Funkcje dwóch zmiennych

Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia,
wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Denicja
Przestrzeni¡ dwuwymiarow¡ (pªaszczyzn¡) (oznaczan¡ przez
uporz¡dkowanych
(x, y),
gdzie
R2 )
nazywamy zbiór par
x, y ∈ R.
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}.
Przestrzeni¡ trójwymiarow¡ (przestrzeni¡) (oznaczan¡ przez
nych trójek
(x, y, z),
gdzie
R3 )
nazywamy zbiór uporz¡dkowa-
x, y, z ∈ R.
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.
Elementy
x, y i z
(x, y)
oraz
nazywamy
(x, y, z)
nazywamy
punktami, odpowiednio, pªaszczyzny i przestrzeni. Liczby
wspóªrz¦dnymi kartezja«skimi punktów.
Denicja Odlegªo±ci¡ punktów P1 = (x1 , y1 ) oraz P2 = (x2 , y2 ) na pªaszczy¹nie nazywamy liczb¦
|P1 P2 |
okre±lon¡ wzorem
|P1 P2 | =
Odlegªo±ci¡ punktów
P1 = (x1 , y1 , z1 )
p
oraz
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
P2 = (x2 , y2 , z2 )
w przestrzeni nazywamy liczb¦
okre±lon¡ wzorem
|P1 P2 | =
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z1 − z2 )2
1
|P1 P2 |
Denicja Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0 na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy
zbiór
O(P0 , r) = {P : |P P0 | < r}.
Otoczeniem punktu na pªaszczy¹nie jest koªo otwarte o ±rodku w
punktu w przestrzeni jest kula otwarta o ±rodku w
P0
i promieniu
P0
i promieniu
r.
Otoczeniem
r.
Denicja S¡siedztwem o promieniu r > 0 punktu P0 na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy
zbiór
S(P0 , r) = O(P0 , r) \ {x0 }.
S¡siedztwem punktu na pªaszczy¹nie jest koªo otwarte bez ±rodka. S¡siedztwem punktu w przestrzeni jest kula otwarta bez ±rodka.
Uwaga Je±li promie« r
nie b¦dzie istotny w rozwa»aniach, to b¦dziemy pisa¢ krótko
O(P0 )
oraz
S(P0 ).
Denicja Mówimy, »e zbiór A jest ograniczony, gdy istnieje punkt P0 oraz r > 0 takie, »e
A ⊂ O(P0 , r),
tzn. »e zbiór
A
mo»na zawrze¢ w otoczeniu pewnego punktu z rozwa»anej przestrzeni.
W przeciwnym przypadku zbiór
Denicja Mówimy, »e P
jest
A
nazywamy
nieograniczonym.
punktem wewn¦trznym zbioru
zawarte w tym zbiorze, tzn. istnieje liczba
r>0
A
je±li istnieje otoczenie tego punktu
taka, »e
O(P, r) ⊂ A.
Zbiór wszystkich punktów wewn¦trznych zbioru nazywamy jego
wn¦trzem i oznaczamy przez IntA.
Denicja Zbiór nazywamy otwartym, gdy ka»dy punkt tego zbioru jest jego punktem wewn¦trznym.
2
Denicja Mówimy, »e punkt P
jest
punktem brzegowym zbioru
A,
gdy w ka»dym otoczeniu tego
punktu istniej¡ punkty nale»¡ce do zbioru A i punkty do niego nienale»¡ce, tzn. gdy dla ka»dej
liczby
r>0
zachodzi warunek
O(P, r) ∩ A 6= ∅ ∧ O(P, r) ∩ A0 6= ∅.
Brzegiem zbioru nazywamy zbiór jego punktów brzegowych. Brzeg zbioru
A
oznaczamy przez
∂A.
Denicja Mówimy, »e niepusty podzbiór pªaszczyzny jest obszarem, gdy jest otwarty i gdy ka»de
dwa punkty tego zbioru mo»na poª¡czy¢ ªaman¡. (Przykªadowo, poni»szy zbiór nie jest obszarem,
mimo, »e jest zbiorem otwartym.)
