ΔW - bezwzględna niepewność pomiarowa (dokładność pomiaru)

NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA - WPROWADZENIE
ΔWmax - bezwzględna niepewność pomiarowa (dokładność pomiaru). Jej źródłem może być:
• przypadkowy rozrzut wyników pomiarów,
• dokładność przyrządu.
Niepewności pomiarowe mierzone bezpośrednio związane z dokładnością przyrządu
Masa (Δmmax) wartość najmniejszego odważnika znajdującego się w zestawie odważników (najczęściej jest to
odważnik 10 mg)
Czas (Δtmax) suma niedokładności stopera (0,01s) i niepewności związanej z czasem reakcji mierzącego na
start (0,2s) i na zatrzymanie (0,2s).
Temperatura (ΔTmax) wartość jednej lub połowy działki termometru użytego do pomiaru.
Długość (Δlmax) wartość jednej działki przyrządu użytego do pomiaru: linijka (2x10-3 m), suwmiarka (2x10-5 m
lub 5x10-5 m), śruba mikrometryczna i mikrometr (10-5 m) skala okularu mikroskopu (podana przy mikroskopie
używanym do pomiaru).
Natężenie, napięcie – miernik analogowy (ΔImax , ΔUmax) suma niepewności wynikającej z klasy miernika i
niepewności związanej z odczytem.
'
''
ΔI max = ΔI max
+ ΔI max
=
klasa × zakres
zakres
+
(wartość jednej lub połowy działki)
100
liczbadzialek
Natężenie, napięcie – miernik cyfrowy (ΔImax , ΔUmax) niepewność wynikająca z klasy miernika.
ΔI max =
klasa × wskazanie najmniejsza ostatnia cyfra po przecinku
+
100
Opór, pojemność, indukcyjność dekadowa (ΔRmax , ΔCmax , ΔLmax) niepewność wynikająca z klasy. Jest
równa sumie poszczególnych dekad (n jest niepewnością n-tej dekady)
ΔR max n =
np.:
ΔR max =
klasa% × wskazanie
100%
0,5% × 50Ω 0,5% × 3Ω
+
100%
100%
Jak podajemy wynik?
ΔWmax= (Wartość zmierzona W ± ΔWmax) jednostka
Przykłady:
Jeżeli Δl = 0,2 mm to l=(86,8 ± 0,2)mm
Jeżeli Δl = 2 mm to l=(87 ± 2)mm
Jeżeli Δg =0 ,0294 m/s2 to g=(9,81 ± 0,03) m/s2
Uwaga: Wszystkie wyniki podajemy w jednostkach układu SI
Jak obliczamy niepewność pomiarową pomiaru pośredniego wielkości W(x, y, z), gzie x, y, z to wielkości
zmierzone zazwyczaj w sposób bezpośredni.
1. Metoda różniczkowa
Jest stosowana ogólnym przypadku. Niepewność względna maksymalna wyrażana jest wzorem:
δWmax =
ΔWmax
∂W Δx max
∂W Δy max
∂W Δz max
=
⋅
+
⋅
+
⋅
W
W
W
W
∂x
∂y
∂z
Gdy nie potrafimy obliczyć pochodnych funkcji stosowanych w metodzie różniczkowej
stosujemy jedną z poniższych metod:
2. Metoda różniczkowa uproszczona
Załóżmy, że odpis, z którego obliczamy szukaną wielkość fizyczną jest funkcją trzech zmiennych: W(x,y,z)
xa c
Dla wzorów typu W ( x, y, z ) = k b ⋅ z (k jest stałą) obliczamy niepewność względną maksymalną
y
uproszczoną metodą różniczkową. Otrzymamy wynik w postaci:
ΔWmax
Δx
Δy
Δz
= a max + b max + c max
δWmax =
W
x
y
z
Zauważmy, że stała k została uproszczona i we wzorze końcowym nie występuje.
3. Metoda różnicowa (szacunkowa)
Dla wzorów, w których występuje dodatkowo dodawanie i odejmowanie niepewność względną maksymalną
możemy obliczyć metodą różnicową (szacunkową):
ΔWmax = W (x + Δxmax , y, z ) − W (x, y, z ) + W (x, y + Δymax , z ) − W (x, y, z ) + W ( x, y, z + Δzmax ) − W ( x, y, z )
gdzie W jest w przypadku metody różniczkowej wzorem, z którego obliczamy szukaną wielkość fizyczną, a nie
wartością obliczoną. Upraszcza nam to końcowy wzór na niepewność względną maksymalną.
Dla wszystkich sposobów obliczeń niepewności pomiarowej obliczamy:
a) niepewność względną procentową:
ΔWmax
δWmax % =
⋅ 100% gdy jako pierwszą obliczyliśmy niepewność bezwzględną;
Wobliczone
b) niepewność bezwzględną:
ΔWmax = δWmax ⋅ Wobliczone gdy jako pierwszą obliczyliśmy niepewność względną;
c) Porównanie z niepewnością popełnioną:
ΔWmax ≥ ΔWpop _ max
ΔWmax ≥ W zmierzone − Wśrednie
(Wśrednire lub Wtablicowe)
gdzie Wzmierzone jest największym odchyleniem wielości zmierzonej W od wartości średniej.
