Zapisz jako PDF

W. I. Arnold — wielkiej klasy matematyk — zauważył, że:
Główne odkrycie Newtona, to, którego zdecydował się nie ujawniać i opublikował
tylko w postaci anagramu, brzmi: Data aequatione quodcunque fluentes quantitiae
involvente fluxiones invenire et vice versa. W tłumaczeniu [z łaciny i] na współczesny
język matematyki oznacza
to, że Rozwiązywanie równań różniczkowych jest rzeczą pożyteczną.
Tak się składa, że ogromna większość praw fizyki sformułowana jest jako równania różniczkowe.
Pierwsze z brzegu przykłady to: Prawo Newtona
, równania Maxwella, równanie
Schrödingera. Aby wydobyć fizyczną treść z równania, trzeba je umieć rozwiązać lub zbadać jego
własności. Niniejszy rozdział jest wstępem do tego.
Ogólnikowa definicja
Niech
będzie funkcją
zmiennych, zaś
niech będzie funkcją jednej zmiennej . Równanie
(gdzie
) nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym. Każdą funkcję
, która po
wstawieniu do tego równania spełnia je tożsamościowo, nazywamy rozwiązaniem równania
różniczkowego.
Tak sformułowany problem jest bardzo ogólny i bardzo trudny — w tej chwili dalecy jesteśmy od jego
pełnego rozwiązania. Będziemy zaczynać od szczególnych przypadków, o których da się więcej
powiedzieć.
Garść przykładów
Zanim podamy formalne definicje, podamy najsampierw garść przykładów, które Czytelnik
najprawdopodobniej już zna, nie będąc może jedynie obeznajomionym z terminologią.
1. Znaleźć funkcję
, spełniającą równanie:
gdzie
jest zadaną funkcją. Rozwiązanie problemu każdy umie znaleźć (a
przynajmniej powinien):
— dowolna stała. </math>
W języku najbardziej chyba typowego przykładu z fizyki: Rozpatrujemy ruch punktu
materialnego po prostej. Niech
zależności drogi od czasu.
jest prędkością punktu w chwili . Szukamy
2. Możemy też mieć do czynienia z nieco innym postawieniem problemu: Znaleźć
rozwiązanie zagadnienia (%i 1) zakładając, że
— dane. (W języku fizyki,
zakładamy, że w danej chwili czasu punkt materialny znajduje się w określonym
położeniu
). Wtedy rozwiązanie (%i 2) jest już jednoznaczne — stała
przybiera określoną wartość.
2. Rozpad promieniotwórczy. Szybkość rozpadu promieniotwórczego próbki jest proporcjonalna
do jej masy. Można więc zapisać:
(gdzie
jest dodatnią stałą); chcemy znaleźć zależność masy próbki od czasu.
Rozważmy ogólniejszy problem: Znaleźć funkcję
Tu wygodniej jest szukać nie
odwrotnej
, spełniającą równanie:
, a funkcji odwrotnej
wyraża się przez pochodną
wzorem:
. Pamiętając, że pochodna funkcji
, mamy:
co daje
— dowolna stała.
(Powyższą procedurę można zapamiętać za pomocą sztuczki mnemotechnicznej, polegającej na
potraktowaniu lewej strony równania (%i 4) jako ułamka i przekształceniu go do postaci:
i obłożeniu obu stron znakiem całki, co daje (%i 6). Ten sposób postępowania należy
traktować WYłąCZNIE jako sztuczkę mnemotechniczną, bo pochodna nie jest ułamkiem, a
całościowym wyrażeniem).
Rozwiązując w ten sposób równanie (%i 3), mamy
co przekształcamy do postaci
zatem masa próbki wykładniczo maleje w czasie. Jest to ogólne rozwiązanie problemu. Gdy
mamy do czynienia z konkretnym warunkiem początkowym, tzn. warunkiem, że masa próbki w
danej chwili czasu (powiedzmy
) jest równa
, mamy
3. Omawiane dotąd przykłady miały jedną cechę wspólną: Istniało jednoznaczne rozwiązanie
równania z zadanym warunkiem początkowym. Istnieją jednak sytuacje, w których
jednoznaczność nie ma miejsca. Rozważmy równanie:
z warunkiem początkowym
.
Rozwiązanie ogólne równania jest proste do uzyskania:
skąd, uwzględniając warunek początkowy
Ale też! Funkcja
spełnia zarówno równanie (%i 7) jak i warunek początkowy
. Rozwiązanie zatem nie jest jednoznaczne. Niedługo zobaczymy, przy jakich warunkach
istnienie i jednoznaczność rozwiązania mają miejsce.
