Wprowadzenie Precyzja obliczeń

Spis treści
1 Wprowadzenie
2 Precyzja obliczeń
2.1 Rozwinięcie dziesiętne ułamka
2.2 Zadania
3 Pewne zagadnienia algebry liniowej
3.1 Rozwiązywanie układu równań liniowych — metoda eliminacji Gaussa
3.1.1 Numeryczna stabilność algorytmu
3.2 Znajdowanie macierzy odwrotnej
4 Znajdowanie miejsc zerowych funkcji
4.1 Metoda bisekcji (równego podziału)
4.2 Metoda Newtona
4.3 Pierwiastkowanie metodą Isaaca Newtona
5 Interpolacja
5.1 Interpolacja wielomianowa
5.2 Efekt Rungego
5.3 Funkcje sklejane
6 Równania różniczkowe i całkowanie
6.1 Równania ruchu
6.2 Całkowanie funkcji metodą trapezów
Wprowadzenie
Jak już wiemy, aby móc zastosować komputer do rozwiązywania różnorodnych zagadnień musimy mu
dokładnie przestawić plan działania — program. Program piszemy w oparciu o algorytm, który
opisuje sposób rozwiązania danego problemu. Ten sposób musimy znaleźć sami, ale często możemy
wykorzystać fakt, że podobne problemy ktoś już kiedyś rozwiązał. Uwaga ta dotyczy w szczególności
całej gamy zagadnień obliczeniowych; algorytmy rozwiązywania typowych problemów znane są w
literaturze właśnie jako metody numeryczne. Jest to też osobna dziedzina wiedzy: wiele problemów
można rozwiązywać na kilka sposobów, próbuje się więc odpowiedzieć kiedy warto zastosować który
sposób, który z nich jest najszybszy lub najdokładniejszy.
W tym rozdziale zaprezentujemy kilka przykładów problemów oraz wybrane sposoby ich
rozwiązania. Oczywiście programy rozwiązujące te zagadnienia można znaleźć w gotowych
bibliotekach i pakietach oprogramowania. Tutaj raczej skupimy się nie na wyniku, ale na sposobie
jego otrzymania.
Precyzja obliczeń
Rozwinięcie dziesiętne ułamka
Zastanówmy się nad sposobem liczenia rozwinięcia dziesiętnego ułamka, na przykład 1/7. Gdy
użyjemy do tego celu operatora dzielenia np. w Pythonie, otrzymamy wynik podobny do
przedstawionego poniżej:
>>> 1./7.
0.14285714285714285
Sprawa wydaje się prosta, widzimy, że mamy do czynienia z ułamkiem dziesiętnym okresowym
0,(142857). Ale jeśli przyjdzie nam policzyć:
>>> 1./113.
0.0088495575221238937
to nie wiemy, czy widzimy cały okres ułamka, czy nie. Co możemy w tej sytuacji zrobić? Znamy ze
szkoły algorytm dzielenia liczb, który pozwala policzyć dowolnie wiele cyfr rozwinięcia dziesiętnego.
Jest to właśnie metoda numeryczna, której używamy nawet bez komputera. Musimy tylko zapisać ten
algorytm (w uproszczonej wersji przedstawiony poniżej) w postaci programu komputerowego.
1.
2.
3.
4.
policz c = a // b;
zapisz c jako kolejną cyfrę wyniku;
jeśli a < b to niech a = a * 10; w przeciwnym razie niech a = a % b * 10;
jeśli nie zebraliśmy pożądanej ilości cyfr to idź do punktu 1.
Co się stanie, gdy w którymś momencie a będzie równe zero?
Zadania
Zadanie
Napisz program znajdujący zadaną (np. 100) liczbę cyfr rozwinięcia dziesiętnego ułamka. Znajdź
okres rozwinięcia dziesiętnego ułamka 1/1245.
