Analiza Matematyczna 1 dla EMiF, lista 5 Definicja: Funkcja f : Df

Analiza Matematyczna 1 dla EMiF, lista 5
Definicja: Funkcja f : Df → R jest
rosnąca na zbiorze A ⊂ Df ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A ( x1 < x2 ) ⇒ f (x1 ) < f (x2 );
malejąca na zbiorze A ⊂ Df ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A ( x1 < x2 ) ⇒ f (x1 ) > f (x2 );
Jeżeli powyższe nierówności pomiędzy wartościami funkcji nie są ostre, to f jest:
niemalejąca na zbiorze A ⊂ Df ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A ( x1 < x2 ) ⇒ f (x1 ) ¬ f (x2 );
nierosnąca na zbiorze A ⊂ Df ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A ( x1 < x2 ) ⇒ f (x1 ) ­ f (x2 ).
O funkcji, mającej jedną z 4 powyższych własności, mówimy krótko, że jest monotoniczna na
zbiorze A.
Funkcja jest rosnąca, jeżeli jest rosnąca na całej swojej dziedzinie, analogicznie definujemy funkcję
malejącą, niemalejącą oraz nierosnącą.
Zadanie 1 Rozwiązując odpowiednie nierówności, zbadaj monotoniczność (na całej dziedzinie lub
na przedziałach) podanych funkcji:
1
a) f (x) = x2 , b) f (x) = 2x , c) f (x) = ex , d) f (x) =
x
b) Czy suma (odpowiednio: różnica, iloczyn, iloraz) funkcji rosnących musi być funkcją rosnącą? To
samo pytanie dla funkcji malejących.
c) Wykaż, że funkcja rosnąca jest różnowartościowa.
d) Wykaż, że funkcja odwrotna do rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej — malejąca.
Zadanie 2. Znajdź asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
x3
1 − x2
x3 + x 2
, b) f (x) =
,
c)
f
(x)
=
,
a) f (x) = 2
x −4
(x + 1)2
x+1
√
x−3
1 + x2
1
d) f (x) = √ 2
, f) f (x) = x
;
, e) f (x) =
x
e −1
x −9
sin x
sin2 x
g) f (x) =
,
h) f (x) =
,
i) f (x) = x − arctg x.
x−π
x3
Zadanie 3. Naszkicuj wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:
a) lim f (x) = ∞, lim− f (x) = 1, f (2) = 0, lim f (x) = −1;
x→−∞
x→∞
x→0
b) lim f (x) = e, lim f (x) = 0, funkcja f jest parzysta;
x→∞
x→2
c) prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji f w −∞, prosta y = x − 1 asymptotą ukośną
w ∞, a prosta x = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną;
d) lim f (x) = 0, lim f (x) = 3, lim f (x) = −∞;
x→−∞
x→1
x→∞
e) lim f (x) = ∞, lim− f (x) = −∞, lim+ f (x) = 1, x→∞
lim f (x) = 5;
x→−∞
x→0
x→0
f ) lim f (x) = −4, lim f (x) = ∞, lim f (x) = 4;
x→−∞
x→−1
x→∞
g) lim f (x) = ∞, lim f (x) = 0, funkcja f jest okresowa i ma okres T = 3;
x→1
x→2
h) lim f (x) = 4, lim f (x) = ∞, funkcja f jest nieparzysta.
x→−∞
x→1
Na rysunkach wskaż fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.
Zadanie 4. Dobierz parametry a, b ∈ R tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:
(
sin x dla |x| ­ π2 ,
a) f (x) =
punkty x1 = − π2 , x2 = π2 ,
ax + b dla |x| < π2 ,
( 2
x +ax+b dla |x| < 2,
√
b) f (x) =
x x2 − 4 dla |x| ­ 2,
punkty x1 = −2, x2 = 2,
(
π
a sin x + b cos x dla |x| > 4 ,
c) f (x) =
punkty x1 = − π4 , x2 = π4 ,
1 + tg x
dla |x| ¬ π4 ,
(
bx dla x < π,
d) f (x) = sin x
dla x ­ π,
punkt x0 = π.
ax
Zadanie 5.Określ rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:
( x2−1
√
dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),
x−1
a) f (x) =
3
dla x = 1,
punkt x0 = 1,
( |x|+x
dla x 6= 0,
0
dla x = 0,
c) f (x) = sgn [x(x − 1)] ,
x2
b) f (x) =
(
d) f (x) =
punkt x0 = 0,
punkt x0 = 1,
1 − cos x1 dla x 6= 0,
0
dla x = 0,
punkt x0 = 0.
x2 − 4
?
x+2
Czy można znaleźć taką funkcję ciągłą na całej prostej, która dla x 6= 0 równa jest f (x) =
Zadanie 6. Czym różni się funkcja f (x) = x − 2 od funkcji g(x) =
Zadanie 7. Dana jest funkcja
f (x) =


0
dla x niewymiernych,

x
dla x wymiernych.
a) Wykaż, że w punkcie x0 = 0 ta funkcja jest ciągła.
b)* Czy jest ciągła w jakimkolwiek innym punkcie?
|x|
x
?