Przykład 1.
Poniżej przedyskutowane zostaną wszystkie trzy metody na przykładzie wyznaczenia przyspieszenia
ziemskiego ze wzoru na wahadło matematyczne:
Nr pomiaru
1
2
3
L [m]
0,8149
0,8149
0,8149
l
g
Wyliczając g otrzymujemy:
l
t
ale T =
g = 4π 2 2
T
n
t [s]
35,38
35,72
35,63
n
20
20
20
T = 2π
⇒ g = 4π 2
l
⎛t⎞
⎜ ⎟
⎝n⎠
2
= 4π 2 n 2
l
t2
Obliczenia przeprowadzamy dla pomiaru nr.3
g (l , t ) = 4π 2 n 2
l
t2
Niepewności pomiarowe mierzone bezpośrednio:
Δlmax = 0,002m
Δtmax = 0,2s + 0,2s + 0,01s = 0,41s
1. METODA RÓŻNICZKOWA
g (l , t ) = 4π 2 n 2
l
t2
δWmax =
ΔWmax
∂W Δx max
∂W Δy max
∂W Δz max
=
⋅
+
⋅
+
⋅
∂x
∂y
∂z
W
W
W
W
δg max =
Δg max
∂g Δlmax
∂g Δtmax
=
⋅
+
⋅
∂l
∂t
g
g
g
δg max =
Δg max
Δlmax
Δtmax
1
l
= 4π 2 n 2 2 ⋅
+ 8π 2 n 2 3 ⋅
l
g
t
t 4π 2 n 2 l
4π 2 n 2 2
t
t2
δg max =
Δg max
Δl
Δt
= max + 2 max
g
l
t
δg max =
Δg max
0,41s
0,002m
=
+2
= 0,00245 + 0,023 = 0,02545 ≈ 0,025
g
35,63s
0,8149m
g
10,26
10,07
10,13
gśrednie
10,15
Δg max
⋅ 100% = 0,025 ⋅ 100% = 2,5%
g
m
m
= δg max ⋅ g obliczone = 0,025 ⋅ 10,13 2 = 0,253 ≈ 0,25 2
s
s
δg max % =
Δg max
g = (10,13 ± 0,25)
m
s2
błąd popełniony:
Δgmax ≥ Δgpop max
czyli
m
m
m
0,25 2 ≥ 10,13 2 − 10,15 2
s
s
s
m
m
0,25 2 ≥ − 0,02 2
s
s
2. METODA RÓŻNICZKOWA UPROSZCZONA
(w tym przypadku oie są równowa
Obliczamy niepewność pomiarową względną (stała k = 4π 2 n 2 się upraszcza):
δg max =
Δg max
Δl
Δt
Δl
Δt
= max + 2 max = max + 2 max
g
l
t
l
t
δg max =
Δg max
0,002m
0,41s
=
+2
= 0,00245 + 0,023 = 0,02545 ≈ 0,025
g
0,8149m
35,63s
δg max % =
Δg max
⋅ 100% = 0,025 ⋅ 100% = 2,5%
g
Δg max = δg max ⋅ g obliczone = 0,025 ⋅ 10,13
g = (10,13 ± 0,25)
m
m
= 0,253 ≈ 0,25 2
2
s
s
m
s2
Porównanie z niepewnością popełnioną:
m
m
m
0,25 2 ≥ 10,13 2 − 10,15 2
s
s
s
m
m
0,25 2 ≥ − 0,02 2
s
s
3. METODA RÓŻNICOWA
g (l , t ) = 4π 2 n 2
l
t2
Δg max = g (l + Δlmax , t ) − g (l , t ) + g (l , t + Δtmax ) − g (l , t )
Δg max = 4π 2 n 2
l + Δl
l
l
l
− 4π 2 n 2 2 + 4π 2 n 2
− 4π 2 n 2 2
2
2
t
t
t
(t + Δt )
Δg max = 4 ⋅ 3,14 2 ⋅ 20 2
4 ⋅ 3,14 2 ⋅ 20 2
0,02
0,8149m + 0,002m
0,8149m
− 4 ⋅ 3,14 2 ⋅ 20 2
+
2
35,63s
35,63s 2
0,8149m
0,8149m
m
m
m
m
− 4 ⋅ 3,14 2 ⋅ 20 2
= 10,15 2 − 10,13 2 + 9,89 2 − 10,13 2 =
2
2
35,63s
s
s
s
s
(35,63s + 0,41s )
m
m
m
+ − 0,24 2 = 0,26 2
2
s
s
s
δg max =
Δg max
g obliczone
δg max % =
m
s 2 = 0,0256 = 0,026
=
m
10,13 2
s
0,26
Δg max
⋅ 100% = 0,026 ⋅ 100% = 2,6%
g obliczone
g = (10,13 ± 0,26)
m
s2
Porównanie z niepewnością popełnioną:
m
m
m
0,26 2 ≥ 10,13 2 − 10,15 2
s
s
s
m
m
0,26 2 ≥ − 0,02 2
s
s