Algorytmy rozwiązywania niektórych równań pierwszego rzędu
(Prawie) najogólniejsza postać równania pierwszego rzędu to
gdzie
jest daną funkcją ciągłą. Szukamy funkcji
, która spełnia równanie (%i 8).
1. Rownanie o zmiennych rozdzielonych. Nazywamy tak sytuację, gdy
— funkcje ciągłe. Wtedy równanie (%i 8) przyjmuje postać
, gdzie
Zapiszmy je w postaci:
Niech
będą funkcjami pierwotnymi do
i
odpowiednio (tzn.
,
). Wtedy powyższe równanie można zapisać
co daje
rozwiązanie jest więc dane w postaci uwikłanej. Po odwróceniu
(jeśli się to da zrobić) mamy
Przykł. Podajmy ogólne rozwiązanie równania
zakładamy, że
Postępując jak powyżej, mamy
co daje
i ostatecznie
Uwaga. Do klasy równań o zmiennych rozdzielonych należą dwa pierwsze przykłady z
poprzedniej Subsection.
2. Rownanie jednorodne. Nazywamy tak równanie (%i 8), gdzie prawa strona jest funkcją
zależącą tylko od :
Rozwiązanie otrzymujemy podstawiając zamiast
nową zmienną , zdefiniowaną jako
Mamy wtedy:
i wstawiając to do równania (%i 9), otrzymujemy
co jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. Całkując je otrzymamy
Przykł. Rozwiążmy równanie:
Podstawiając standardowo
i całkując, otrzymujemy:
, otrzymamy:
i wracając do zmiennej , dostajemy rozwiązanie w postaci
bądź, gdybyśmy chcieli mieć rozwiązanie w postaci nieuwikłanej,
3. Równanie liniowe. Nazywamy tak równanie
gdzie
— zadane funkcje. Gdy
, to równanie powyższe nazywamy jednorodnym; w
przeciwnym wypadku mówimy o równaniu niejednorodnym.
Uwaga. Sprawdza się natychmiastowo, że jeśli
— dwa rozwiązania równania
jednorodnego, to ich suma też jest rozwiązaniem; ponadto, jeśli jakieś rozwiązanie pomnoży się
przez stałą, to również otrzymuje się rozwiązanie. To pokazuje, że rozwiązania równania
jednorodnego są przestrzenią wektorową. Jej wymiar jest równy 1 — co za chwilę zobaczymy.
Ogólny przypadek równania (%i 11) — równania niejednorodnego — rozwiązuje się w dwóch
etapach. Pierwszy z nich to rozwiązanie ogólne równania jednorodnego. Drugi, to uzyskanie
jakiegoś (tzw. szczególnego) rozwiązania równania niejednorodnego. Ogólne rozwiązanie
równania niejednorodnego będzie sumą powyższych dwu rozwiązań.
1. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (RORJ). Mamy
co jest równaniem o rozdzielonych zmiennych. Mamy
i oznaczając:
oraz
, mamy
gdzie — dowolna stała, a
— 'Ogólne Jednorodne'.
2. Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego (RSRN). Znajdowanie tego
rozwiązania odbywa się za pomocą tzw. metody uzmienniania stałej. Polega ona na tym,
iż zakładamy, że rozwiązanie równania niejednorodnego jest postaci
Zakładając tę postać, wstawiamy ją do równania (%i 11) i mamy
a że
, to drugi i trzeci wyraz z lewej strony się kasują i dostajemy
skąd
Można zapytać, dlaczego przy całkowaniu nie dopisaliśmy kolejnej dowolnej stałej? Otóż
dlatego, że dopisanie tej stałej prowadziłoby do dodania do
wyrazu proporcjonalnego
do równania jednorodnego, a więc nie prowadziłoby do rozwiązania ogólniejszego, niż
już mamy. Ostatecznie mamy wzór na rozwiązanie równania (%i 11)
gdzie
— dowolna stała.
Przykł. Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania
RORJ: Równanie jednorodne:
jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. Mamy:
skąd
RSRN: Uzmienniamy stałą
tzn. przyjmujemy, że jest ona funkcją . Mamy:
co po wstawieniu do wyjściowego równania (%i 13) daje, po kilku skróceniach:
skąd
; tak więc
RORN:
Równania 2. rzędu: Obniżenie rzędu równania — parę sztuczek
Przykł.
Ruch ze stałym przyspieszeniem . Dwie stałe całkowania mają sens fizyczny prędkości oraz
położenia początkowego:
.
