1. Równania pierwszego rzędu

1. Równania pierwszego rzędu - praca domowa 1
Zadanie 1.1 (zad. 1, egz., RRCz-07Z). Znaleźć co najmniej jedno klasyczne rozwiązanie
równania
u2x (x, y) + 2u2y (x, y) = x2 + 2y 2
w R2 spełniające warunek brzegowy u(x, x) = x2 . Czy powyższy problem brzegowy jest
rozwiązywalny jednoznacznie?
Zadanie 1.2 (zad. 1, egz. II, RRCz-07Z). Rozważyć następujące równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu
u2x (x, y) + 2ux (x, y) · uy (x, y) − u2y (x, y) = u(x, y)
w R2 . Niech G(x, y, p) = x + y − 4p oraz H(x, y, q) = x − y − 4q dla x, y, p, q ∈ R.
(a) Wykazać, że dla dowolnej funkcji gładkiej Φ : R2 → R funkcja Φ(G(x, y, p), H(x, y, q))
jest stała na wstęgach charakterystycznych rozważanego równania.
(b) Znajdź co najmniej jedno klasyczne rozwiązanie rozważanego równania spełniające warunek brzegowy u(x, x) = −2. Czy powyższy problem brzegowy jest rozwiązywalny
jednoznacznie? Odpowiedź uzasadnić.
(c) Narysować charakterystyki rozważanego w poprzednim punkcie problemu brzegowego.
Zadanie 1.3 (zad. 1, kol., RRCz-06Z). Rozważyć następujący problem brzegowy
u2x (x, y) + ux (x, y)uy (x, y) + u2y (x, y) = u(x, y) w R2 , u(x, x) = 1 dla x ∈ R.
(a) Znaleźć wszystkie dopuszczalne układy danych początkowych dla układu wstęgi charakterystycznej związanej z rozważanym problemem.
(b) Sprawdzić niecharakterystyczność danych początkowych z (a).
(c) Znaleźć wszystkie rozwiązania klasyczne rozważanego problemu.
(d) Czy metoda charakterystyk definiuje rozwiązania w całej płaszczyźnie? Odpowiedź uzasadnić.
Wskazówka: (d) naszkicować charakterystyki.
Zadanie 1.4 (zad. 1, kol. I, RRCz-09Z). Rozważyć następujące równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu
u2x (x, y) + u2y (x, y) − F (u(x, y)) = 0 w zbiorze R2 ,
gdzie F : R → R jest daną funkcją klasy C 1 (R).
(a) Wykazać, że funkcja
L(p, q, z) =
2F (z)
p2 + q 2
+
p2 + q 2
2F (z)
jest stała na wstęgach charakterystycznych rozważanego równania.
(b) W przypadku F (z) = z znaleźć wszystkie układy danych dopuszczalnych początkowych
zagadnienia brzegowego u(x, 1) = 1.
(c) Dla każdego układu dopuszczalnych i niecharakterystycznych danych początkowych
układu wstęgi charakterystycznej związanej z rozważanym problemem brzegowym znaleźć odpowiadające temu układowi rozwiązanie.
Zadanie 1.5 (zad. 1, kol. I, RRCz-14L). Znaleźć rozwiązanie zagadnienia





u2x1 + u2x2 = 1,
u(cos ϕ, sin ϕ) = 0 dla ϕ ∈ [0, 2π].
Czy powyższe zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie? W jakim zbiorze rozwiązanie jest
dobrze określone?