Zadanie: liczenie ludolfiny
Oblicz wartość π (czyli tytułową ludolfinę) korzystając ze wzorów
[Error parsing LaTeX formula. Error 2: ]
oraz
[Error parsing LaTeX formula. Error 2: ]
z dokładnością ε = 10−20. Jak ocenić ile wyrazów ciągu należy policzyć, aby uzyskać zadaną
dokładność?
Porównaj swój wynik z rozwinięciami ułamków:
,
,
.
Porównaj wynik z wartością z biblioteki cmath lub z tym wynikiem.
Zadanie: szybsze (ale i trudniejsze) liczenie ludolfiny
Oblicz wartość , korzystając ze wzoru z poprzedniego zadania i zależności:
[Error parsing LaTeX formula. Error 2: ]
z dokładnością ε = 10−20.
Uwaga: Tutaj w liczniku każdego wyrazu szeregu nie stoi już jedynka. Ponieważ liczymy funkcję od
argumentu ułamkowego, efektywnie zwiększa się za każdym razem wartość mianownika każdego
wyrazu.
Zadanie: sumowanie szeregu
Oblicz z dokładnością ε = 10−20 sumę szeregu
Zadanie: obliczanie wartości funkcji sinus
Oblicz z dokładnością ε = 10−20 wartość funkcji sin(0,5) korzystając z rozwinięcia w szereg:
Pewne zagadnienia algebry liniowej
Rozwiązywanie układu równań liniowych — metoda
eliminacji Gaussa
Metoda eliminacja Gaussa to ładna nazwa na odejmowanie liniowych równań parami, aż do
uzyskania formy w której z lewej strony mamy tylko jedną zmienną.
Rozważmy następujący układ równań, który chcemy rozwiązać:
Przepiszmy go w postaci macierzowej:
Metoda będzie polegała na odejmowaniu równań od siebie tak, aby uzyskać postać trójkątną.
Ponieważ odejmujemy jednocześnie obie strony równań, połączmy macierze w jedną, wygodną do
przekształceń. Mamy wtedy
Odejmujemy pierwszy wiersz od pozostałych, mnożąc elementy pierwszego wiersza tak, żeby w
pierwszej kolumnie otrzymać zero dla wszystkich następnych wierszy. Po takiej operacji układ
wygląda tak:
Zostawiamy pierwszy wiersz i przechodzimy do drugiego. Powtarzamy odejmowanie tak, aby w
drugiej kolumnie uzyskać same zera (poza drugim wierszem). Dla większych macierzy postępujemy
podobnie dla wszystkich kolejnych wierszy. Otrzymujemy:
Numeryczna stabilność algorytmu
Numeryczna stabilność algorytmu (odporność na błędy w wyniku w momencie występowania w
macierzy jednocześnie małych i dużych liczb), poprawia się, jeśli do naszego algorytmu dołożymy
zamianę wierszy. Jako wiersz do zamiany z -tym wierszem wybieramy wiersz lub wiersz leżący
poniżej o największym elemencie w -tej kolumnie.
Cały algorytm wygląda więc tak (niech
będzie liczbą równań)
Algorytm (dla indeksów liczonych od zera)
for = 0, 1, …, N−1:
1. biorąc pod uwagę wiersze , …, N−1 znajdź numer
w kolumnie
2. zamień wiersze i
,
3. podziel nowy wiersz przez
,
*
4. odejmij nowy wiersz od wierszy i+1, …, N−1.
wiersza o największym współczynniku
*
Wiersz do odjęcia powinien zostać przemnożony przez element
z kolumny każdego z tych wierszy, tak by
wyzerować ten element
. Zwróć uwagę na to, że
zmienia się w trakcie odejmowania, i wartość mnożnika trzeba
zachować w zmiennej tymczasowej.
Po przekształceniu otrzymanej macierzy do postaci trójkątnej (dzieląc każdy wiersz przez element na
przekątnej) w macierzy występują:
1. zera poniżej przekątnej;
2. jedynki na przekątnej;
3. rozmaite wartości w górnym trójkącie.
