ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA
MATEMATYCZNA
2
Lista zadań
2003/2004
Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas
Lista pierwsza
◦ Zadanie 1.1
Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego
rodzaju:
Z∞
Z∞
Z0
Z∞
dx
dx
−x
; b) 2 dx;
;
c)
x sin x dx; d)
a)
2
2
(x + 2)
x +4
e)
1
0
π
Z∞
Z∞
Z∞
1
dx
√
;
3
3x+5
f)
−∞
◦ Zadanie 1.2
dx
;
2
x −4x+13
g)
−∞
2 −x3
x e
dx;
−∞
Z−1
h*)
(π− arcctg x) dx.
−∞
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Z∞
Z∞
Z∞
(1 + sin x) dx
(x − 1) dx
dx
√
;
c)
;
; b)
a)
x4 +x+1
x3
x−3
10
d)
Z0
−∞
2x dx
;
x−1
e)
2
π
Z∞
Z∞
0
x dx
√
;
3
x7 + 1
f)
sin2
1
dx.
x
1
◦ Zadanie 1.3
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
a)
Z∞
5
d)
Z∞
1
x dx
√
;
x5 − 3
x2 dx
;
x3 −sin x
Z−1
b)
−∞
e*)
(e2x + 1) dx
; c*)
ex − 1
Z∞ √
x dx
;
ex
f)
0
x2
Z∞
x+1 −x
e dx;
x
10
Z∞
2
√
2 + cos x dx
√
.
x−1
◦ Zadanie 1.4
Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną podanych całek niewłaściwych:
Z∞
Z∞
Z0
Z∞
sin 3x dx
cos x dx
cos x dx
√
a)
;
b)
x
cos
2x
dx;
c)
;
d*)
.
e2x + 1
x2 + 1
x
0
−∞
π
◦ Zadanie 1.5
π
2
Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych drugiego
rodzaju (dla całek zbieżnych obliczyć ich wartości):
Z3
Z0
Zπ
dx
dx
dx
√
;
c)
;
a)
;
b)
5
sin x
x(x − 3)
x2
π
d)
−1
Ze
0
2
2
ln x dx
;
x
e*)
Ze
0
sin ln x dx
; f)
x
Z5
3
2x dx
.
2x − 8
1
◦ Zadanie 1.6
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
√
Z2
Z2 x
Zπ
Z4
1
1
e dx
cos2 x dx
dx
√
√ .
√ arctg dx; b)
a)
; c)
; d)
3
3
x
x
x
x2 + x
x−π
0
0
0
0
◦ Zadanie 1.7
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
Z1 2x
Z1
Zπ
Zπ
(e − 1) dx
dx
sin3 x dx
dx
√
√
;
b)
; c)
;
d)
;
a)
3
3
4
x
cos x
(arcsin x)2
x4
π
0
0
e*)
Z0
−1
dx
√
;
ex − e2x
f*)
Zπ
0
0
2
dx
;
x − sin x
g*)
Z2
1
dx
√ ;
2
x − x
h*)
Z1
0
ex
dx
.
− cos x
◦ Zadanie* 1.8
Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych, które są jednocześnie całkami niewłaściwymi pierwszego i drugiego rodzaju:
Z∞
Z∞
Z∞
Z∞
dx
dx
dx
dx
√ ; d)
; b)
; c)
.
a)
2
x
3
x −1
x + sin x
3 − 2x
x + x
0
1
0
0
Lista druga
◦ Zadanie 2.1
Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
∞ n
∞
X
X
n−1
5
a)
;
;
b)
6
n!
n=0
n=2
c)
∞
X
n=1
1
√
√ ;
n+1+ n
d*)
∞
X
arctg
n=1
Uwaga. W przykładzie b) przyjąć, że Sn =
1
.
2n2
n
X
k=2
ak , gdzie n ­ 2.
◦ Zadanie 2.2
Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
n
ln n
1
;
b)
;
c)
;
a)
2
2
2
n
+
n
n
+
4
n
n=1
n=2
n=1
d)
∞
X
n=1
1
√
;
n n+1
◦ Zadanie 2.3
e)
∞
X
√
n=1
n2
√
− n
;
f*)
∞
X
n=2
1
.
n ln n ln ln n
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych szeregów:
2
a)
d)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
3
;
2
n +2
3n + 1
;
n3n + 2n
◦ Zadanie 2.4
∞
∞
X
X
π
n+1
b)
; c)
sin n ;
2
n +1
2
n=1
n=1
∞
X
π
e*)
tg ;
4n
n=1
f*)
∞
X
n=2
1
(ln n)ln n
.
Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność podanych szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
100n
n!
π
2
a)
;
b)
n sin n ;
c)
;
n!
2
nn
n=1
n=1
n=1
∞
X
(n!)2
d)
;
(2n)!
n=1
g)
∞
X
(3n + 1)3
n=1
(5n
+ 1)
2;
∞
X
nn
e)
;
3n n!
n=1
h*)
n ∞ Y
X
n=2 k=2
f)
√
k
1− 2 ;
∞
X
2n + 1
i*)
n5 + 1
n=1
∞
X
n=2
;
ln n
.
3n
◦ Zadanie 2.5
Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów:
a)
d)
∞
X
(n + 1)2n
;
2 + 1)n
(2n
n=1
∞
X
arccosn
n=1
1
;
n2
◦ Zadanie 2.6
b)
∞
X
2n + 3 n
;
n
3n + 4
1
π
n
e)
tg
−
;
3
n
n=1
n=1
∞
X
c)
∞
X
n=1
f)
∞ X
√
n
n=2
2
3 n nn
;
(n + 1)n2
2−1
n
.
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
n2 + n + 1
1
2n − 1
a)
;
b)
;
c)
arctg
;
2n3 − 1
3n − 1
n2
n=1
n=1
n=1
π
∞
∞
∞ sin
X
X
X
n+1
n
n
3
√
e)
.
; f)
ln
d)
π ;
n+3
n3 + 1
n=1
n=1
n=1 sin n
2
Lista trzecia
◦ Zadanie 2.7
Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości:
7n
nn
a) lim 5 = ∞;
b) lim
= 0;
n→∞ n
n→∞ (n!)2
n!
(3n)(4n!)
c) lim n = 0;
d*) lim
= 0.
n→∞ n
n→∞ (5n)!(2n)!
◦ Zadanie 2.8
Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną podanych szeregów:
3
a)
∞
X
(−1)n+1
n=1
d*)
;
2n + 1
n
E( )
∞
X
(−1) 2
n=0
n
∞ X
−2n
b)
;
3n + 5
n=1
n+1
;
◦ Zadanie 2.9
c)
∞
X
(−1)n n
n=2
∞
X
(−2)n
e)
;
3n + 1
n=0
f)
∞
X
n=2
n2 + 1
(−1)
n
;
√
n
3−1 .
Wyznaczyć przedziały zbieżności podanych szeregów potęgowych:
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
(x + 3)n
n!xn
xn
n
;
b)
n(x
−
2)
;
c)
;
d*)
.
a)
n2n
n3
nn
n=1
n=1
n=1
n=1
◦ Zadanie 2.10
Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
2
x
x
a)
; b) cos ; c) xe−2x ; d)
; e) sh x; f*) sin4 x.
1 − 3x
2
9 + x2
◦ Zadanie 2.11
Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy podanych szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
n(n + 1)
2n − 1
1
; b)
; c)
;
a)
n
n
n
(n
+
1)2
4
3
n=1
n=2
n=0
d*)
∞
X
n=1
n
;
(n + 2)2n
∞
X
n2
e*)
n;
25
n=1
f*)
∞
X
n=0
1
.
(2n + 1)4n
Lista czwarta
◦ Zadanie 3.1
Spośród podanych zbiorów na płaszczyźnie lub w przestrzeni wskazać te, które są
ograniczone, otwarte, domknięte. Które z tych zbiorów są obszarami?
a) A = (x, y) ∈ R2 : x2 < y < 2x2 ;
b) B = (x, y, z) ∈ R3 : xyz = 0 ;
c) C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 9 .
◦ Zadanie 3.2
Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji:
x2 y
x2 + y 2 − 4
a) f (x, y) = p
;
b) g(x, y) = ln
;
9 − x2 − y 2
x2 + y 2 − 25
p
√
√
2
2
2
c) h(x, y, z) = x + y − 1 + z − 2; d) k(x, y, z) = arcsin x + y + z − 2 .
◦ Zadanie 3.3
Znaleźć poziomice wykresów podanych funkcji i na tej podstawie naszkicować te
wykresy:
p
p
x2 + y 2 ;
4 − x2 − y 2 ;
b) g(x, y) =
a) f (x, y) =
c)
h(x, y) = sin y;
d)
p(x, y) = ex−y .
