presentation
Transkrypt
presentation
Dynamika Brownowska Ilona D. Kosińska Instytut Inżynierii Biomedycznej i Pomiarowej Politechnika Wroclawska 17 grudnia 2008 Wstep , Symulacje dynamiki Brownowskiej: I N - jonów w systemie, I równania ruchu dla każdego jonu oparte o równanie Langevina. Równanie Langevina Zatem dla każdej czastki mamy , mi d~vi ~i + F ~i , = −mi γi ~vi + R dt i = 1, . . . , N, gdzie I mi , ~vi oraz γi oznaczaja, odpowiednio mase, oraz , predkość , wspólczynnik tarcia i – tego jonu; I trzy wyrazy po prawej stronie odpowiadaja, silom: tarcia, losowej oraz systematycznej. (1) Równanie Langevina ~ = 0, R ~ = 0 rozwiazaniem równania (1) na ~v (t) jest funkcja Gdy F postaci: ~v (t) = v~0 e −γt , (2) z kolei funkcja opisujaca polożenie ~x (t) ma postać: , ~x (t) = v~0 γ −1 1 − e −γt , (3) Równanie Langevina I wspólczynnik γi−1 jest w istocie czasem relaksacji predkości , I na podstawie relacji Einsteina znajdujemy powiazanie , wspólczynnika dyfuzji z tarciem: Di = kT /mγi . (przyklad twierdzenia o fluktuacji i dyssypacji (I rodzaju): ruch Browna w ośrodku, który jest w stanie równowagi termicznej, również daży do osiagni ecia równowagi termicznej) , , , Równanie Langevina Równanie Langevina (cont.) co daje przesuniecia dziesietnych Å w czasie rzedu dziesiatek fs. , , , , WNIOSEK ruch jonu potasowego w wodzie jest przetlumiony (tj. bardzo szybko wytlumiony) Równanie Langevina I sily: tarcia i losowa reprezentuja, uśrednione zderzenia czastki , z czastkami ośrodka, , I sa, one powiazane poprzez twierdzenie , fluktuacyjno-dyssypacyjne1 (II rodzaju): Z ∞ 1 hRik (0)Rik (t)idt gdzie k = x, y, z. mi γi = 2kT −∞ I I 1 calka z funkcji autokorelacji sily losowej, średniowanie po zespole statystycznym2 (równowaga termodynamiczna). [3] pojecie zespól statystyczny sluży zobrazowaniu rokladu , prawdopodobieństwa i oznacza istnienie zbioru skladajacego sie, z dużej liczby , identycznych kopii [4] 2 Równanie Langevina Sila losowa Ri : I o zerowej średniej hRi i = 0, I wykazuje brak korelacji z wcześnieszymi wartościami predkości , hvi (0)Rj (t)i = 0 I jest markowowska: brak korelacji z wartościami w poprzednich chwilach czasu oraz innymi czastkami , hRi (0)Rj (t)i = 2mi γi kT δij δ(t) gdzie i, j = 1, · · · , 3N, I jest gaussowska tj. f (Ri ) = 2πhRi2 i −1/2 gdzie hRi2 i jest wariancja, rozkladu. 2 2 e −Ri /2hRi i , Równanie Langevina Sila losowa Ri : I o zerowej średniej hRi i = 0, I wykazuje brak korelacji z wcześnieszymi wartościami predkości , hvi (0)Rj (t)i = 0 I jest markowowska: brak korelacji z wartościami w poprzednich chwilach czasu oraz innymi czastkami , hRi (0)Rj (t)i = 2mi γi kT δij δ(t) gdzie i, j = 1, · · · , 3N, I jest gaussowska tj. f (Ri ) = 2πhRi2 i −1/2 gdzie hRi2 i jest wariancja, rozkladu. 2 2 e −Ri /2hRi i , Równanie Langevina Sila losowa Ri : I o zerowej średniej hRi i = 0, I wykazuje brak korelacji z wcześnieszymi wartościami predkości , hvi (0)Rj (t)i = 0 I jest markowowska: brak korelacji z wartościami w poprzednich chwilach czasu oraz innymi czastkami , hRi (0)Rj (t)i = 2mi γi kT δij δ(t) gdzie i, j = 1, · · · , 3N, I jest gaussowska tj. f (Ri ) = 2πhRi2 i −1/2 gdzie hRi2 i jest wariancja, rozkladu. 