Aby uzyskać rozwiązanie oryginalnego układu równań należy wyzerować górny trójkąt macierzy.
Zaczynamy od ostatniego wiersza (który ma już pożądaną formę) i odejmujemy go od pozostałych
mnożąc tak, aby przy odejmowaniu wyzerował się element w ostatniej kolumnie każdego wiersza
powyżej ostatniego. Powtarzamy tę operację dla wszystkich wierszy aż do pierwszego.
Algorytm
for = N−1, …, 0:
for
= N−1, …, i+1:
1. odejmij wiersz i+1 od wiersza , tak by wyzerować element
Proszę zwrócić uwagę, że w trakcie powyższego przekształcenia, przez cały czas, wiersze o
numerach większych od mają tylko jeden element niezerowy wsród elementów leżących w
kolumnach 0, …, N−1.
Wracając do powyższego przykładu
I w końcu
Czyli mamy rozwiązanie układu:
Zadanie
Napisz funkcję rozwiązującą układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa z zamianą wierszy.
Znajdowanie macierzy odwrotnej
Powyższy algorytm można też wykorzystać do tego, by znaleźć macierz odwrotną. Z prawej strony
macierzy „połączonej” należy wstawić macierz jednostkową
a następnie dokonywać przekształcenia w identyczny sposób jak powyżej. W momencie kiedy z lewej
strony uzyskuje się macierz jednostkową, to z prawej strony uzyskuje się macierz odwrotną.
Zadanie
Napisz funkcję znajdującą macierz odwrotną.
Znajdowanie miejsc zerowych funkcji
W rozdziale tym zapoznamy się z prostymi algorytmami znajdowania miejsc zerowych funkcji
ciągłych lub rozwiązania równań z jedną niewiadomą czyli znajdowania jego pierwiastków. Obie te
operacje są sobie równoważne, gdyż znalezienie miejsca zerowego funkcji f(x) odpowiada
rozwiązaniu równania f(x) = 0. Metody opisane poniżej są szczególnie istotne w przypadku funkcji
nieliniowych, gdy znalezienie pierwiastków równania metodami analitycznymi jest poważnie
utrudnione.
Metoda bisekcji (równego podziału)
Szukamy pierwiastków funkcji w zadanym obszarze. Korzystamy z twierdzenia:
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła i ma na końcach przedziału domkniętego wartości różnych znaków, to
wewnątrz tego przedziału istnieje co najmniej jeden pierwiastek równania
Cauchy'ego).
(tw. Bolzano-
Rozważmy naszą funkcję ciągłą f. Stwierdzenie „co najmniej jeden pierwiastek” oznacza, że
wybierając przedział [a;b], w którym będziemy poszukiwać pierwiastka, musimy się upewnić, że jest
on tam tylko jeden. Jeśli tego nie zrobimy, nie będziemy wiedzieli, do którego z pierwiastków
procedura będzie zdążać, jeśli w ogóle algorytm będzie w tym przypadku zbieżny. Zauważmy, że
warunek ten odpowiada warunkowi stałości znaku pierwszej pochodnej w zadanym przedziale.
Procedura bisekcji jest iteracyjna i polega na znalezieniu środka xs przedziału
oraz sprawdzeniu,
czy pierwiastek znajduje się w lewej czy w prawej połowie tego przedziału. Następnie wybieramy
nowy przedział biorąc za jeden z końców znaleziony właśnie środek xs, a za drugi taki z końców a lub
b oryginalnego przedziału, aby funkcja miała na nowych końcach wartości przeciwnych znaków.
Procedurę kończymy po osiągnięciu zadanej dokładności, gdy wartość funkcji w znalezionym punkcie
lub różnica pomiędzy dwoma końcami przedziału nie przekracza .