4
◦ Zadanie 3.4
Zbadać, czy podane ciągi punktów na płaszczyźnie lub w przestrzeni są zbieżne (dla
ciągów zbieżnych wskazać ich granice):
√
n2
π
n
n
, 2, 3 .
a) (xn , yn ) = (−1) , sin
; b) (xn , yn , zn ) =
n
n2 + 1
◦ Zadanie 3.5
Obliczyć, jeżeli istnieją, podane granice funkcji:
1 − cos (x2 + y 2 )
1
b)
lim
;
a)
lim
x2 + y 2 sin ;
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
xy
(x2 + y 2 )2
c)
x+y−2
;
(x,y)→(1,1) x2 + y 2 − 2
e*)
g*)
lim
lim
(x,y)→(0,0)
y ln x2 + y 2 ;
x4 + y 4
;
(x,y)→(0,0) x2 + y
lim
◦ Zadanie 3.6
Znaleźć zbiory
a) f (x, y) =
b) f (x, y) =
c) f (x, y) =
sin2 x
;
(x,y)→(π,0)
y2
x2 y
f*)
lim
;
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
x2 y
h*)
lim
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 3
d)
lim
punktów ciągłości podanych funkcji:
p
1 − x2 − y 2 dla x2 + y 2 ¬ 1,
0
dla x2 + y 2 > 1;
sin x dla y ­ 0 oraz x ∈ R,
1
dla y < 0 oraz x ∈ R;
ex dla x < y,
ey dla x ­ y.
Lista piata
,
◦ Zadanie 4.1
Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne cząstkowe rzędu pierwszego
podanych funkcji we wskazanych punktach:
2
x + y 2 dla xy = 0,
a) f (x, y) =
(x0 , y0 ) = (0, 0);
1
dla xy 6= 0,
p
5
xy(z − 1), (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 1);
b) f (x, y, z) =

 x dla y = 0,
y 2 dla x = 0,
c*) f (x, y) =
(x0 , y0 ) = (0, 0).

1 w pozostałych punktach ,
◦ Zadanie 4.2
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:
x
1 − xy
;
b) f (x, y, z) = 2
a) f (x, y) = arctg
;
x+y
x + y2 + z2
sin yx
c) f (x, y) = e
;
d) f (x, y, z) = sin(x cos(y sin z)).
5
◦ Zadanie 4.3
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane są równe:
a) f (x, y) = sin x2 + y 2 ;
b) f (x, y) = xexy ;
1
c) f (x, y, z) = p
;
d) f (x, y, z) = ln x2 + y 4 + z 6 + 1 .
x2 + y 2 + z 2
◦ Zadanie 4.4
∂2f
∂2f
Zbadać, czy równość
(0, 0) =
(0, 0) jest prawdziwa dla funkcji:
∂x∂y
∂y∂x

 x2 y 3
p
dla (x, y) 6= (0, 0),
3
b) f (x, y) =
x6 − 8y 3 .
a) f (x, y) =
x2 + y 2

0
dla (x, y) = (0, 0);
◦ Zadanie 4.5
Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji:
∂4f
x+y
∂3f
,
f
(x,
y)
=
sin
xy;
b)
, f (x, y) =
;
a)
2
2
∂x∂y
∂y ∂x∂y
x−y
∂3 f
x2 y 3
∂5f
c)
, f (x, y, z) =
;
d)
, f (x, y, z) = exy+z .
∂x∂y∂z
z
∂x∂y 2 ∂z 2
Lista szósta
◦ Zadanie* 4.6
Korzystając z definicji zbadać różniczkowalność podanych funkcji we wskazanych
punktach:
√
a) f (x, y) = 3 xy, (x0 , y0 ) = (0, 0);

1
 2
x + y 2 sin 2
dla (x, y) 6= (0, 0),
b) f (x, y) =
(x0 , y0 ) = (0, 0);
x + y2
 0
dla (x, y) = (0, 0),
c)
f (x, y, z) =
◦ Zadanie 4.7
p
x4 + y 4 + z 4 , (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0).
Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:
!
√
1 3
arcsin x
, (x0 , y0 , z0 ) = − ,
, −1 ;
a) z =
arccos y
2 2
b)
z = xy , (x0 , y0 , z0 ) = (2, 4, 16).
