Lista zadań 2

Zadania z fizyki
Wydział PPT
2
Ruch prostoliniowy
Uwaga: Zadania oznaczone przez ‘(c)’ należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach.
Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale
również obowiązkowe.
Zad. 1(c). W eksperymencie ornitologicznym burzyk (gatunek ptaka) został przetransportowany
ze swojego gniazda na odległość 5150 km i uwolniony. Ptak powrócił do gniazda 13,5 dnia po
wypuszczeniu. Wybierzmy początek układu odniesienia w miejscu gniazda i skierujmy oś x w
kierunku miejsca, w którym wypuszczono ptaka. Jaka była średnia prędkość ptaka (a) w locie
powrotnym do gniazda; (b) w czasie całej podróży tam i z powrotem?
Zad. 2. Analiza trzęsienia ziemi. Trzęsienia ziemi generują różne rodzaje fal uderzeniowych.
Najpowszechniej znane są fale P (od primary - główne lub pressure - ciśnienie, ewentualnie od
„podłużne”) i fale S (od secondary - drugorzędne lub shear - ścinające, poprzeczne). W skorupie
ziemskiej prędkości fal P i S wynoszą odpowiednio około 6,5 km/s i 3,5 km/s (dokładne wartości zależą od lokalnego materiału). Odstęp czasu pomiędzy nadejściem tych dwóch fal do stacji
sejsmologicznej niesie informację o odległości od miejsca wystąpienia trzęsienia ziemi. Jeśli ten
odstęp czasu wynosi 33 s, jak daleko od stacji sejsmologicznej miało miejsce trzęsienie ziemi?
Zad. 3(c). Samochód rusza po zapaleniu się zielonego światła i zaczyna poruszać się po prostej
drodze w taki sposób, że jego odległość od świateł dana jest zależnością x(t) = bt2 − ct3 , gdzie
b = 2,40 m/s2 , a c = 0,120 m/s3 . (a) Oblicz średnią prędkość samochodu w przedziale czasu of
t = 0 do t = 10,0 s. (b) Oblicz chwilową prędkość samochodu w w chwilach czasu t = 0, t = 5,0 s
i t = 10,0 s. (c) Po jakim czasie samochód znowu znajdzie się w spoczynku?
Zad. 4. Prędkość samochodu jako funkcja czasu jest opisana równaniem vx (t) = α + βt2 , gdzie
α = 3,00 m/s, a β = 0,100 m/s3 . (a) Oblicz średnie przyspieszenie samochodu w przedziale czasu
od t = 0 do t = 5,00 s. (b) Oblicz przyspieszenie chwilowe w t = 0 i t = 5,00 s. (c) Narysuj
wykresy vx (t) i ax (t) dla ruchu tego samochodu w przedziale czasu od t = 0 do t = 5,00 s.
Zad. 5. Żółw pełznie po prostej, którą utożsamimy z osią x o kierunku dodatnim w prawo.
Równanie opisujące położenie żółwia w funkcji czasu ma postać x(t) = 50,0 cm + (2,00 cm/s)t −
(0,0625 cm/s2 )t2 . (a) Znajdź początkowe położenie, początkową prędkość i początkowe przyspieszenie żółwia. (b) W jakiej chwili czasu prędkość żółwia wynosi zero? (c) Po jakim czasie od chwili
wyruszenia żółw powróci do swojego początkowego położenia? (d) W jakich chwilach czasu żółw
znajduje się 10,0 cm od punktu startu? Jaka jest prędkość żółwia (wartość i zwrot) w każdej tych
chwil? (e) Naszkicuj wykresy zależności x(t), vx (t) i ax (t) w przedziale czasu od t = 0 do t = 40 s.
