warstwy cylindrycznej, jak na rysunku:
rw
λ
rz
wychodzimy z równania Fouriera:
q=−⋅
dt
=>
dr
P=−⋅
dt
⋅F =>
dr
P=−⋅
dt
⋅2⋅⋅r⋅l =>
dr
1
P d r =−⋅ d t⋅2⋅⋅l
r
po scałkowaniu obydwu stron (lewej po promieniu a prawej po temperaturze), otrzymujemy:
P ln r z −ln r w =−⋅t z−t w ⋅2⋅⋅l ponieważ zakładamy, że tz < tw , zamieniamy miejscami
temperatury w nawiasie – likwidujemy minus:
P⋅ln
rz
=⋅t w −t z ⋅2⋅⋅l =>
rw
W=
rz
t w −t z 
rw
=
P
2⋅⋅l
t w −t z  =>
P
ln
zad 5
Wyznaczyć opór cieplny ściany będącej częścią prostopadłościennej konstrukcji, przy założeniu że
wysokość i szerokość wewnętrzna wynoszą równo a = 2 m, wysokość i szerokość zewnętrzna
wynoszą równo b=2,8. Przewodność cieplna materiału ściany λ=0,5 W/mK. Grubość ściany h = 0,5
m.
Dla wyznaczenia powierzchni należy zauważyć, że bok przekroju bryły, znajdujący się w dowolnej
odległości od jednej z podstaw, zmienia się w sposób liniowy. Wzór na jeden z boków znajdujący
się na dowolnej wysokości x dany jest wzorem (3), przy czym a1 to bok podstawy górnej (x=h
gdzie h to wysokość bryły), a b1 to jeden z boków podstawy dolnej (x=0).
sprawdzić czy rzeczywiście jest to zależność liniowa
a
h
α
b
0
y  x =
1.
a−b
⋅xb
h
c
y  x =−1,6⋅x2,8 y(1) = 1,2 m
sprawdzając z wzoru na długość boku przy pomocy wzorów geometrycznych:
tan =
h
α = 78,7º
c
bok podstawy ostrosłupa na wysokości x = 1 m wynosi
a  h− x

= 1 + 0,2 = 1,2
2 tan
2. wyznaczenie oporu
należy zauważyć że
d y  x  a−b
=
dx
h
h
2


P=F⋅
dt
a−b
dt
=
⋅x b ⋅
dx
h
dx
P=F⋅
dt
a−b d t
= y 2⋅
dx
h dy
dx

a−b
⋅xb
h
2

=
p=
podstawiam
∫
0
1

a−b
⋅xb
h
th

d x= ∫ d t
2
Pt

0

dt
P
a−b
d p a−b
h
⋅xb mamy też
=
czyli d x=d p
h
dx
h
a−b
zamieniamy więc całkę na postać:
a
th
h
1

d p= ∫ d t oraz zmieniamy granice całkowania dla nowej zmiennej p od (b,a)
2∫
a−b  p b
Pt
0
h
a−b


−1 1 
h
 = t h−t 0 =>
a b P
a−b
h 
= t −t 
ab P h 0


−ba

= t h−t 0
ab
P
t −t 
h
= h 0
 ab
P
dla ostrosłupa ściętego o podstawach prostokątnych mamy następujący wzór:
h⋅ln
 