Zadanie
Napisz program rozwiązujący zadane równanie metodą bisekcji. Znajdź rozwiązania równań:
cos(x) = tg(x) dla x ∈ [0, π/2);
sin(x) = ln(x) − 1;
x7 − 3x5 − 2x + 8 = 0 dla x ∈ [−2, −1], x ∈ [1, 2] oraz dla x ∈ [35, 40];
z dokładnością 10−5. Czy w każdym z zastosowanych przedziałów spełnione są założenia metody?
Metoda Newtona
Metoda ta również jest iteracyjna, i, podobnie jak poprzednio, wymaga znalezienia przedziału, dla
którego funkcja ma na jego końcach różne wartości oraz stałą pierwszą pochodną wewnątrz
przedziału. Dodatkowo wymagamy stałości drugiej pochodnej, czyli funkcja nie może mieć w tym
przedziale punktu przegięcia.
Stosując metodę Newtona powinniśmy znać również pochodną naszej funkcji. Wybieramy punkt
startowy na brzegu przedziału i wyznaczamy współrzędne prostej stycznej do naszej funkcji w tym
punkcie. Punkt przecięcia tej stycznej z osią OX jest naszym przybliżonym rozwiązaniem. Jeśli
wartość funkcji w tym punkcie nie jest dostatecznie bliska zera (<ε), to punkt ten wybieramy jako
nowy punkt startowy i powtarzamy obliczenia.
Zadanie
Napisz program rozwiązujący zadane równanie metodą Newtona. Rozwiąż te same równania metodą
Newtona i metodą bisekcji. Porównaj liczbę zastosowanych iteracji dla zadanej dokładności.
Pierwiastkowanie metodą Isaaca Newtona
Można pokazać, że kolejne iteracje w metodzie Newtona mogą być opisane wzorem
Jeżeli rozwiązujemy równanie
, to naszą funkcją jest
i otrzymujemy
Czyli metodą tą możemy wyliczyć pierwiastek danej liczby a stopnia k. Uwaga: słowo „pierwiastek”
ma tu inne znaczenie niż w poprzednim rozdziale. Teraz to liczba pierwiastkowana,
to wartość
„poprzednia” pierwiastka, a xn+1 to wartość „ulepszona”.
W szczególności, dla
,
Zadanie
Korzystając ze wzoru %i 9 napisz funkcję liczącą
.
Zadanie
Korzystając ze wzoru %i 8 napisz funkcję liczącą
.
Interpolacja
Interpolacja wielomianowa
W praktyce doświadczalnej często zachodzi potrzeba analizy wyników zebranych podczas
eksperymentu. Podstawowym krokiem analizy jest zbadanie, jaka zależność opisuje nasze wyniki, czy
pasują one do przyjętej hipotezy. W tym celu niezwykle użyteczne jest sporządzenie wykresu i próba
dopasowania zakładanej zależności funkcyjnej do posiadanych danych. W najprostszym przypadku
poszukujemy zależności liniowej, czyli poszukujemy takiej prostej, która najlepiej opisuje nasze
wyniki. Oczywiście możemy dopasowywać nie tylko prostą, ale praktycznie każdą funkcję opisaną
zestawem modyfikowalnych parametrów.
Próba opisu zależności funkcyjnej danych, gdy znane są wartości tylko w niektórych punktach nosi
nazwę:
interpolacji, gdy staramy się oszacować wartości funkcji pomiędzy posiadanymi punktami;
ekstrapolacji, gdy staramy się oszacować wartości funkcji na zewnątrz obszaru obejmowanego
przez posiadane przez nas punkty.
Wyobraźmy sobie, że nasze wyniki rzeczywiście są od siebie zależne liniowo i powinny układać się na
wykresie na prostej. Ponieważ jednak są one obarczone błędami pomiarowymi, w rzeczywistości ich
położenia są rozrzucone wokół położeń teoretycznych. Na rysunku widzimy punkty doświadczalne
(czarne), teoretyczną prostą, na której ich oczekiwaliśmy (niebieska) i różnice w położeniu
(czerwone).