2 2 e −Ri /2hRi i , Równanie Langevina Sila losowa Ri : I o zerowej średniej hRi i = 0, I wykazuje brak korelacji z wcześnieszymi wartościami predkości , hvi (0)Rj (t)i = 0 I jest markowowska: brak korelacji z wartościami w poprzednich chwilach czasu oraz innymi czastkami , hRi (0)Rj (t)i = 2mi γi kT δij δ(t) gdzie i, j = 1, · · · , 3N, I jest gaussowska tj. f (Ri ) = 2πhRi2 i −1/2 gdzie hRi2 i jest wariancja, rozkladu. 2 2 e −Ri /2hRi i , Równanie Langevina I Zastepuj ac , średniowanie po zespole statystycznym przez , średniowanie po czasie, znajdujemy hRi2 i = 2mi γi kT /∆t, gdzie ∆t jest krokiem czasowym użytym przy calkowaniu równania Langevina. (4) Równanie Langevina + Nastepnie korzystajac , z wartości parametrów dla jonu K , −26 −1 kg γ = 31 fs, mK + = 6.5 × 10 możemy oszacować sily: I tarcia → 1–2 nN I oraz losowa, na podstawie równania (4) z ∆t ∼ γ −1 → 1–2 nN. Równanie Langevina Średni kwadrat przemieszczenia skladowej x-owej polożenia jonu K+ w funkcji czasu Równanie Langevina hx 2 i = (2kT /mγ) t − γ −1 (1 − e −γt ) , (5) w zależności od t możemy wyróżnić dwa przypadki graniczne: 1. dla t γ −1 mamy hx 2 i → (kT /m) t 2 = hv 2 it 2 czastka Browna zachowuje swoja, predkość poczatkow a, zgodna, , , , z rozkladem Maxwella (równowaga termiczna – jeśli czastka , przebywala dostatecznie dlugo w plynie o temperaturze T , to musi być spelnione prawo ekwipartycji energii: mhv 2 i = kT) 2. dla t γ −1 mamy hx 2 i → (2kT /mγ) t co jest równoważne hx 2 i = 2Dt, gdzie D oznacza wspólczynnik dyfuzji (ruch dyfuzyjny) → czastka zapomina o swojej poczatkowej , , predkości , Równanie Langevina hx 2 i = (2kT /mγ) t − γ −1 (1 − e −γt ) , (5) w zależności od t możemy wyróżnić dwa przypadki graniczne: 1. dla t γ −1 mamy hx 2 i → (kT /m) t 2 = hv 2 it 2 czastka Browna zachowuje swoja, predkość poczatkow a, zgodna, , , , z rozkladem Maxwella (równowaga termiczna – jeśli czastka , przebywala dostatecznie dlugo w plynie o temperaturze T , to musi być spelnione prawo ekwipartycji energii: mhv 2 i = kT) 2. dla t γ −1 mamy hx 2 i → (2kT /mγ) t co jest równoważne hx 2 i = 2Dt, gdzie D oznacza wspólczynnik dyfuzji (ruch dyfuzyjny) → czastka zapomina o swojej poczatkowej , , predkości , Równanie Langevina ~ burzy sytuacje równowagowa. Pojawienie sie, sily systematycznej F , , ~ = E x̂ równanie Langevina W jednorodnym polu elektrycznym E ma postać: m dx d 2x = −γ + Rx + eE , 2 dt dt (6) Równanie Langevina ~ burzy sytuacje równowagowa. Pojawienie sie, sily systematycznej F , , ~ = E x̂ równanie Langevina W jednorodnym polu elektrycznym E ma postać: dx d 2x = −γ + Rx + eE , (6) 2 dt dt średniujac , po zespole statystycznym i zakladajac , stan ustalony (steady-state, sytuacja nierównowagowa!) otrzymujemy: m h d 2x dx i = 0 h i = eE /mγ, 2 dt dt Równanie Langevina ~ burzy sytuacje równowagowa. Pojawienie sie, sily systematycznej F , , ~ = E x̂ równanie Langevina W jednorodnym polu elektrycznym E ma postać: dx d 2x = −γ + Rx + eE , (6) 2 dt dt średniujac , po zespole statystycznym i zakladajac , stan ustalony (steady-state, sytuacja nierównowagowa!) otrzymujemy: m h d 2x dx i = 0 h i = eE /mγ, 2 dt dt co dalej odtwarza prawo Ohma w ośrodkach ciag , lych dx i = NeE /mγ = σE , dt gdzie Jx – gestość pradu, σ − −przewodnictwo, e – ladunek , , elementarny; Jx = Nh BD w kanalach jonowych W jakich sytuacjach sumulacje BD 3 nie moga, być zastapione przez modele ciag , , le ? Model kanalu jonowego4 z uwzglednieniem oddzialywań: , jony-kanal. 