ĆWICZENIE 5 KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR

ĆWICZENIE 5
KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA
Wektor momentu przy zginaniu ukośnym można zrzutować na osie y, z , będące głównymi
centralnymi osiami bezwładności przekroju. Przyjmujemy konwencję znakowania
składowych momentów zgodnie z którą składowa jest dodatnia gdy jej zwrot jest zgodny z
osią y lub z. Poniższy rysunek przedstawia składowe dodatnie.
Działanie poszczególnych składowych przedstawia rysunek. Rozciąganie włókien przedstawia kropka, ściskanie krzyżyk. Stąd dla pierwszej ćwiartki układu współrzędnych
(dodatnie wartości współrzędnych y oraz z) wynikają odpowiednie znaki składników
naprężeń normalnych:
M y
M z
y
Jz
Jy
Dla zginania ukośnego momentem o dowolnych składowych otrzymujemy wzór zgodny z
podaną konwencją znakowania.
x 
x 
z
x  
My
Jy
z
Mz
y
Jz
Uwaga: dla innej konwencji znakowania otrzymujemy inne znaki we wzorze na naprężenia.
Oś obojętna w przekroju zginanym ukośnie
0
My
z
Jy
Jy
Jz
z
Mz
y
Jz

M  cos 
M  sin 
z
y
Jy
Jz
z   tg    y
 tg   y
Przypadki:
J y  J z  tg  tg 
0
J y  J z  tg  tg 
gdzie:
tg  
Jy
Jz
tg
J y  J z  tg  tg 
PRZYKŁAD - SIŁA SKUPIONA
Wyznaczyć naprężenia w środku belki wolnopodpartej obciążonej siłą skupioną jak na
rysunku poniżej przyłożoną w środku przęsła.
Z rysunku widać że składowe tej siły na oś y oraz na oś z są skierowane przeciwnie do
odpowiednich osi.
Jeśli mamy do czynienia z obciążeniem przestrzennym (tzn. nie leżącym w żadnej z
płaszczyzn wyznaczonej przez oś x i jedną z osi głównych) to najlepszą metodą jest rozkład
tego obciążenia na dwie płaszczyzny  xy oraz  xz i analiza momentów zginających osobno
dla każdej płaszczyzny a następnie zsumowanie składników naprężeń.
płaszczyzna  xy obciążenie składową Py
Poniżej przedstawiono wykres momentów, z którego należy odczytać wartość momentu w
środku przęsła oraz przypisać znak. Znak ustalamy następująco: dokonujemy podziału
płaszczyzną o normalnej zewnętrznej skierowanej zgodnie z osią x. Moment zginający działa
ciągnąc włókna po tej stronie, po której narysowany jest wykres, w stronę włókien
przeciwnych. Tak narysowanemu momentowi (na czerwono) przypisujemy wektor, zgodnie z
reguła śruby prawoskrętnej. Jeśli ten wektor ma zwrot zgodny z osią układu prawoskrętnego
(w tym przypadku oś z) to moment ten ma znak dodatni.
x  
Mz
y
Jz
gdzie:
M z   Py 
l
4
płaszczyzna  xz obciążenie składową Pz
Analizując podobnie otrzymujemy wektor momentu przeciwny do osi Y
x  
My
Jy
z
gdzie:
M y   Pz 
l
4
Naprężenie całkowite wyznaczamy ze wzoru dla zginania ukośnego:
x  
My
Jy
z
Mz
y
Jz
l
l
gdzie: M y   Pz  , M z   Py 
4
4
PŁATEW DACHOWA OBCIĄŻONA CIĘŻAREM WŁASNYM
SPOSÓB I
Obciążenie leży w płaszczyźnie xyo , która nie jest związana z osią główną. Jest możliwe
narysowanie wykresu momentów Mzo oraz wyznaczenie wartości ekstremalnej wraz ze
znakiem. Znak ustalamy następująco: dokonujemy przecięcia osi płaszczyzną normalną i
zwracamy się na stronę, gdzie zwrot normalnej zewnętrznej jest zgodny z osią x. Moment
(zgodnie z umową o rysowaniu momentów po stronie włókien rozciąganych) ciągnie w tym
przypadku włókna dolne a ściska górne. Wektor momentu jest skierowany przeciwnie do osi
zo . Wektor ten rozkładamy na składowe wzdłuż osi y oraz z orzymując wartości tych
składowych oraz znaki poprzez porównanie zwrotów wektorów składowych i zwrotów osi.
SPOSÓB II
Rozkład obciążenia q na składowe wzdłuż kierunków osi głównych przekroju. Rozważamy
teraz dwie płaszczyzny xy oraz xz . W każdej z tych płaszczyzn rysujemy wykresy
momentów zginających i podobną metodą jak poprzednio przypisujemy odpowiednim
momentom znaki porównując zwroty osi prostopadłych do płaszczyzny oraz zwroty
momentów. Otrzymujemy w ten sposób dwie składowe momentu zginającego, który
otrzymamy przez złożenie tych składowych.
Nietrudno zauważyć ,że rezultat jest ten sam dla obydwu sposobów.
2
q y l 2 q   cos    l 2
qz l 2 q   sin    l
My  