Denicja Obszar wraz z jego brzegiem nazywamy obszarem domkni¦tym.
Funkcje wielu zmiennych
Denicje podane w poprzedniej sekcji mo»na przenie±¢ bez istotnych zmian do przestrzeni o wi¦kszej liczbie wymiarów ni» dwa (pªaszczyzna), czy te» trzy (przestrze«). Zdeniujmy wi¦c przestrze«
n-wymiarow¡
jako zbiór ci¡gów
n-elementowych
liczb rzeczywistych
(x1 , x2 , . . . , xn ),
tzn.
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 , x2 , . . . , xn ∈ R}.
Denicja Funkcj¡ n-zmiennych okre±lon¡ na zbiorze D ⊆ Rn o warto±ciach w R nazywamy przyporz¡dkowanie ka»demu punktowi ze zbioru
wamy
D
dokªadnie jednej liczby rzeczywistej. Zbiór
D
nazy-
dziedzin¡ funkcji.
Funkcj¦ tak¡ oznaczamy przez
Warto±¢ funkcji
f
w punkcie
f :D→R
lub
(x1 , x2 , . . . , xn )
w = f (x1 , x2 , . . . , xn )
oznaczamy przez
3
, gdzie
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D.
f (x1 , x2 , . . . , xn ).
Dla
n=2
mamy funkcj¦ dwóch zmiennych
z = f (x, y).
Dla
n=3
mamy funkcj¦ trzech zmiennych
w = f (x, y, z).
Denicja Niech f
b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na podzbiorze przestrzeni
Rn .
Je»eli dany jest tylko
wzór okre±laj¡cy funkcj¦, to zbiór punktów przestrzeni, dla których wzór ten ma sens nazywamy
dziedzin¡ naturaln¡ funkcji
f.
Funkcje dwóch zmiennych.
Dla funkcji dwóch zmiennych zdeniujmy poj¦cie wykresu i poziomicy wykresu funkcji.
Denicja Wykresem funkcji f
dwóch zmiennych nazywamy podzbiór przestrzeni
R3
zdeniowany
wzorem
{(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, y)}.
Denicja
Poziomic¡ wykresu funkcji
pªaszczyzny
R
2
f
odpowiadaj¡c¡ poziomowi
zdeniowany wzorem
{(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = h}.
4
h ∈ R
nazywamy podzbiór
Wykresy wa»niejszych funkcji dwóch zmiennych (f
: R 2 → R)
1. Wykresem funkcji
z = Ax + By + C
jest pªaszczyzna o wektorze normalnym
~n = [−A, −B, 1 ], przechodz¡ca przez punkt (0, 0, C).
2. Wykresem funkcji
z = a(x2 + y 2 ),
jest
(lub
gdzie
a 6= 0,
paraboloida obrotowa, czyli powierzchnia obrotowa powstaªa z obrotu paraboli
z = ay 2 )
wokóª osi
z = ax2
Oz .
3. Wykresem funkcji
p
z = ± R 2 − x2 − y 2
jest górna lub dolna
póªsfera o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu
R > 0.
4. Wykresem funkcji
z=k
jest
osi
p
x2 + y 2 ,
gdzie
k 6= 0,
sto»ek, czyli powierzchnia powstaªa z obrotu póªprostej
Oz .
5
z = kx, y = 0
dla
x≥0
wokóª
5. Wykresem funkcji
p
z = h( x2 + y 2 ),
jest
powierzchnia obrotowa powstaªa z obrotu wykresu funkcji
wokóª osi
, dla
x≥0
Oz .
6. Wykresem funkcji
wykresu funkcji
x=0
z = h(x), y = 0
z = g(x)
z = g(x)
równolegle do osi
lub
dla
z = k(y)
y=0
jest
powierzchnia walcowa powstaªa z przesuni¦cia
równolegle do osi
Oy
lub wykresu funkcji
Ox.