3 4 takie jak np.: uklad równań Poissona-Nernsta-Plancka średnica rzedu Å , BD w kanalach jonowych Przeplywowi jonów przez kanal towarzysza, sily zmienne w czasie i przestrzeni, zatem ważne jest ~, I poprawne ujecie oddzialywań → wyliczenie sil F , I poprawna implementacja do równania Langevina. BD w kanalach jonowych Dyskretyzacja i calkowanie równania Langevina daje5 : x(tn+1 ) = x(tn ) + F (tn ) ẋ(tn ) −τ 1 − e −τ + τ − 1 + e γ mγ 2 (7) Ḟ (tn ) 1 − τ + τ 2 /2 − e −τ + Xn (∆t), 3 mγ gdzie τ = γ∆t jest parametrem bezwymiarowym, Xn (∆t) jest zmienna losowa,, o tych samych wlasnościach stochastycznych jak R(t) (funkcja losowa w równaniu Langevina). 5 van Gunsteren and Berendsen algorithm (1982) BD w kanalach jonowych Otrzymujemy podobnie dwa graniczne przypadki: I ruch balistyczny (x(t) ∼ ∆t 2 ), tarcie zaniedbane6 τ 1 x(tn+1 ) = x(tn ) + I ẋ(tn ) F (tn ) ∆t 2 Ḟ (tn ) ∆t 3 ∆t + + + Xn (∆t), γ m 2 m 3! (8) ruch przetlumiony (zaniedbany wyraz mẍ w równaniu Langevina) τ 1 x(tn+1 ) = x(tn ) + 6 ∆t γ −1 ∆t γ −1 ẋ(tn ) F (tn ) Ḟ (tn ) ∆t 2 + ∆t + + Xn (∆t), γ mγ mγ 2 2 (9) symulacje MD, the Verlet algorithm, Verlet (1967) BD w kanalach jonowych Otrzymujemy podobnie dwa graniczne przypadki: I ruch balistyczny (x(t) ∼ ∆t 2 ), tarcie zaniedbane6 τ 1 x(tn+1 ) = x(tn ) + I F (tn ) ∆t 2 Ḟ (tn ) ∆t 3 ẋ(tn ) ∆t + + + Xn (∆t), γ m 2 m 3! (8) ruch przetlumiony (zaniedbany wyraz mẍ w równaniu Langevina) τ 1 x(tn+1 ) = x(tn ) + 6 ∆t γ −1 ∆t γ −1 ẋ(tn ) F (tn ) Ḟ (tn ) ∆t 2 + ∆t + + Xn (∆t), γ mγ mγ 2 2 (9) symulacje MD, the Verlet algorithm, Verlet (1967) BD w kanalach jonowych Otrzymujemy podobnie dwa graniczne przypadki: I ruch balistyczny (x(t) ∼ ∆t 2 ), tarcie zaniedbane6 τ 1 x(tn+1 ) = x(tn ) + I ∆t γ −1 F (tn ) ∆t 2 Ḟ (tn ) ∆t 3 ẋ(tn ) ∆t + + + Xn (∆t), γ m 2 m 3! (8) ruch przetlumiony (zaniedbany wyraz mẍ w równaniu Langevina) τ 1 x(tn+1 ) = x(tn ) + + ∆t γ −1 F (tn ) ∆t + mγ + Xn (∆t), (9) 6 symulacje MD, the Verlet algorithm, Verlet (1967) BD w kanalach jonowych Algorytm BD: I I ∆t możemy powiazać z czasem relaksacji predkości czastki , , , −1 + γ (dla jonu K równym 31 fs) → co prowadzi do któregoś z omówionych wcześniej przypadków w każdym kroku czasowym obliczamy: I I I sily Fn , Ḟn oraz Xn polożenia xn+1 i predkości ẋn , iterujemy aż do uzyskania statystycznie istotnej ilości punktów na trajektorii → możemy wyliczyć wartości średnie (polożenia,...). BD w kanalach jonowych Wyliczamy sily systematyczne F : I elektrostatyczne Fel (jako numeryczne rozwiazania równania , Poissona); oddzialywania Coulombowskie jon-jon, oddz. w 7, elektrostatycznym polu zewnetrznym , I krótko-zasiegowe Fsr ∼ r −10 (symuluje bardzo silne , odpychanie przekrywajacych sie, powlok elektronowych - efekt , kwantowy). Uwzgledniamy warunki brzegowe. , 7 zewnetrznym tj. innym niż wytwarzane przez jony , Literatura S. Kuyucak, O. S. Andersen and S.–H. Chung, Models of permeation in ion channels, Rep. Prog. Phys. 64 (2001) 1427–1472 W. F. van Gunsteren and H. J. C. Berendsen, Algorithms for brownian dynamics, Mol. Phys. 45 (1982) 637–647 R. Kubo, M. Toda, N. Hashitsume, Fizyka statystyczna II, Warszawa, PWN 1991 N. G. van Kampen, Procesy stochastyczne w fizyce i chemii, Warszawa, PWN 1990