Teoria miary i całki Lista 2 Zad 1. Niech X będzie zbiorem

Teoria miary i całki
Lista 2
Zad 1. Niech X będzie zbiorem nieskończonym. Sprawdzić, która z funkcji zbioru µi :
2X → R+ , i = 1, ..., 7, jest addytywna, σ-addytywna, a która jest miarą na X:
(
(
0,
|A| < ℵ0
0,
|A| ≤ ℵ0
µ1 (A) =
,
µ2 (A) =
,
+∞, |A| ≥ ℵ0
+∞, |A| > ℵ0
(
1, x0 ∈ A
µ3 (A) =
, gdzie x0 ∈ X jest ustalonym punktem,
µ4 ≡ const.,
0, x0 ∈
/A
µ5 (A) = |A| + 1,
µ6 (A) = |A|,
µ7 (A) = µ6 (A) + µ3 (A).
Zad 2. Wykazać, ze funkcja zbioru µ : 2N → R+ dana wzorem
X 1
X 1
a) µ(A) =
,
b)
µ(A)
=
,
n
n
2
3
n∈A
n∈A
jest miarą na N. Zbadać czy zbiór wartości miary µ wypełnia cały przedział [0, µ(N)] i
czy z tego, że µ(A) = µ(B) wynika, że A = B.
Zad 3. Niech µ : R → R+ będzie addytywną funkcją zbioru określoną na pierścieniu R.
Wykazać, że
a) jeśli µ(∅) 6= 0, to µ(A) = +∞ dla każdego A ∈ R,
b) jeśli A, B ∈ R są takie, że A ⊂ B i µ(A) < ∞, to µ(B \ A) = µ(B) − µ(A),
c) jeśli A, B ∈ R są takie, że A ⊂ B, to µ(A) ≤ µ(B),
d) jeśli A, B ∈ R i µ(B) = 0, to µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A),
e) jeśli A, B ∈ R, to µ(A) + µ(B) = µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B).
Zad 4. Udowodnić, że dowolny element pierścienia generowanego przez rodzinę S można
pokryć skończoną sumą elementów z S.
Zad 5. Udowodnić, że jeśli µ jest miarą na pierścieniu R(S) generowanym przez rodzinę
zbiorów S taką, że µ(A) < ∞ dla każdego A ∈ S, to µ jest miarą skończoną.
Zad 6. Pokazać, że jeśli µ jest miarą na σ-pierścieniu, to rodzina zbiorów o mierze
skończonej tworzy pierścień, natomiast rodzina zbiorów o mierze σ-skończonej tworzy
σ-pierścień.
Zad 7. Wykazać, że jeśli µ jest σ-skończoną miarą na σ-algebrze S oraz {Ai }i∈I ⊂ S
jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, to zbiór {i ∈ I : µ(Ai ) > 0} jest przeliczalny.
Zad 8. Niech µ będzie miarą na pierścieniu R. Wykazać, że relacja ∼ określona na R
warunkiem
A ∼ B ⇐⇒ µ(A∆B) = 0
jest relacja równoważności. Ponadto pokazać, że:
a) Jeśli A ∼ B, to µ(A) = µ(B) = µ(A ∩ B). Czy zachodzi implikacja odwrotna?
b) Jeśli µ jest miarą skończoną, to wzór
ρ([A], [B]) = µ(A∆B),
gdzie A, B są reprezentantami klas abstrakcji [A], [B], określa metrykę na przestrzeni ilorazowej R/ ∼.