Różnicę odległości i-tego punktu doświadczalnego (xi, yi) od punktu (xi, ỹi) leżącego na prostej y = A
+ B x możemy więc zapisać jako |yi − (A + B xi)| — to jest długość czerwonej kreski na wykresie.
Jeżeli potraktujemy sumę tych różnic ei jako błąd doświadczalny e, możemy spróbować policzyć, dla
jakich wartości parametrów prostej A i B błąd ten jest najmniejszy. Taką prostą będziemy traktować
jako najlepiej opisującą nasze punkty doświadczalne.
Mamy więc błąd doświadczalny w postaci:
Aby znaleźć minimum tej funkcji (od A i B) należy policzyć pochodne po obu parametrach i
przyrównać je do zera. Ponieważ funkcja wartości bezwzględnej nie ma w zerze pochodnej,
korzystamy z trochę innego podejścia, minimalizując nie wartość bezwzględną, ale kwadrat sumy
błędów doświadczalnych:
Jako, że będziemy szukać minimum sumy kwadratów błędów, metoda nazywa się metodą
najmniejszych kwadratów. Zapiszmy jeszcze parametry prostej jako wektor
wprowadźmy jeszcze
,
oraz
oraz
.
Wtedy
i mamy (w zapisie wektorowym)
.
Ponieważ wynik (e2) jest skalarem, wszystkie elementy powyższej sumy też są skalarami i
transpozycja nie zmieni ich wartości. Stosując wzór na transpozycję iloczynu
powyższą uwagę do
oraz
dostajemy
.
Różniczkując to wyrażenie po
i przyrównując do zera dostajemy warunek
.
Dostajemy więc ostatecznie równanie
,
które jest układem równań liniowych i umiemy je rozwiązać (na przykład metodami przedstawionymi
w niniejszym rozdziale).
Uwaga: patrząc na to równanie można by powiedzieć, że możemy je sprowadzić do postaci
.
Taka postać, choć wydaje się prostsza, nie da się rozwiązać metodami przeznaczonymi dla układów
równań liniowych, gdyż macierz
nie jest w ogólności kwadratowa. Dopiero macierz
kwadratowa, i, jeśli jej wyznacznik jest różny od zera, układ ma rozwiązanie.
jest
Uwaga 2: w Matlabie jest do dyspozycji operator lewostronnego dzielenia macierzy, który można
wykorzystać do rozwiązania układu
. Jeśli skonstruujemy macierze
i , poleceniem a = X
\ y otrzymujemy rozwiązanie.
Łatwo się przekonać, że ten sam formalizm możemy zastosować do dopasowania (ang. fit)
wielomianów dowolnego stopnia. Całe zagadnienie będziemy rozwiązywać w analogiczny sposób,
dostając na końcu do rozwiązania identyczne równanie na wektor parametrów — współczynników
poszukiwanego wielomianu. Macierz
nazywa się macierzą Vandermonda:
dla wielomianu
.
Oczywiście możemy minimalizować sumę kwadratów błędów również dla innego typu (niż
wielomian) zakładanej teoretycznie funkcji, ale wtedy e = (y − ỹ) ≠ (y − Xa) i różniczkowanie
prowadzi do innych wzorów, za każdym razem trzeba je wyprowadzić osobno.
Rysunek poniżej przedstawia wynik dopasowania wielomianów stopni od 1 do 6 do fragmentu funkcji
logarytmicznej (na odcinku 0,5-4,5).
Zadanie
Napisz program, który dla danego zestawu punktów na płaszczyźnie:
1. skonstruuje macierz Vandermonda;
2. rozwiąże odpowiedni układ równań i znajdzie współczynniki wielomianu interpolacyjnego;
3. narysuje punkty i wielomian wynikowy.