,
,
Przykł.
Obniżenie rzędu dla równania Newtona z siłą gradientową:
Po obustronnym pomnożeniu przez
gdzie
, tzn.
mamy:
jest dowolną stałą. Jaki jest jej sens fizyczny? Po przeniesieniu
czyli stała
na drugą stronę mamy
ma sens fizyczny energii całkowitej.
Otrzymaliśmy w ten sposób równanie pierwszego rzędu. Stąd po przekształceniu mamy:
co jest równaniem o rozdzielonych zmiennych. Po scałkowaniu otrzymamy:
Oscylator harmoniczny
Wahadło bez przybliżenia małych drgań i ELIPTYSIE.
Równania wyższych rzędów
Okazuje się, że równanie -tego rzędu
można sprowadzić do układu równań pierwszego rzędu.
Wprowadźmy bowiem pomocnicze funkcje:
Wtedy równanie (%i 14) można zapisać w postaci układu równań:
Przykł.
Równanie ruchu oscylatora harmonicznego zapisane jako układ 2 równań I rzędu.
Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności
Wstęp ideowy
Rozważamy tu układy równań różniczkowych pierwszego rzędu; zgodnie z otrzymanym dopiero co
wynikiem, dowolne równanie -tego stopnia możemy wyrazić jako układ równań pierwszego
rzędu.
Zadamy określony warunek początkowy i zapytamy, kiedy układ ma jednoznaczne rozwiązanie.
Odpowiedź dana jest przez twierdzenie (Cauchy'ego)[1] o istnieniu i jednoznaczności dla takich
układów.
Zanim sformułujemy to twierdzenie, podamy najsampierw wstęp ideowy, a potem przygarść
niezbędnych definicji.
Będziemy rozważać układ równań różniczkowych:
Odwzorowanie Picarda
Def. Odwzorowaniem Picarda nazywamy odwzorowanie , przeprowadzające funkcję
w funkcję
, gdzie
Okazuje się, że
jest rozwiązaniem układu z warunkiem początkowym
jest punktem stałym odwzorowania
, tzn.
.
Dowód
jest natychmiastowy, jeśli się nie przejmujemy 'drobiazgami', tzn. porządnym określeniem
używanych obiektów oraz ich istnieniem. (Na razie się tym nie przejmujemy, ale zrobimy to później):
Jeśli zróżniczkujemy
, to dostaniemy
różniczkowego i całkowego); mamy więc:
spełniony jest też warunek początkowy.
(z podstawowego tw. rachunku
. Ponadto
, więc
Przypominając sobie teraz, co to jest odwzorowanie zwężające i jakie ma własności, i mając nadzieję,
że odwzorowanie Picarda będzie zwężające, możemy skonstruować rozwiązanie układu (%i 16) przez
kolejne iteracje odwzorowania .
Przykł.
Znajdźmy rozwiązanie równania różniczkowego z warunkiem początkowym:
metodą Picarda.
Musimy wziąć jakąś funkcję i następnie działać na nią kolejnymi potęgami odwzorowania Picarda.
Weźmy dla prostoty:
Liczymy kolejno:
itd. Z postaci kilku pierwszych wyrazów ciągu funkcji
tego elementu:
łatwo chyba już domyślić się postaci
w czym można rozpoznać rozwinięcie w szereg funkcji
Czytelnik zechce się przekonać, że powyższa funkcja jest rozwiązaniem problemu (%i 18).
Definicje
Całka wektorowa
Będziemy potrzebować definicji całki z funkcji o wartościach wektorowych. Niech
będzie funkcją o wartościach wektorowych, ciągłą na
definiujemy w zwykły sposób: Wartość
składowej funkcji .
. Całkę wektorową:
tej składowej wektora
jest równa całce Riemanna z
W dalszym ciągu przydatne będzie następujące oszacowanie takiej całki:
Lemat
Zachodzi nierówność
Dowód
Korzystając z nierówności trójkąta porównamy sumy całkowe. Mamy:
i przechodząc do granicy, otrzymujemy nierówność (%i 19) dla całek.
tej
CBDO
Warunek Lipschitza
Niech
. Mówimy, że
spełnia warunek Lipschitza, jeżeli istnieje taka stała
, że
dla dowolnych
Przykł.
Niech
będzie funkcją klasy
. Pokażemy, że taka funkcja spełnia warunek
Lipschitza. Z tw. Lagrange'a o wartości średniej wiemy, że dla dowolnych
, że
istnieje takie
; zatem
Pochodna jest ciągła, bo jest klasy
, więc jest ograniczona (jako funkcja ciągła na zb.
zwartym). Tak więc spełnia warunek Lipschitza.