Zad. 6. Punkt materialny porusza się wzdłuż osi x zgodnie z równaniem x(t) = αt + βt2 , gdzie
α = 3,0 m/s, β = 0,50 m/s2 . Znaleźć: (a) średnią prędkość w ciągu pierwszych 2,0, 6,0 i 10 s
ruchu; (b) średnią wartość prędkości w ciągu pierwszych 5,0 s ruchu;
1
Zad. 7*. Idąc na uczelnię, studentka przebyła połowę drogi z prędkością o wartości v0 . Pozostałe
pół drogi przeszła, idąc przez połowę czasu z prędkością równą co do wartości v1 , a przez drugą
połowę czasu z prędkością v2 . Znaleźć średnią wartość prędkości studentki na całej drodze.
x
Zad. 8(c). Na rysunku obok przedstawiono zalezność
x(t) dla ruchu prostoliniowego pewnego obiektu. Narysuj schematyczne diagramya ilustrujące położenie,
prędkość i przyspieszenie tego obiektu w chwilach czasu odpowiadajacych każdemu z zaznaczonych punktów. Dla przykładu przedstawiono diagram dla punktu A.
D
E
B
A
Zad. 10. Punkt materialny porusza się po prostej
w jednym kierunku. Na rysunku obok przedstawiono zależność jego drogi s od czasu t. Posługując się
tym wykresem wyliczyć: (a) średnią prędkość w tym
ruchu; (b) maksymalną prędkość; (c)* czas t0 , w którym prędkość chwilowa jest równa średniej prędkości
w przedziale czasu od 0 do t0 ; (d) średnie przyspieszenie w siągu pierwszych 10 i 16 s ruchu.
x
xA
Patrz Young, Freedman, University Physics, rozdz. 2.
0
1.5
1
x [mm]
Zad. 9(c). Na rysunku obok przedstawiono przykładowy wykres ruchu pewnego punktu dźwięczącej struny fortepianu. (a) W których okresach czasu
prędkość punktu jest dodatnia, a w których ujemna? (b) W których chwilach prędkość punktu wynosi zero? (c) W jakich chwilach punkt porusza się z
największą co do wartości prędkością, a w jakich z
największym przyspieszeniem? (d) W których przedziałach czasu wartość prędkości rośnie, a w których
maleje?
t
ax
vx
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
4
8
12 16 20 24 28
t [s]
2
x (m)
a
C
1
0
0
10
20
30
t (s)
2
2
1
v (m/s)
Zad. 11(c). Rysunek przedstawia wykres zależności
składowej v prędkości pewnego obiektu poruszającego się wzdłuż osi x. W chwili początkowej (t = 0)
obiekt ten znajdował się w punkcie x = 0. Naszkicuj wykresy zależności przyspieszenia a, położenia x
i przebytej drogi s od czasu.
0
-1
-2
0
1
2
3
4 5
t (s)
6
7
8
0.6
0.4
a (m/s2)
Zad. 12(c). Istnieją przyrządy umożliwiające zapis
wykresów przedstawiających w funkcji czasu zmiany
przyspieszenia poruszającego się wagonu. Przykład
takiego wykresu pokazany jest na rysunku obok. (a)
W jakich przedziałach czasu ruch opisany na wykresie odbywał się z przyspieszeniem dodatnim, w jakich
z ujemnym, a w jakich był to ruch jednostajny (z
zerowym przyspieszeniem)? (b) Sporządź przybliżony wykres prędkości odpowiadający temu wykresowi
przyspieszenia. Co jeszcze trzeba wiedzieć, by to zrobić?
0.2
0
-0.2
0
50
100
150
t (s)
0.2
A
a (m/s2)
Zad. 13*. Na rysunku obok przedstawiono wykres
zależności przyspieszenia wagonu od przebytej drogi
(po torze prostoliniowym). (a) Scharakteryzuj ruch
na poszczególnych odcinkach (ruch jednostajny, przyspieszony); (b) Co można powiedzieć o początkowej i
końcowej prędkości wagonu, jeśli pola A i B na wykresie są równe?
0
B
-0.2
-0.4
0
10
20
x (m)
30
Zad. 14(c). Udowodnij zależności dla ruchu ze stałym przyspieszeniem w kierunku x
2
vx2 = v0x
+ 2ax (x − x0 )
oraz
1
x − x0 = (v0x + vx )t.
