seria 1

Topologia, semestr letni
Zadanie 1.
seria 1
1. Sprawdzi¢, czy funkcja d zadana wzorem:
(
|x − y| dla |x − y| ≤ 1
d(x, y) =
1
dla |x − y| > 1
jest metryk¡ na prostej rzeczywistej.
2. Dla jakich a > 0 funkcja zadana wzorem:
(
|x − y| dla |x − y| ≤ 1
d(x, y) =
a
dla |x − y| > 1
jest metryk¡ na prostej rzeczywistej.
3. Czy funkcja zadana wzorem:
(
|x − y| dla |x − y| ≤ a
d(x, y) =
a
dla |x − y| > a
jest metryk¡ na prostej rzeczywistej, gdzie a > 0.
Zadanie 2. Niech (X, d) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡, pokaza¢, »e funkcja
˜ y) = d(x,y) jest metryk¡ w zbiorze X .
zadana wzorem d(x,
1+d(x,y)
Niech (X, dX ) oraz (Y, dY ) b¦d¡ przestrzeniami metrycznymi.
Niech f : X → Y b¦dzie bijekcj¡. Pokaza¢, »e funkcje zdeniowane przez:
1. d∗ (a, b) = dY (f (a), f (b)),
Zadanie 3.
2. d∗ (a, b) = dX (f −1 (a), f −1 (b))
s¡ odpowiednio metrykami w zbiorze X oraz w zbiorze Y .
Zadanie 4. Niech X = {a, b, c}. Zdeniowa¢ na X × X funkcj¦ nieujemn¡
tak, by speªniaªa dokªadnie dwa z warunków denicji metryki (wszystkie
mo»liwo±ci wyboru 2 warunków).
Zadanie 5. Niech (X, d) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡, A ⊂ X podzbiorem.
Deniujemy ±rednic¦ zbioru A jako
δ(A) := sup{d(x, y) | x, y ∈ A}.
1. Pokaza¢, »e:
a) A ⊂ B ⇒ δ(A) ≤ δ(B),
b) je±li A ∩ B 6= ∅, to δ(A ∩ B) ≤ δ(A) + δ(B).
2. Pokaza¢, »e je»eli ka»dy podzbiór wªa±ciwy A ⊂ X jest ograniczony (ma
sko«czon¡ ±rednic¦), to przestrze« X jest te» ograniczona.
3. Wyznaczy¢ ±rednic¦ szachownicy 8 × 8 w metryce konika szachowego.