Lista nr 1. Równania różniczkowe pierwszego rzędu

dr Tomasz Małolepszy
1
Lista nr 1.
Równania różniczkowe pierwszego rzędu - pojęcia wstępne,
równania o zmiennych rozdzielonych i sprowadzalne do nich.
Zad.1. Niech dane będzie równanie y 0 = f (t, y). Wykazać, że funkcja y jest rozwiązaniem tego równania, jeżeli
a. y 0 = 32 − 2y, y(t) = 16,
b. y 0 = − 21 y, y(t) = exp(− 2t ),
c. y 0 = 1 + y 2 , y(t) = tg t,
d. y 0 = 24 − 20y, y(t) =
e. y 0 =
py
t,
6
5
− 65 e−20t ,
√
y(t) = ( t + C)2 ,
f. y 0 = 1 + yt , y(t) = t ln t.
W każdym z przykładów dodatkowo narysować zbiór Ω, na którym określona jest funkcja f , wyznaczyć maksymalny przedział (a, b) określoności y, naszkicować wykres y (czyli krzywą całkową) oraz wyznaczyć granice
lim y(t) i lim y(t).
t→b−
t→a+
Zad.2. Naszkicować pole kierunków dla równania y 0 = f (t, y), jeżeli
a. f (t, y) = −y,
b. f (t, y) = yt ,
c. f (t, y) = y 2 + t2 ,
d. f (t, y) = t2 − y.
Zad.3. Czy równanie |y 0 | + et + 5 = 0 posiada rozwiązanie?
Zad.4. Znaleźć rozwiązania podanych równań o zmiennych rozdzielonych:
a. y 0 = t,
b. 2t2 y 0 = y,
c. xy = (2 − x)(1 + y)y 0 ,
p
√
d. x 1 + y 2 + y 1 + x2 y 0 = 0,
e. xy 0 + 1 = x3 + y 0 ,
f. sin x sin yy 0 = cos x cos y,
g. y 0 = x 1+x
1+y ,
h. y 0 =
i.
y0
sin x
tg y
x ,
= y ln y.
Zad.5. Znaleźć rozwiązania podanych zagadnień początkowych:
a. x0 = 3, x(0) = 3,
b. y 0 = yt , y(1) = 5,
c. x0 = (1 + e−x ) sin t, x(0) = 0,
2
dr Tomasz Małolepszy
d. y 0 = −y 2 et , y(0) = 1,
e. txx0 = ln t, x(1) = 1.
Wyznaczyć przedziały, na którym rozwiązania powyższych zagadnień są określone. Czy te rozwiązania są jedyne?
Zad.6. Rozwiązać następujące równania jednorodne:
a. xy 0 = x + y,
b. (x + y)y 0 + y = 0,
p
c. xy 0 = y + x2 + y 2 ,
d. y 0 =
y
x
+ tg xy ,
e. (x2 − xy)y 0 + y 2 = 0.
Zad.7. Znaleźć rozwiązania podanych zagadnień początkowych:
a. y 0 =
y 2 +ty
t2 ,
y(1) = −1,
b. ty 0 = y(ln yt + 1), y(1) = e,
c. ty 0 = y + t exp( yt ), y(1) = 0.
Wyznaczyć przedziały, na którym rozwiązania powyższych zagadnień są określone. Czy te rozwiązania są jedyne?
Zad.8. Znaleźć rozwiązania następujących równań typu y 0 = f (ay + bx + c):
a. y 0 = 5x − 3y + 7,
b. y 0 =
1
2x+y−2
+ 2x + y − 2,
c. y 0 = (x + 2y + 3)2 ,
d. y 0 = (x − y)2 ,
e. 2x + 3y − 1 + (4x + 6y − 5)y 0 = 0,
f. y 0 = (2x + y − 3)2 − 4x − 2y + 5.