Przykł.
Rozważmy funkcję określoną na
:
Lipschitza. Mamy bowiem (powiedzmy, że
. Pokażemy, że ta funkcja nie spełnia warunku
):
a w szczególności
co rośnie nieograniczenie, gdy
. Zatem nie istnieje uniwersalna stała
taka, by
dla dowolnych
. Będziemy rozważać układ równań
różniczkowych (%i 16), gdzie
. Niech funkcja będzie określona w pewnym otwartym
obszarze
. Zakładamy, że jest różniczkowalna w sposób ciągły, oraz że spełnia
warunek Lipschitza względem pierwszego argumentu:
(dla wszystkich takich, że
).
. RYS.
Weźmy dowolny punkt
Wtedy walec
dla dostatecznie małych
Oznaczmy przez
leży w obszarze
kres górny
Rozpatrzmy teraz stożek
.
na walcu
o wierzchołku
.
jest osiągane, gdyż
, rozwarciu
i wysokości
jest zwarty.
:
Jeśli liczba jest dostatecznie mała, to stożek
leży wewnątrz walca
. Jeśli liczby
dostatecznie małe, to wewnątrz
leży również każdy stożek
, otrzymany z
przez
przesunięcie wierzchołka do punktu
Będziemy przyjmować, że
oraz
. RYS.
, gdzie
są liczbami na tyle małymi, aby
układu (%i 16) z warunkiem początkowym
są
jako
. Oznaczmy rozwiązanie
. RYS2.
Odpowiadająca temu rozwiązaniu trajektoria (krzywa całkowa) leży wewnątrz stożka
.
Przestrzeń metryczna odwzorowań
Rozpatrzmy wszystkie możliwe odwzorowania ciągłe walca:
,
w
przestrzeń euklidesową
. Przez
oznaczymy zbiór takich odwzorowań, spełniających ponadto
warunek
(dla takich odwzorowań, w szczególności, jest spełnione:
).
Możemy uczynić z
przestrzeń metryczną, jeśli wprowadzimy metrykę : Dla dwóch odwzorowań
ich odległość definiujemy jako
Twierdzenie
Zbiór
wyposażony w powyższą metrykę
jest przestrzenią metryczną zupełną.
LUKA 0: Dowodu zupełności nie będzie.
Pokażemy tylko, że
jest przestrzenią metryczną. Aksjomaty nieujemności metryki oraz symetrii są
w oczywisty sposób spełnione. Nierówność trójkąta też jest wykazać dość prosto:
Nazwijmy najsampierw:
że dla dowolnych funkcji
Dla dowolnego punktu
Niech
; wtedy:
zachodzi:
. Chcemy pokazać,
mamy:
będzie punktem, dla którego osiągane jest supremum
:
. Mamy wtedy:
Ponieważ dla dowolnego
mamy:
,
, to też
czyli (%i 22).
Odwzorowanie zwężające
Zdefiniujmy odwzorowanie
przyjmując
Zauważmy, że dzięki nierówności (%i 21) punkt:
również do obszaru określoności odwzorowania .
należy do stożka
, a więc
Twierdzenie
Jeśli wartość
w siebie.
jest dostatecznie mała, to wzór (%i 23) określa odwzorowanie zwężające przestrzeni
Dowód
1. Wykażemy, że przeprowadza
w siebie. Odwzorowanie
jest ciągłe, bo LUKA 1: Całka z
funkcji ciągłej, zależnej w sposób ciągły od parametru, także zależy w sposób ciągły od
parametru i jest też ciągłą funkcją granic całkowania:
Odwzorowanie
spełnia nierówność (%i 21), ponieważ
Zatem
.
2. Wykażemy, że przy dostatecznie małym
zachodzi:
odwzorowanie
jest zwężające, tzn. dla dowolnych
Oszacujemy w tym celu wartość normy odwzorowania
Mamy:
w jakimś punkcie
.
gdzie
dla
. Ale odnośnie odwzorowania założyliśmy, że
spełnia, przy ustalonym , warunek Lipschitza ze względu na pierwszy argument, ze stałą .
Mamy więc
A więc na podstawie Lematu
Tak więc!! Jeśli
, to
jest odwzorowaniem zwężającym.