Mz  

8
8
8
8
3
3
bh
hb
Jy 
Jz 
12
12
 q   sin    l 2 
 q   cos    l 2 




8
8



y
x  
z
3
3
b h 
h b 




 12 
 12 
2
Oś obojętna
Dane do obliczeń:
q  3.0 kN / m
Wyniki:
max  x  4.01 MPa
b
z     ctg   y
h
l  1.6 m
b  0.10 m
h  0.15 m
  26 .57
  48 .4
Zginanie ukośne
Zadanie.
Obliczyć maksymalne naprężenie normalne w belce jak na rys.1a. o przekroju jak na rys.
1b.
Rys.1a.
Rys.1b.
kątownik 140  140  15
dane z tablic kształtowników:
J yO  J zO  724 cm 4
J yOzO  425 cm 4
I) Charakterystyki geometryczne przekroju
Przekrój posiada oś symetrii, co determinuje położenie głównych centralnych osi
bezwładności yz pod kątem 45 stopni względem osi ciężkości y 0 z 0
Z prawa transformacji główne centralne momenty bezwładności wynoszą:
J 1, 2 
J y0  J z0
2

1
2
J
 J z 0   4J y 0 z 0 
2
y0
2
J 1  J z  1149 cm 4  11.49  10 6 m 4
J 2  J y  299 cm 4  2.99  10 6 m 4
II) Naprężenia normalne w przekroju maksymalnego momentu zginającego:
ql 2
M max  M l 
 7.84 kNm
2
8
 
Rozkładamy wektor momentu na składowe wzdłuż kierunków głównych:
M y   M max
2
 5.54 kNm
2
M z   M max
2
 5.54 kNm
2
Rozkład naprężeń normalnych w przekroju maksymalnego momentu określa równanie:
x 
My
Jy
z
Mz
 5.54 kNm
 5.54 kNm
y
z
y
6
Jz
2.99  10 m
11.49  10 6 m
po podaniu współrzędnych yz punktów w metrach ze wzoru otrzymamy naprężenia mierzone
w kPa.
Równanie osi obojętnej otrzymujemy z równania:
 x  0  z  0.26 y
oś tą zaznaczono na poniższym rysunku
punkt A
Maksymalne naprężenie normalne występuje w punkcie przekroju najbardziej oddalonym od
osi obojętnej. Z rysunku widać, że jest to punkt A o współrzędnych:
y0  A  2.5 cm  2.5  10 2 m
z 0  A  10.0 cm  10.0  10 2 m
W celu wyznaczenia współrzędnych w układzie yz trzeba wykorzystać wzory transformacyjne przy obrocie układu:
 y A  cos 
 z  A   sin 

 
sin    y 0  A   8.8  10 2 m 



cos    z 0  A  5.3  10 2 m
Naprężenie w punkcie A wynosi:
 x  A  max  x 
 5.54 kNm
 5.3 10 2 m   5.54 kNm
 8.8 10 2 m  140 103 kPa  140 MPa
6
6
2.99  10 m
11.49  10 m
Zadanie
Wspornik o przekroju dwuteowym pokazanym na rys.3. zaprojektowany został na działanie
siły poprzecznej. Wskutek niedokładności montażowej oś główna centralna przekroju
odchyliła się od pionu o kąt 10 Poszukać położenia osi obojętnej i porównać z położeniem osi
.
obojętnej dla pręta idealnie zamontowanego. Dane: J z
 k  49.9
Jy
Współrzędne momentu zginającego (dla przekroju przypodporowego) w głównych
centralnych osiach bezwładności przekroju wynoszą:
M y  P sin  L
M z  P cos  L
rys.3.
Oś obojętną określa równanie:
My
My
M
0
z  z y  y  
Jy
Jz
 Mz

k  z

Po wstawieniu składowych momentów i wartości zadanego współczynnika k otrzymamy :
y  tg z gdzie   410
określa położenie nowej osi obojętnej.
Dla pręta idealnie zamontowanego oś z jest osią obojętną.
PROJEKT 5
Projektowanie płatwi dachowej – przykład.
Schemat po lewej stronie przedstawia rozkład obciążenia wzdłuż osi belki. Po prawej stronie
przedstawiono kierunki obciążeń zewnętrznych oraz orientację przekroju względem kierunku
poziomego (i pionowego)
Poniżej podany jest przekrój zwymiarowany parametrycznie.
Należy zaprojektować parametr a ze względu na maksymalne naprężenia normalne,
występujące w przekroju α-α . Narysować oś obojętną w tym przekroju oraz bryłę naprężeń.