Permutacje - Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

Algebra
Permutacje
Aleksandr Denisiuk
[email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku
ul. Brzegi 55
80-045 Gdańsk
Algebra – p. 1
Permutacje
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Algebra – p. 2
Definicja
• Ωn = { 1, 2, . . . , n }
• Wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie π : Ωn → Ωn
nazywa sie˛ permutacja.
˛
• Oznaczenie:
1
2
...
π(1) π(2) . . .
n
π(n)
!
• Mnożenie permutacji: τ σ = τ ◦ σ
◦ przykład: τ =
!
1 2 3 4
,σ=
2 3 4 1
!
1 2 3 4
4 3 2 1
◦ τ σ 6= στ
Algebra – p. 3
Grupa permutacji
• (τ σ)ω = τ (σω)
• permutacja jednostkowa e =
1 ...
1 ...
!
n
n
• permutacja odwrotna τ τ −1 = e
• grupa permutacji: Sn
Algebra – p. 4
Cykle
• permutacja a1 7→ a2 7→ . . . 7→ ak 7→ a1 , pozostałe elementy
zostaja˛ na miejscu (a 7→ a) nazywa sie˛ cyklem długośłci k
• zapis: (a1 a2 . . . ak )
• cykl gługości 2 nazywa sie˛ trapspozycja˛
• dwa cykle sa˛ niezależne, jeżeli nie maja˛ wspólnych
elementów
• mnożenie niezależnych cykli jest przemienne
Twierdzenie 1. Każda permutacji może być przedstawiona jako iloczyn
niezależnych cykli. Jednoznacznie z dokładnościa˛ do kolejności czynników
Algebra – p. 5
Cykle
• permutacja a1 7→ a2 7→ . . . 7→ ak 7→ a1 , pozostałe elementy
zostaja˛ na miejscu (a 7→ a) nazywa sie˛ cyklem długośłci k
• zapis: (a1 a2 . . . ak )
• cykl gługości 2 nazywa sie˛ trapspozycja˛
• dwa cykle sa˛ niezależne, jeżeli nie maja˛ wspólnych
elementów
• mnożenie niezależnych cykli jest przemienne
Twierdzenie 2. Każda permutacji może być przedstawiona jako iloczyn
niezależnych cykli. Jednoznacznie z dokładnościa˛ do kolejności czynników
Wniosek 3. Każda permutacja może być przedstawiona jako iloczyn
transpozycji
Algebra – p. 6
Przykłady
•
!
1 2 3 4 5 6 7 8
= (12345)(67)(8) = (12345)(67)
2 3 4 5 1 7 6 8
• w S4 : (123) = (13)(12) = (23)(13) = (13)(24)(12)(14)
Algebra – p. 7
Znak permutacji
Twierdzenie 4. Niech π
∈ Sn ,
π = τ1 τ2 . . . τk ,
gdzie τj sa˛ transpozycje (j
(1)
= 1, . . . , k ). Wtedy
ε(π) = (−1)k
nie zależy od reprezentacji (1). Pozatym ∀α, β
∈ Sn
ε(αβ) = ε(α)ε(β).
Definicja 5.
• permutacja σ ∈ Sn jest parzysta, jeżeli ε(σ) = 1
• permutacja σ ∈ Sn jest nieparzysta, jeżeli ε(σ) = −1
Algebra – p. 8
Obliczenie znaku permutacji
Definicja 6. Niech dana bedzie
˛
permutacja
π=
1
2
...
π(1) π(2) . . .
Para (π(i), π(j)) tworzy inwersje,
˛ jeżeli i
n
π(n)
!
< j oraz π(i) > π(j).
Twierdzenie 7. Permutacjia π ∈ Sn jest parzysta˛ wtedy i tylko wtedy, gdy
zawiera ona parzysta˛ ilość inwersji.
Dowód.
• transposycja (ai ai+1 ) zmienia parzystość permutacji
• ogólna transpozycja zmienia parzystość permutacji
Przykład 8.
π=
1 2 3 4 5 6
5 4 1 3 2 6
!
Algebra – p. 9
Działanie permutacji na funkcjach
Definicja 9. Niech dane bed
˛ a˛ n-argumentowa funkcja f (x1 , . . . , xn ) oraz
permutacja σ ∈ Sn . Działanie σ na f jest funkcja
(σ ◦ f )(x1 , . . . , xn ) = f (xσ(1) , . . . , xσ(n) )
Lemat 10.
∀σ, π ∈ Sn
(σπ) ◦ f = σ ◦ (π ◦ f )
Algebra – p. 10
Funkcje antysymetryczne
Definicja 11. n-argumentowa funkcja f (x1 , . . . , xn ) nazywa sie˛
antysymetryczna˛ (skośno-symmetryczna,
˛ jeżeli ∀1 6 k < n
f (x1 , . . . xk , xk+1 , . . . , xn ) = −f (x1 , . . . xk+1 , xk , . . . , xn )
Lemat 12. Dla antysymetrycznej funkcji f , ∀i, j
f (x1 , . . . xi , . . . , xj , . . . , xn ) = −f (x1 , . . . xj , . . . , xi , . . . , xn )
Przykład 13.
∆n =
Y
(xi − xj )
16j<i6n
Algebra – p. 11
Dowód twierdzenia 4
• Niech f (x1 , . . . , xn ) bedzie
˛
dowolna niezerowa
antysymetryczna funkcja.
• Niech σ = τ1 τ2 . . . τk bedzie
˛
permutacja,
˛ rozłożona w iloczyn
transpozycji.
• σ ◦ f = (−1)k f = ε(σ)f — nie zależy od rozłożenia.
• ε(σπ)f = (σπ) ◦ f = (σ ◦ π) ◦ f = σ ◦ (π ◦ f = σ ◦ (ε(π)f ) =
ε(π)(σ ◦ f ) = ε(π)ε(σ)f
Algebra – p. 12
Funkcje symetryczne
Definicja 14. n-argumentowa funkcja f (x1 , . . . , xn ) nazywa sie˛
symetryczna,
˛ jeżeli ∀1 6 k < n
f (x1 , . . . xk , xk+1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . xk+1 , xk , . . . , xn )
Lemat 15. Dla symetrycznej funkcji f , ∀σ
∈ Sn
f (x1 , . . . . . . , xn ) = f (xσ(1) , . . . . . . , xσ(n) )
Przykład 16.
• x1 + · · · + xn
• x21 + x1 x2 + · · · + x1 xn + x2 x1 + x22 + x2 x3 + · · · + xn xn−1 + x2n
• x1 x2 . . . xn
Algebra – p. 13