Wielkości proporcjonalne i funkcja f(x)=a/x

Kurs e-learningowy
Matematyka - lekcja 23
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
23. Wielkości proporcjonalne i funkcja f(x)=a/x. Funkcja wykładnicza.
I.
Przypomnij sobie:
1. Jakie wielkości nazywamy proporcjonalnymi?
Wielkości proporcjonalne to takie wielkości, które zmieniają się w tym samym
tempie.
Mamy wielkości proporcjonalne:
- wprost (gdy jedna z nich rośnie, to druga rośnie w tym samym tempie; gdy jedna
maleje, to druga też maleje w tym samym tempie),
- odwrotnie ( gdy jedna rośnie, to druga maleje w tym samym tempie i na odwrót).
Inaczej – dwie wielkości x i y są (dla dowolnej liczby a):
y
- wprost proporcjonalne, gdy y  ax (  a ),
x
a
- odwrotnie proporcjonalne, gdy y  ( xy  a ).
x
2. Co wiemy o funkcji postaci f x  
Wykresem funkcji postaci f x  
a
?
x
a
jest hiperbola, asymptotami której są osie
x
układu współrzędnych.
Gdy a  0 , to wykres znajduje się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu
współrzędnych (rysunek po lewej).
Gdy a  0 , to wykres znajduje się w drugiej i czwartej ćwiartce układu
współrzędnych (rysunek po prawej).
3. Jaką funkcję nazywamy wykładniczą?
Funkcję f ( x)  a x , gdzie a  R  \ 1 nazywamy funkcją wykładniczą.
Kurs e-learningowy
Matematyka - lekcja 23
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
4. Własności funkcji wykładniczej.
Jeżeli a  1 , to funkcja wykładnicza f ( x)  a x jest rosnąca, a jeżeli 0  a  1 , to
funkcja wykładnicza jest malejąca.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
II.
Przykład
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej f,
której wzór ma postać f x   a x .
a. Odczytaj z rysunku odpowiednie dane i podaj wartość a.
b. Uporządkuj rosnąco liczby f 2 , f  1, f 1.
 
Rozwiązanie:
a. Wykres funkcji przechodzi m.in. przez punkt o współrzędnych (1,2), a skoro jest to wykres funkcji wykładniczej postaci
f x   a x , to 2  a 1 . Możemy tę zależność przekształcić do
1
1
1
postaci    a 1 . Zatem a  . Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji określonej
2
2
x
1
wzorem f x     .
2
1
b. Ponieważ a  , a dla a spełniającego warunek 0  a  1 funkcja wykładnicza f x   a x
2
jest malejąca (co widać również na wykresie), do rosnącego uporządkowania wartości
funkcji, wystarczy uporządkować argumenty funkcji malejąco: 2  1  1 . Czyli
f
 
1
2  f 1  f  1 , a konkretnie:  
2
Odpowiedź: a 
1
. Natomiast f
2
2
1
1
1 1
    .
2 2
 2   f 1  f 1 .
Kurs e-learningowy
Matematyka - lekcja 23
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład
Wielkościami wprost proporcjonalnymi są wielkości x i y określone zależnością:
x 8
 ,
2 y
A.
B.
4x
3
,

15 8 y
C.
7 2
 ,
y x
D.
5 y
 .
x 15
Rozwiązanie:
Możemy przekształcać poszczególne równości:
A. x  y  2 8 ,
B. 4 x  8 y  15  3 ,
C. 7  x  y  2 ,
D. 5 15  x  y
45
7
xy 
y x
xy  75
xy  16
32
2
z czego wyraźnie widzimy, że tylko w punkcie C mamy do czynienia z wielkościami wprost
proporcjonalnymi. W pozostałych punktach wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne.
Odpowiedź C.
Przykład
Do wykresu funkcji określonej wzorem y  16 x nie należy punkt o współrzędnych:
 1 1
B.   ,  ,
 2 4
A. (0,1),
1 
C.  ,4  ,
2 
D. (2,64).
Rozwiązanie:
160  1 , więc punkt o współrzędnych (0,1) należy do wykresu funkcji y  16 x ;
16

1
2

1
1
 1 1
 , więc punkt o współrzędnych   ,  należy do wykresu funkcji y  16 x ;
16 4
 2 4
1
2
1
16  16  4 , więc punkt o współrzędnych  ,4  należy do wykresu funkcji y  16 x ;
2 
2
16  256  64 , więc punkt o współrzędnych (2,64) nie należy do wykresu funkcji y  16 x .
Wybieramy odpowiedź D.
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Zapas ziemniaków w stołówce szkolnej wystarczy na 21 dni, jeżeli dziennie będzie się
wydawać 240 obiadów. Na ile dni wystarczy ten zapas, jeśli dziennie będą wydawane 252
obiady?
Kurs e-learningowy
Matematyka - lekcja 23
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Zadanie 2. (1 pkt)
Współczynnik proporcjonalności wielkości x i y, których zależność
przedstawiona jest na wykresie funkcji obok, jest równy:
A. -3,
B. 0,
C. 1,
D. 3.
Zadanie 3. (1 pkt)
Funkcje f i g, określone wzorami f x   4 x i g x   2 x1 , przecinają się w punkcie o odciętej:
A. x  1
B. x  1,
C. x  2 ,
D. x  4 .
Zadanie 4. (1 pkt)
Funkcja wykładnicza określona wzorem y  2 x nie przyjmuje wartości równej:
A. -2,
B. 1,
C. 2,
D. 1024.
Zadanie 5. (1 pkt)
Funkcja wykładnicza f jest rosnąca, gdy określona jest wzorem:
x
1
A. f x     ,
2
B. f x   2 x ,
C. f x   2 x ,
D. f x   4 x .