CBDO
Twierdzenie Cauchy'ego o lokalnym istnieniu i jednoznacznościrozwiązania układu równań
różniczkowych I. rzędu
(Zwane też tw. Picarda lub Picarda–Cauchy'ego)
Rozważmy układ równań różniczkowych z warunkiem początkowym:
gdzie
. Niech
, niech
spełniającą warunek Lipschitza, tzn. istnieje taka stała
będzie funkcją
, że:
Wtedy lokalnie istnieje jedyne rozwiązanie układu z warunkiem początkowym (%i 24). Dokładniej:
a. Istnieje
takie, że zagadnienie (%i 24) ma jednoznaczne rozwiązanie, tzn. istnieje jedyna
funkcja
:
która spełnia (%i 24).
b. Ponadto, rozwiązanie zależy w sposób ciągły od warunków początkowych: Jeśli
rozwiązaniem z warunkiem początkowym
warunkiem początkowym
; jeśli
jest
jest rozwiązaniem z
, to zachodzi oszacowanie
RYS.
Dowód
(z lukami, czyli właściwie szkic).
Równania i układy liniowe
Układ równań liniowych
Def. Układem równań liniowych nazywamy układ (%i 24) z prawą częścią zależącą liniowo od :
Tu
,
,
jest macierzą
oraz wektora niejednorodności
. Zakładamy, że wszystkie elementy macierzy
zależą w sposób ciągły od dla
(jakiś odcinek).
Uwaga (terminologiczna)
Analogicznie jak w przypadku równania I rzędu, układ (%i 26) nazywamy niejednorodnym, gdy
, oraz niejednorodnym, gdy
.
I takoż podobnie jak w przypadku równania I rzędu: Jeśli
są dwoma rozwiązaniami
układu jednorodnego, to ich suma i — ogólniej — ich dowolna liniowa kombinacja też jest
rozwiązaniem. Tak więc rozwiązania układu jednorodnego mają strukturę przestrzeni wektorowej.
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań dla układów równań liniowych
Zapytajmy teraz, jak wygląda sprawa istnienia i jednoznaczności rozwiązań dla układów równań
liniowych. W celu zbadania tej sytuacji zauważmy najsampierw, że dla układów równań liniowych
[[#warunek Lipschitza]] jest spełniony:
Funkcja
jest ciągła. Oznaczając
widzimy, że jest spełniony warunek Lipschitza ze stałą . Ponieważ warunek Lipschitza jest
spełniony, to istnieje lokalnie jednoznaczne rozwiązanie.
Ale dzięki temu, że układ (%i 26) jest liniowy, można o rozwiązaniu podać znacznie dokładniejsze
informacje, niż w ogólnym przypadku.
Weźmy kulę domkniętą
gdzie
,
— dowolne. Niech
Tak więc
skąd
Układy liniowe
Tu będą przykłady układów równań liniowych, najsampierw jednorodne.
1. Weźmy układ
, gdzie
z warunkiem początkowym
. Zgodnie z ogólną receptą, liczymy wielomian
charakterystyczny macierzy:
, którego pierwiastki:
wartościami własnymi . Będziemy też tu potrzebować wektorów własnych
są
:
oraz
(Pamiętacie, co to jest
, czyli jądro? Jądrem macierzy
takich, że
. Powiedzenie, że
ty wektor własny
nazywamy zbiór wektorów ,
jest jądrem macierzy
to to
samo, co powiedzieć, że jest rozwiązaniem układu równań
, tzn.
). Po znalezieniu wektorów własnych, rozkładamy wektor warunku początkowego w bazie
wektorów własnych:
i znajdujemy, że
. Mamy dalej
2. Weźmy teraz układ
, gdzie
z warunkiem początkowym
. Postępujemy analogicznie jak uprzednio: liczymy wielomian
charakterystyczny macierzy:
, którego pierwiastki, tzn. wartości własne
, są tym razem zespolone:
. Liczb zespolonych bać się tu nie należy.
Na pośrednich etapach rachunków (wartości własne, wektory własne) możemy mieć do
czynienia z liczbami zespolonymi; ale pod koniec (jeśli się nie pomylimy) muszą one wystąpić w
takiej kombinacji, aby końcowy wynik był liczbą rzeczywistą. Liczymy znów wektory własne :
(Układy równań z liczbami zespolonymi rozwiązujemy tak samo, jak znane nam układy z
liczbami rzeczywistymi). Rozkładamy wektor warunku początkowego w bazie wektorów
własnych:
i otrzymujemy
Stąd rozwiązanie w chwili jest
i, przypominając sobie zależności między funkcją wykładniczą (od argumentu urojonego) a
funkcjami trygonometrycznymi:
ostatecznie rozwiązanie w postaci
1. ↑ Zwane też tw. Picarda lub Picarda—Cauchy'ego
, otrzymujemy