b2 a1
b1 a2
  a 1 b2−a 2 b 1
=
t h−t 0 
P
dla stożka ściętego
t −t 
h
= 1 2
  r 1⋅r 2
P
ogólnie
t −t 
h
= 1 2
P
   F 1 F2
zad 6
Obliczyć moc strat dla ściany budynku, o powierzchni zewnętrznej 6 m 2, przy założeniu że ściana
złożona jest z dwóch warstw – styropianu grubości 10 cm oraz cegły grubości 30 cm. λs = 0,04
W/mK,
λc = 0,7 W/mK. Każda ściana budynku jest identyczna. Powierzchnie zewnętrzna i
wewnętrzna są kwadratami. Współczynnik przejmowania ciepła z powierzchni zewnętrznej α z = 12
W/m2K, z powierzchni wewnętrznej αw = 8 W/m2K, tz = -10ºC, tw = 20ºC
F z =6 m
2
bok a z=  6 = 2,449 m
bok powierzchni styropianu:
a s =a z−2⋅ s
bok powierzchni cegły:
a c =a s−2⋅c
opór cegły
P = 47,69 W
P wyznaczone w niepoprawny sposób przy założeniu że powierzchnia wewnętrzna jest identyczna
jak wewnętrzna P2 = 57,39 W
zad 7
Wyznaczyć maksymalny promień warstwy cylindrycznej, dla którego wartość oporu cieplnego jest
najmniejsza. Dane są wielkości następujące:
współczynniki przejmowania ciepła z powierzchni zewnętrznej ściany z i  w
przewodność cieplna właściwa  izolacji. Promień wewnętrzny r w .
Suma wszystkich oporów:
ln
W c=
 
r
rw
2l

1
1

z 2  r l w 2 r w
aby wyznaczyć promień dla którego mamy minimalne straty cieplne, czyli W osiąga maksimum
należy wyznaczyć:
dW c
=0
dr
dW c 1 1
1
1
= ⋅
−
dr
r r w  2  l  z 2  r2 l
rw
1
r
1
=
 2 l z 2  r 2 l
r max=
= 0 czyli

alfa z
zad 7a
Sprawdzić powyższą tezę dla przykładowej warstwy izolacji cylindrycznej wykonanej z materiału o
λ = 0,1 W/mK, przy czym na powierzchni zewnętrznej
temperatura na zewnątrz izolacji tz = 20ºC, tw = 80ºC.
αz = 20 W/m2K, αw = 14 W/m2K,
zad 8
dz
Fe
2
dw = 30 mm.
tw
sz
Obliczyć straty cieplne rurociągu stalowego o średnicy zewnętrznej
d z = 800 mm, grubości
3 = 20 mm i długości l = 15m, wymurowanego od wewnątrz warstwą szamotu o grubości
sz = 60 mm, przy czym między cegłą a ścianą ułożono w połowie przekroju warstwy warstwę
azbestu, a w drugiej połowie zasypkę z diatomitu. Grubość tej warstwy  2 = 5 mm. Temperatura
O
gazów płynących wewnątrz rurociągu t w =600 C a temperatura otoczenia
t o = 20 o C .
Współczynniki przejmowania ciepła z powierzchni zewnętrznej rurociągu z = 12
wewnątrz
 sz = 0,7
az = 0,16
 w =25
W
. Dane materiałowe:
m2 K
W
mK
W
mK
di = 0,14
rw = 0.4 m
r1 = 0.4 m – 0,02 m = 0,38 m
r2 = 0.38 - 0.005 m = 0.375 m
rz = 0,375 m -0,06 m = 0,315 m
P = 81 kW
W
mK
3 = 42
W
mK
W
,i
m2 K
zad 9
Przewód aluminiowy o średnicy D = 6 mm, umieszczony jest w temperaturze otoczenia
W
t o = 10 o C , z = 10
. Grubość izolacji przewodu iz = 2 mm,
m2 K
W
iz = 0.6
, rezystywność aluminium -  AL = 3 ⋅10 −8  m . Obliczyć prąd płynący
mK
przewodem, jeżeli znamy temperaturę na styku izolacji poliwinitowej i aluminium
t s = 50 o C
.
najpierw wyznaczamy średnice kolejnych warstw
D = 0.006 m, R = 0.003 m
d iz = 0.01 m
opór izolacji
W iz =
Wz =
ln
 