◦ Zadanie 4.8
Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:
p
3
a) (1.02)3 · (0.997)2 ; b)
(2.93)3 + (4.05)3 + (4.99)3 .
6
◦ Zadanie 4.9
Wysokość i promień podstawy stożka zmierzono z dokładnością ±1 mm. Otrzymano h = 350 mm oraz r = 145 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można
obliczyć objętość V tego stożka?
b) Krawędzie prostopadłościanu mają długości a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczyć w przybliżeniu, jak zmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli
długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm;
c*) Robot do zgrzewania karoserii samochodowych składa się z dwóch przegubowych
ramion o długości a = 1 m, b = 2 m (rysunek).
a)
y
6
6
t
αI
s
β
b
?x
-
a
π
π
Położenie zgrzewarki jest określone przez kąty α = , β = . Obliczyć w przy4
3
bliżeniu dokładność jej położenia, jeżeli kąty odchylenia ramion ustawiane są z
dokładnością ∆α = ∆β = 0, 003 rad.
◦ Zadanie 4.10
Wykorzystując reguły różniczkowania funkcji złożonych obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem x i y podanych funkcji:
u
, gdzie u = x sin y, v = x cos y;
a) z = f (u, v) = ln
v+1
x
u
y
b) z = f (u, v, w) = arcsin
, gdzie u = e , v = x2 + y 2 , w = 2xy.
v+w
Lista siódma
◦ Zadanie 4.11
Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
√ √ !
2 2
,
a) f (x, y) = 2|x| + |y|,
(x0 , y0 ) = (0, 0), ~v =
;
2 2
!
√
3
1
√
,
b) f (x, y) = 3 xy,
(x0 , y0 ) = (1, 0), ~v =
.
2 2
◦ Zadanie 4.12
Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
12 5
2
2
,
a) f (x, y) = x + y , (x0 , y0 ) = (−3, 4), ~
v=
;
13 13
7
b)
f (x, y, z) = exyz , (x0 , y0 , z0 ) = (−1, 1, −1), ~v =
√ !
1 3 3
,− ,
.
2 4 4
◦ Zadanie 4.13
Napisać wzór Taylora z resztą Rn dla podanych funkcji w otoczeniu wskazanych
punktów, jeżeli:
a) f (x, y) = sin x2 + y 2 , (x0 , y0 ) = (0, 0), n = 3;
b) f (x, y) = (x + y)3 , (x0 , y0 ) = (−1, 1), n = 4.
◦ Zadanie 4.14
Zbadać, czy podane funkcje mają ekstrema lokalne:
a) f (x, y) = 2|x| + 3|y|;
b) f (x, y) = 2x4 − 3y 7 .
◦ Zadanie 4.15
Znaleźć ekstrema podanych funkcji:
a) f (x, y) = 3(x − 1)2 + 4(y + 2)2 ;
c)
f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 51x − 24y;
e)
f (x, y) = xy 2 (12 − x − y);
f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy;
− x2 +y 2 +2x)
d) f (x, y) = e (
;
8 x
f) f (x, y) =
+ + y.
x y
b)
◦ Zadanie 4.16
Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
a) f (x, y) = x2 + y 2 ,
|x| + |y| ¬ 2;
b)
c)
f (x, y) = xy 2 + 4xy − 4x,
f (x, y) = x4 + y 4 ,
d*)
f (x, y) =
−3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0;
x2 + y 2 ¬ 9;
(x2 − 1) (y 2 − 1)
,
x2 + y 2 + 2
R2 .
Lista ósma
◦ Zadanie 4.17
W trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znaleźć punkt
M = (x0 , y0 ), dla którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest
najmniejsza.
b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V , aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?
c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:
x + y − 1 = 0,
x − y + 3 = 0,
k:
l:
z+1
= 0,
z−2
= 0.
a)
d)
Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m3 . Do budowy ścian magazynu używane są płyty w cenie 30 zł/m2 , do budowy podłogi w cenie 40 zł/m2 ,
a sufitu w cenie 20 zł/m2 . Znaleźć długość a, szerokość b i wysokość c magazynu,
którego koszt budowy będzie najmniejszy.
