Ciągi. Granica ciągu.

CIĄGI LICZBOWE. GRANICA CIĄGU.
(n + 2)!+ n !
(−2) n +1
1. Znaleźć 3 początkowe wyrazy ciągu, jeżeli: a) a n =
b) b n = 1 +
.
(n + 1)!
n2
1
2 3
4 5
2. Podać wzór na n-ty wyraz ciągu o następujących sześciu wyrazach początkowych:
,− , ,− ,
.
2
4 8 16 32
3n + 1
4n − 1
4n
3. Zbadać monotoniczność ciągu: a) a n =
b) b n =
c)
c
=
.
n
n+3
(n + 1)!
4n
4. Wypisać 3 pierwsze ciągu, a potem zbadać jego monotoniczność zakładając, że n ≥ 3 :
3 n − 12
3 n + 15
a) a n =
b)
b
=
.
n
4n
2n
5. Wykazać, że ciąg jest ograniczony, podając liczby ograniczające z dołu i z góry:
1+ n2
(−1) n +1
3n + 1
2n
a) a n =
b) b n = 1 +
c) c n =
⋅ cos ((n + 1)π)
d) d n =
.
n
n!
1+ n3
n2
6. Znaleźć granicę ciągu: a) lim
3
d) lim
h) lim
n +5 n −4
e) lim
n− n +4 n +7
(
n+2− n+4
)
(
(2n − 1)2
n 2 + 3n − 1
b) lim
(2n + 1) ⋅ 8n 3 + 2
(5n + 3) ⋅ n 2 + 7
3n 2 − 4 n 4 + 1
n 2 − 2n + 4
f) lim
i) lim n 2 − 3n + 3 − n 2 + 2n
7. Dla podanych niżej ciągów znaleźć granicę lim
a n +1
:
an
)
c) lim
2 ⋅ 4 n +1 − 5 n + 2
5n − 4n
j) lim
a) a n =
n →∞
3n 3 − n ⋅ n 4 + 3n
2n 3 +2 ⋅ 4n 6 + 12n 3
g) lim
2 2 n +1 − 3 2 n + 2
5n +4 + 9 n
(n + 2)!+ (n + 1) ! .
(n + 3)!
(n!)2 b) a = 3 n ⋅ n n
(2n )!
n
n!
c) a n =
(n !)2
n 2n
.
x
x2
x3
−
+
− K , której prawa strona jest sumą nieskończonego
x − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 3
ciągu geometrycznego. Znaleźć dziedzinę tej funkcji i dla x ∈ D obliczyć jawną postać f ( x ) .
8. Dana jest funkcja:
f (x ) =
9. Rozwiązać nierówność: x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + K > −1 − x .