D
d iz
= 0.136
2  l  iz
1
= 3.183
 z d iz l
1
l
K
W
W=3.319
P=
40
= 12.052⋅l W
W iz
l
- l się skraca
 R2
l 2
P=AL 4
I I = 106.577 A
 D2
R= AL
Zad10
Przez aluminiową żyłę przewodu elektrycznego o przekroju S= 10 mm2 płynie prąd o natężeniu
I=400 A. Obliczyć temperaturę na styku izolacji i żyły, jeżeli temperatura na powierzchni
o
30 C ,
α = 10 W/m2K
iz = 0,42
W
mK
, δ = 2 mm,  Al = 3⋅10−8
to =
m .
Porównać temperaturę na styku z temperaturą żyły w przewodzie wykonanym jest z miedzi ρCu =
1,7·10-8 Ωm.
ZAD 11
obliczyć współczynnik przejmowania ciepła we wnętrzu cylindrycznego pieca o następującym
kształcie:
Szamot 1
Stal
Wełna
diatomit
wnętrze
Zmierzona temperatura
między warstwą stali a
warstwą drugą ts = 120ºC
dane :
średnica wewnętrzna: dw = 500 mm
stal: grubość Fe = 5 mm, Fe = 10
cegła czerwona:
2 = 100 mm,
W
mK
c = 0,7
W
mK
diatomit rodzaju A: 1a = 20 mm,
d = 0,2
W
mK
diatomit rodzaju B: 1b = 20 mm,
sz = 0,4
W
mK
temperatura zewnętrzna:
t zew = 20 o C
temperatura wewnętrzna:
t wew = 400 o C
zew = 5
W
m2 K
zad 12
Wyznaczyć opór cieplny warstwy sferycznej o promieniach wewnętrznym rw i zewnętrznym rz,
wykonanej z materiału o przewodności cieplnej λ. Temperatury na powierzchni zewnętrznej tz,
wewnętrznej tw.
wychodzimy z równania Fouriera:
q=−⋅
dt
=>
dr
P=−⋅
dt
⋅F =>
dr
P=−⋅
dt
⋅4⋅⋅r 2 =>
dr
rz
P∫
rw
tz
1
d r =−⋅4⋅⋅ ∫ d t
2
r
t
w
po scałkowaniu obydwu stron (lewej po promieniu a prawej po temperaturze), otrzymujemy:
P


−1 1

=−⋅t z −t w ⋅4⋅ ponieważ zakładamy, że tz < tw , zamieniamy miejscami
rz rw
temperatury w nawiasie – likwidujemy minus:
t z −t w 
=
P

−1 1

r z rw

=>
⋅4⋅
W=
t w −t z 
P
W=
r z −r w 
⋅4⋅ r z r w
zad 13
Obliczyć temperaturę otoczenia w jakiej umieszczona jest sfera, jeżeli wewnętrzna jej temperatura
W
wynosi 973K, a temperatura na powierzchni wewnętrznej sfery 800 K. z = 15
,
m2 K
W
 w = 25
.
m2 K
Fe
2
dw
t1
dw = 30 mm.
sz
Sfera składa się z następujących warstw, patrząc od strony wewnętrznej:
W
1. pianka fenolowa - grubość sz = 5 mm,  sz = 0,03
mK
2. dwie warstwy różnych cegieł, położone na przemian, tak że w całości tworzą dwie połówki
W
W
kuli  2 = 30 mm , 21 = 0.15
, 22 = 0.3
.
mK
mK
W
3. blacha - grubości fe = 10 mm,  fe = 50
.
mK
najpierw wyznaczamy promienie kolejnych warstw
r w = 0.015 m
r sz = r w sz = 0.045 m
r 2 = 0.095 m
r fe = 0.105 m
Zadanie 14
W kulistym pojemniku o promieniach wewnętrznym
r w = 10 cm, zewnętrznym R = 100 cm,
wydziela się moc objętościowa p v = 5
z = 15
Wz

w = 7

W = W 1 W w W z = 2.609
P = pv
4
3
⋅r 1 = 20.94 W
3
t w =P⋅Wt o = 45,42 oC
t o = 20 o C ,
W
. Określić temperaturę wewnątrz kuli? λ = 10 W/mK
m2 K
1
1 1
K
−
= 0,072
4   rw R
W
1
=
= 1.137
 w 4  r 2w
1
=
= 0.0053
w 4  R 2
W1 =
Ww
W
,
m2 K
kW
. Sfera umieszczona jest w
m3
K
W