8
cm Wśród trójkątów wpisanych w koło o promieniu R znaleźć ten, który ma
największe pole;
f*)
cm Na trzech parami skośnych krawędziach sześcianu (rysunek) wyznaczyć po
jednym punkcie w ten sposób, aby pole trójkąta o wierzchołkach w tych punktach
było najmniejsze.
e*)
z
6
1
C
1
x
(qB
(
q ((( B
B
B
B
O B
BB Bq 1
-
y
A
◦ Zadanie 4.18
Zbadać, czy podane równania określają jednoznacznie ciągłe funkcje uwikłane y =
y(x) na pewnych otoczeniach zadanych punktów:
a) xy − y x = 0, i) A = (2, 4), ii*) B = (e, e), iii) C = (3, 3);
b) x4 − 2x2 y 2 + y 4 = 0, i) A = (0, 0), ii*) B = (1, 1), iii) C = (−1, 1) .
◦ Zadanie 4.19
Napisać równania stycznych do krzywych określonych podanymi równaniami we
wskazanych punktach tych krzywych:
a) x3 + x − y 3 − y = 0, (2, 2);
b) x2 + y 2 − 3xy + x = 0, (1, 1).
◦ Zadanie 4.20
Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanych y = y(x) określonych podanymi równaniami:
a) xey − y + 1 = 0; b) x2 + y 2 − 3xy = 0; c) x − y = sin x − sin y.
◦ Zadanie 4.21
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanych postaci y = y(x) określonych podanymi równaniami:
a) x2 + y 2 − xy − 2x + 4y = 0;
b) (x − y)2 = y + xy − 3x.
Lista dziewiata
,
◦ Zadanie 5.1
Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach:
9
a)
ZZ
dxdy
, gdzie R = [0, 2] × [0, 1];
(x + y + 1)3
b)
ZZ
x sin xy dxdy, gdzie R = [0, 1] × [π, 2π];
c)
ZZ
e2x−y dxdy, gdzie R = [0, 1] × [−1, 0].
R
R
R
◦ Zadanie 5.2
Podane całki podwójne zamienić na sumy iloczynów całek pojedynczych:
ZZ
a)
ex−y , gdzie R = [−1, 1] × [−1, 1];
R
x
xy ln , gdzie R = [1, e] × [1, 2];
y
R
ZZ √ 2
xy + 4x4
c)
, gdzie R = [1, 9] × [2, 3].
xy
b)
ZZ
R
◦ Zadanie 5.3
Całkę podwójną
ZZ
f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ogra-
D
niczony jest krzywymi o równaniach:
a) x2 + y = 2, y 3 = x2 ;
b) x2 + y 2 = 4, y = 2x − x2 , x = 0 (x, y ­ 0);
c) x2 − 4x + y 2 + 6y − 51 = 0;
d) x2 − y 2 = 1, x2 + y 2 = 3 (x < 0).
◦ Zadanie 5.4
W podanych całkach iterowanych zmienić kolejność całkowania:
Z1
Z|x|
Z1
Z0
a)
dx f (x, y) dy;
b)
dx
f (x, y) dy;
−1
c)
Z4
0
−1
√
√
x
2
Z
dx
f (x, y) dy; d)
√
4x−x2
0
Z2
√
− 2
◦ Zadanie 5.5
√
− 1−x2
y2
Z2
dy
f (x, y) dx.
y 2 −1
Obliczyć podane całki iterowane:
Z1
Zx2
Z4
Z2x
√
y
a)
dx
dy;
b)
dx x2 y − x dy;
2
x
0
c)
Z2
−2
dx
3
x√
Z4−x2
0
1
x3 + y
3
dy; d*)
x
Zπ
0
dx
Zπ
sin y
dy.
y
x
10
Narysować obszary całkowania.
Lista dziesiata
,
◦ Zadanie 5.6
Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
ZZ
a)
min(x, y) dxdy, gdzie D = [0, 1]×[0, 2];
b)
c)
d)
D
ZZ
E(x + y) dxdy, gdzie D = [0, 2]×[0, 2];
D
ZZ
|x − y| dxdy, gdzie D = {(x, y) ∈ R2 : x ­ 0, 0 ¬ y ¬ 3 − 2x};
D
ZZ
sgn x2 − y 2 + 2 dxdy, gdzie D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ 4} .
D
Uwaga.
Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei E(u) oznacza
część całkowitą liczby u.