2
Zad. 15(c). Antylopa biegnąca po prostej ze stałym przyspieszeniem przebywa odległość dzieląca dwa punkty odległe o 70,0 m w czasie 7,00 s. Jej prędkość w momencie mijania drugiego
punktu wynosi 15,0 m/s. (a) Jaka była prędkość antylopy w pierwszym punkcie? (b) Jakie jest jej
przyspieszenie?
Zad. 16. Serwis w tenisie. W najszybszym zarejestrowanym serwisie tenisowym piłka opuściła
rakietę z prędkością 73,14 m/s. W czasie zagrania serwisowego piłka jest w kontakcie z rakietą
typowo przez ok. 30 ms i rozpoczyna swój ruch ze stanu spoczynku. Przyjmijmy, że przyspieszenie
piłki jest stałe. (a) Jakie jest przyspieszenie piłki w czasie zagrania? (b) Jakie jest przemieszczenie
piłki w czasie kontaktu z rakietą?
Zad. 17. Poduszka powietrzna. Ludzkie ciało może przetrwać urazy wywołane przyspieszeniem (w przypadku nagłego zatrzymania) jeśli wartość przyspieszenia nie przekracza 250 m/s2 .
Jeśli ulegniesz wypadkowi jadąc z prędkością 105 km/h i zostaniesz zatrzymany(a) przez poduszkę powietrzną, to na jakiej minimalnej drodze musi następować hamowanie ruchu ciała przez
poduszkę, żebyś przeżył(a) tę kraksę?
Zad. 18. Biegacz, biegnąc po prostej, przyspiesza jednostajnie od stanu spoczynku do prędkości
v1 = 5 m/s w czasie t1 = 2 s. Następnie biegnie jednostajnie z prędkością v1 przez czas t2 = 10 s.
Jakie jest przyspieszenie biegacza w pierwszej fazie biegu? Narysuj wykresy zależności przyspieszenia, prędkości oraz położenia biegacza od czasu w przedziale czasu t ∈ (0, t1 + t2 ).
3
Zad. 19(c). Podrzucamy piłkę pionowo, stojąc na krawędzi wysokiego budynku. Początkowa
prędkość piłki ma wartość 15,0 m/s. Spadając, piłka mija krawędź dachu. Znajdź: (a) położenie
i prędkość piłki po 1,00 s i po 4,00 s lotu; (b) prędkość piłki, gdy znajduje się ona 5,00 m powyżej krawędzi dachu; (c) maksymalną osiągniętą przez piłkę wysokość oraz czas, po jakim to
nastąpi; (d) przyspieszenie piłki w najwyższym punkcie toru; (e) czas, po jakim piłka znajdzie się
5,00 m poniżej krawędzi dachu. Wyjaśnij znaczenie drugiego, niefizycznego rozwiązania ostatniego
zagadnienia.
Zad. 20. Wystrzelona pionowo do góry rakieta podczas trwającego 50 s działania jej silnika ma
stałe skierowane do góry przyspieszenie równe 2g. Po ustaniu pracy silnika porusza się ona z
przyspieszeniem g skierowanym w dół. (a) Wykonaj wykres vz (t) dla całego lotu rakiety (oś z
jest skierowana pionowo ze zwrotem w górę). (b) Oblicz maksymalną wysokość osiągniętą przez
rakietę. (c) Oblicz, po jakim czasie od wystrzelenia rakieta powróci na ziemię.
Zad. 21. Bomba wulkaniczna zostaje wyrzucona z wulkanu pionowo w górę z początkową prędkością 40,0 m/s. Można pominąć opór powietrza. (a) Po jakim czasie od chwili jej wyrzucenia bomba
ma prędkość 20,0 m/s w górę? (b) Po jakim czasie ma ona prędkość 20,0 m/s w dół? (c) Kiedy
jej przemieszczenie względem początkowego położenia wynosi zero? (d) Kiedy jej prędkość wynosi
zero? (e) Jaka jest wartość i kierunek przyspieszenia, kiedy bomba (i) porusza się w górę; (ii)
porusza się w dół; (iii) znajduje się w najwyższym punkcie? (f) Naszkicuj wykresy z(t), vz (t) i
az (t) dla tego ruchu (oś z jest osią pionową i ma zwrot w górę).