Uwaga Wykres funkcji
z = f (x − a, y − b) + c
powstaje z wykresu funkcji
z = f (x, y)
przez przesuni¦cie o wektor
6
~v = [a, b, c].
z = k(y)
dla
Wykres funkcji
z = −f (x, y)
powstaje z wykresu funkcji
z = f (x, y)
przez symetryczne odbicie wzgl¦dem pªaszczyzny
7
xOy
.
Granice i ci¡gªo±¢ funkcji dwóch zmiennych.
Denicja Mówimy, »e ci¡g punktów {Pn }n∈N = {(xn , yn )}n∈N
oznaczamy
lim Pn = P0
lim (xn , yn ) = (x0 , y0 ),
lub
n→∞
n→∞
d¡»y do punktu
P0 = (x0 , y0 ),
co
wtedy i tylko wtedy, gdy
lim xn = x0 ∧ lim yn = y0 .
n→∞
n→∞
(Oznacza to zbie»no±¢ dla ka»dej wspóªrz¦dnej.)
Denicja (Heinego) Niech funkcja f b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie punktu (x0 , y0 ).
Mówimy, »e funkcja
f
ma w punkcie
(x0 , y0 ) granic¦ wªa±ciw¡ g ∈ R,
lim
co zapisujemy
f (x, y) = g,
(x,y)→(x0 ,y0 )
{(xn , yn )}n∈N ⊂ S(x0 , y0 )
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych ci¡gów punktów
zachodzi wa-
runek
h
i
h
i
lim (xn , yn ) = (x0 , y0 ) =⇒ lim f (xn , yn ) = g .
n→∞
n→∞
Uwaga Podobnie deniujemy granice niewªa±ciwe funkcji dwóch zmiennych.
Przykªad Dla funkcji
f (x, y) =
nie istnieje granica w punkcie
(0, 0).
Je»eli rozwa»ymy ci¡g punktów
punktu
(0, 0)
wzdªu» osi
(xn , yn ) =
1
,0 ,
n
to
lim (xn , yn ) = (0, 0)
n→∞
i ci¡g ten d¡»y do
Ox.
Je»eli natomiast rozwa»ymy ci¡g punktów
ten d¡»y do punktu
x2 + 3y 2
x2 + y 2
(0, 0)
wzdªu» osi
(x0n , yn0 ) =
1
0,
,
n
to
lim (x0n , yn0 ) = (0, 0),
n→∞
Oy .
Otrzymujemy wtedy sprzeczno±¢ z denicj¡ Heinego, bo
lim f (xn , yn ) = lim
n→∞
lim
n→∞
n→∞
f (x0n , yn0 )
= lim
n→∞
8
1 2
+ 3 · 02
n
1 2
+ 02
n
= 1,
1 2
n
1 2
n
= 3.
02 + 3 ·
02 +
ale ci¡g
Twierdzenie (o arytmetyce granic)
Je»eli funkcje
1.
f
i
lim
g
maj¡ w punkcie
(x0 , y0 )
[f (x, y) + g(x, y)] =
(x,y)→(x0 ,y0 )
granice wªa±ciwe, to:
lim
f (x, y) +
(x,y)→(x0 ,y0 )
2.
3.
[f (x, y) · g(x, y)] =
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) ·
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y)
=
(x,y)→(x0 ,y0 ) g(x, y)
lim
lim
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
g(x, y),
lim
g(x, y)
(x,y)→(x0 ,y0 )
,
f (x, y)
(x,y)→(x0 ,y0 )
lim
g(x, y)
,
lim
o ile
(x,y)→(x0 ,y0 )
g(x, y) 6= 0.
(x,y)→(x0 ,y0 )
Denicja Niech funkcja f dwóch zmiennych b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu O(x0 , y0 ).
Mówimy, »e
f
jest
ci¡gªa w punkcie
(x0 , y0 ),
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
Twierdzenie Je»eli funkcje f
i
g
wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x, y) = f (x0 , y0 ).
s¡ ci¡gªe w punkcie
f + g, f · g,
f
(o
g
równie» s¡ ci¡gªe w tym punkcie.
9
(x0 , y0 ),
ile
g 6= 0)
to tak»e funkcje