◦ Zadanie 5.7
Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:
h πi
;
a) f (x, y) = sin x cos y, gdzie D = [0, π] × 0,
2
b) f (x, y) = x + y, gdzie D : 0 ¬ y ¬ π, 0 ¬ x ¬ sin y.
◦ Zadanie 5.8
Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
ZZ
a)
xy dxdy, gdzie D : x ­ 0, 1 ¬ x2 + y 2 ¬ 2;
D
b)
ZZ
c)
ZZ
y 2 ex
2 +y 2
dxdy, gdzie D : x ­ 0, y ­ 0, x2 + y 2 ¬ 1;
D
D
d*)
ZZ
D
x2 + y 2 dxdy, gdzie D : y ­ 0, y ¬ x2 + y 2 ¬ x;
x
p
2
x2 + y 2 dxdy, gdzie D : x ­ 0, (x2 + y 2 ) ¬ 4 (x2 − y 2 ).
◦ Zadanie 5.9
Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:
a) y 2 = 4x,
x + y = 3, y = 0 (y ­ 0);
2
2
b) x + y − 2y = 0,
x2 + y 2 − 4y = 0;
c) x + y = 4,
x + y = 8, x − 3y = 0, x − 3y = 5;
√
2
2
d) x + y = 2y,
y = 3|x|.
11
◦ Zadanie 5.10
Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami:
a) x2 + y 2 − 2y = 0, z = x2 + y 2 , z = 0;
b) x2 + y 2 + z 2 − 2z = 0;
c*) (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1, z = xy, z = 0; d*) 2z = x2 + y 2 , y + z = 4.
Lista jedenasta
◦ Zadanie 5.11
Obliczyć pola podanych płatów:
2
2
2
2
a) z = x + y , x + y ¬ 1;
2
2
2
2
2
2
b) x + y + z = R , x + y − Rx ¬ 0, z ­ 0;
p
c) z =
x2 + y 2 , 1 ¬ z ¬ 2;
d*) Satelita telekomunikacyjny jest umieszczony na orbicie geostacjonarnej położonej
w odległości h = 400 km od powierzchni Ziemi. Obliczyć pole obszaru objętego
zasięgiem tego satelity. Przyjąć, że promień Ziemi jest równy R = 6400 km.
◦ Zadanie 5.12
Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:
a) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x , gdzie σ(x, y) = x;
b) D = (x, y) ∈ R2 : 1 ¬ x2 + y 2 ¬ 4, y ­ 0 , gdzie σ(x, y) = |x|.
◦ Zadanie 5.13
Znaleźć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
a) D — trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;
b) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin2 x ;
c) D = (x, y) ∈ R2 : x2 ¬ y ¬ 1 ;
d) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ ex .
◦ Zadanie 5.14
Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
a) D – kwadrat jednorodny o boku a, moment obliczyć względem przekątnej, przyjąć
σ(x, y) = 1;
b) D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ R2 , y ­ 0 , moment obliczyć względem osi Ox,
p
przyjąć σ(x, y) = x2 + y 2 ;
c) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ y ¬ 1 − x2 , moment obliczyć względem osi symetrii obszaru, przyjąć σ(x, y) = x2 ;
d) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x , moment obliczyć względem osi
Ox, przyjąć σ(x, y) = x.
◦ Zadanie 5.15
Obliczyć parcie wody na płytę zasuwy turbiny elektrowni wodnej. Zasuwa jest ustawiona pionowo i ma kształt kwadratu o boku a = 1 m. Górna krawędź tej zasuwy
jest pozioma i znajduje się H = 5 m pod poziomem wody.
12
◦ Zadanie 5.16
Obliczyć siłę, z jaką masa punktowa m = 100 kg jest przyciągana przez jednorodne
koło o masie M = 100000 kg i promieniu R = 4 m. Masa punktowa jest położona
na wysokości H = 3 m nad środkiem koła.
Lista dwunasta
◦ Zadanie 6.1
Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:
ZZZ
x dxdydz
, gdzie U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];
a)
yz
U
ZZ
Z
b)
(x + y + z) dxdydz, gdzie U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];
c)
ZZUZ
sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, gdzie U = [0, π] × [0, π] × [0, π].
U
◦ Zadanie 6.2
Podane całki potrójne zamienić na sumy iloczynów całek pojedynczych:
ZZZ
h πi h πi
a)
sin(x + y + z) dxdydz, gdzie U = 0,
× 0,
× [0, π];
2
2
U
ZZ
Z
b)
z ln (xy y x ) dxdydz, gdzie U = [1, e] × [1, e] × [0, 1].