Zad. 22. Test na refleks. Metrowa linijka zwisa pionowo nad twoją dłonią w taki sposób, że
jej koniec znajduje się pomiędzy twoim kciukiem a palcem wskazującym. Twoim zadaniem jest
złapać linijkę w palce, gdy zacznie ona spadać. Możesz obliczyć czas swojej reakcji na podstawie
przemieszczenia linijki, odczytanego bezpośrednio jako pozycja twoich palców na podziałce po
złapaniu linijki. (a) Znajdź związek pomiędzy czasem reakcji a zmierzonym przemieszczeniem. (b)
Jeśli przemieszczenie wynosi 17,6 cm, to jaki był czas reakcji?
Zad. 23(c). Kierowca samochodu porusza się ze stałą prędkością 15 m/s w miejscu, gdzie dozwolona prędkość wynosi 30 km/h. W pewnym momencie mija policjanta stojącego na motorze
w bocznej uliczce. Policjant natychmiast rozpoczyna pościg za samochodem ze stałym przyspieszeniem 3,0 m/s2 . (a) Ile czasu zajmie policjantowi dogonienie winowajcy? (b) Jaką będzie miał
wtedy prędkość? Ruch samochodu i policjanta zilustruj na wykresie x(t) i v(t).
Zad. 24*. W biegu na 100 metrów dwaj zawodnicy: A i B dobiegają do mety równocześnie w
czasie 10 sekund. A potrzebuje 2 s, a B 3 s na osiągnięcie maksymalnej prędkości, która potem się
już nie zmienia do końca biegu. Podać: (a) maksymalne prędkości i przyspieszenia obu sprinterów;
(b) ich maksymalną prędkość względną; (c) który z nich prowadzi po 6 sekundach biegu. Wykonać
rysunek i podać graficzną interpretację odpowiedzi.
Zad. 25*. Łódź motorowa płynąca w dół rzeki mija w punkcie A spływającą z prądem tratwę.
Po 60 minutach łódź zawraca i ponownie mija tę samą tratwę 6,0 km poniżej punktu A. Silnik
łodzi przez cały czas pracuje jednakowo. Znaleźć prędkość prądu rzeki (przyjąć, że jest ona stała
i wszędzie jednakowa).
Zad. 26*. Pogoń za autobusem. Studentka, chcąc uniknąć spóźnienia na poranny wykład
z fizyki, rusza w pogoń za autobusem stojącym na przystanku i biegnie z prędkością 5,0 m/s.
Gdy do autobusu pozostaje jej jeszcze 40,0 m, rusza on z przystanku ze stałym przyspieszeniem
0,170 m/s2 . (a) Jak długo musi jeszcze biec studentka z tą samą prędkością, nim dogoni autobus,
4
i jaką odległość przebiegnie w tym czasie? (b) Gdy dogania autobus, jaka jest jego prędkość? (c)
Naszkicuj zależność x(t) dla autobusu i studentki. Przyjmij początkowe położenie studentki jako
x = 0. (d) Równania użyte w punkcie (a) do znalezienia czasu mają jeszcze jedno rozwiązanie,
odpowiadające późniejszej chwili, w której autobus i studentka znów znajdą się w jednym miejscu,
jeśli będą się nadal poruszać tak, jak opisano wyżej. Wyjaśnij znaczenie tego drugiego rozwiązania.
Jaka jest prędkość autobusu w tym momencie? (e) Gdyby studentka potrafiła biec jedynie z
prędkością 3,5 m/s, to czy dogoniłaby autobus? (f) Jaka jest najmniejsza prędkość studentki
umożliwiająca jej dogonienie autobusu? Ile trwa pogoń i jaką odległość przebiegnie studentka w
tym przypadku?
5