U
◦ Zadanie 6.3
Całkę potrójną
ZZZ
f (x, y, z) dxdydz zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar U
U
jest ograniczony powierzchniami o podanych równaniach:
p
a) z = 2 x2 + y 2 , z = 6;
x2 + y 2 + z 2 = 25, z = 4, (z ­ 4) ;
p
20 − x2 − y 2 .
c) z = x2 + y 2 , z =
b)
◦ Zadanie 6.4
W podanych całkach iterowanych zmienić kolejność całkowania (rozważyć wszystkie
przypadki):
a)
Z1
dx
0
b)
Z2
−2
2−2x
Z
3−3x− 23 y
Z
dy
0
dx
Z0
√
− 4−x2
0
f (x, y, z) dz;
√
dy
−
√
4−x2 −y 2
Z
f (x, y, z) dz;
4−x2 −y 2
13
c)
Z3
√
dz
0
Zz
√
− z
dx
√
Zz−x2
f (x, y, z) dy.
√
− z−x2
Lista trzynasta
◦ Zadanie 6.5
Obliczyć całki potrójne z danych funkcji po wskazanych obszarach:
a) f (x, y, z) = ex + y + z , gdzie U : x ¬ 0, −x ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ −x;
1
, gdzie U : x ­ 0, y ­ 0, 0 ¬ z ¬ 1−x−y;
b) f (x, y, z) =
(3x+2y+z +1)4
c)
f (x, y, z) = x2 + y 2 , gdzie U : x2 + y 2 ¬ 4, 1 − x ¬ z ¬ 2 − x.
◦ Zadanie 6.6
Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:
ZZZ
2
a)
x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 ¬ 4, 0 ¬ z ¬ 1;
b)
c)
U
Z
ZZ
ZZUZ
U
xyz dxdydz, gdzie U :
p
p
x2 + y 2 ¬ z ¬ 1 − x 2 − y 2 ;
x2 + y 2 dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 + z 2 ¬ R2 , x2 + y 2 + z 2 ¬ 2Rz.
◦ Zadanie 6.7
Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:
ZZZ
dxdydz
p
a)
, gdzie U : 4 ¬ x2 + y 2 + z 2 ¬ 9;
x2 + y 2 + z 2
U
ZZ
Z
p
p
b)
x2 + y 2 dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 ¬ z ¬ 1 − x2 − y 2 ;
c)
d)
ZZUZ
U
ZZ
Z
z 2 dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 + (z − R)2 ¬ R2 (R > 0);
x2 dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 + z 2 ¬ 4x.
U
◦ Zadanie 6.8
Obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:
2
2
a) x + y = 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;
2
2
b) x = −1, x = 2, z = 4 − y , z = 2 + y ;
1
, z = 0, x2 + y 2 = 1.
c) z =
1 + x2 + y 2
14
Lista czternasta
◦ Zadanie 6.9
Obliczyć masy podanych obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
a) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], gdzie γ(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;
b) U : x2 + y 2 + z 2 ¬ 9, gdzie γ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
◦ Zadanie 6.10
Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
a) U : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x;
b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;
p
c) U : x2 + y 2 ¬ z ¬
2 − x2 − y 2 .
◦ Zadanie 6.11
Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M :
a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
c) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem średnicy podstawy;
2
2
2
2
d*) część kuli x +y +z ¬ R położona w pierwszym oktancie, względem osi symetrii
tej części.
◦ Zadanie 6.12
Obliczyć siłę, z jaką jednorodna kula o promieniu R i masie M przyciąga punkt
materialny o masie m położony w odległości d od środka kuli, d > R.
◦ Zadanie 6.13
Obliczyć natężenie pola elektrycznego, jakie wytwarza jednorodnie naładowany stożek o promieniu podstawy R, wysokości H i ładunku całkowitym Q, w swoim wierzchołku.
◦ Zadanie* 6.14
Podstawą jednorodnego ostrosłupa jest prostokąt o wymiarach a = 40 cm, b =
30 cm. Jedna z krawędzi ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i ma
długość h = 20 cm. Obliczyć, jak daleko może wystawać ten ostrosłup poza krawędź
stołu, aby nie spadł na podłogę (rysunek).
h
b
a
15