Zadanie
Napisz program, który dla danego zestawu punktów na płaszczyźnie dopasuje i narysuje wielomian
interpolacyjny korzystając z funkcji polyfit i polyval modułu numpy.
Efekt Rungego
Patrząc na przykład dopasowania wielomianów z poprzedniego rozdziału możemy odnieść wrażenie,
że im wyższy stopień wielomianu użytego do dopasowania, tym dopasowanie stanie się lepsze
(chyba, że dane oryginalnie były zależne liniowo lub wielomianem niższego rzędu). W naszym
przykładzie z funkcją logarytmiczną tak rzeczywiście jest — wraz ze zwiększaniem stopnia
wielomianu, dopasowanie poprawia się.
Może więc należy zawsze stosować wielomiany wysokiego rzędu? Pomijając fakt sensowności
dopasowywania arbitralnie wybieranych funkcji do danych doświadczalnych, z czysto
matematycznego punktu widzenia taka procedura również w którymś momencie przestaje dawać
dobre wyniki.
Poniżej narysowane są wielomiany stopnia 1-9 dopasowane do zestawu dziesięciu punktów.
Widzimy, że z początku jakość dopasowania wzrasta. Niestety, zwiększając dalej stopień wielomianu
obserwujemy, że chociaż krzywa przechodzi coraz bliżej punktów, to jednocześnie oddala się coraz
bardziej od nich w obszarze poza granicami obejmowanymi przez nasze dane. W granicznym
przypadku wielomian 9 stopnia, posiadający 10 parametrów, dopasowaliśmy do 10 punktów,
wykorzystując wszystkie stopnie swobody do zmiany wartości tych parametrów. Wielomian ten
przechodzi dokładnie przez każdy z naszych punktów, ale pomiędzy nimi zdecydowanie nie
zachowuje się jak oczekiwana funkcja interpolująca. Zjawisko to jest w szczególności widoczne tym
bardziej im bliżej brzegów obszaru jesteśmy. Nazywamy je efektem Rungego (Carl Runge —
matematyk niemiecki).
Rysunek poniżej przedstawia wielomian stopnia 6 dopasowany do funkcji logarytmicznej. Ponieważ
zakres osi x został rozszerzony w stosunku do obrazka z poprzedniego rozdziału, tutaj też widzimy,
że poza obszarem dopasowywanych punktów funkcja nie spełnia naszych oczekiwań.
Zadanie
Napisz program rysujący wykres wielomianu stopnia n−1 dopasowanego do funkcji
obliczonej w n równo oddalonych punktach z przedziału [−5, 5]. Prześledź zachowanie się takich
wielomianów dla różnych wartości n.
Funkcje sklejane
Jak widzieliśmy, stosowanie wielomianów do przybliżania różnych skomplikowanych funkcji ma
swoje ograniczenia. Możliwe jest jednak inne podejście: rozpatrzmy dwa sąsiadujące punkty danych.
Przez każde dwa punkty możemy przeprowadzić prostą otrzymując linię łamaną przechodzącą przez
wszystkie nasze punkty. Taka łamana linia jest często stosowanym zgrubnym przybliżeniem
złożonych krzywych. Krok dalej stanowi dopasowanie wielomianów wyższego stopnia do kolejnych
sąsiednich punktów w taki sposób, aby wypadkowa funkcja przechodziła przez wszystkie punkty,
była ciągła oraz miała ciągłą pochodną (lub też ciągłe pochodne do stopnia n−1 w przypadku użycia
wielomianu stopnia n) w miejscach styku. W ogólności krzywą taką, powstałą z odcinków
wielomianów, nazywamy funkcją sklejaną (ang. spline).
Najbardziej popularne są funkcje sklejane stopnia 3 (ang. cubic splines). W tym przypadku do każdej
pary sąsiednich punktów danych dopasowujemy funkcję postaci ax3+bx2+cx+d. Dla wszystkich
dopasowywanych funkcji musimy spełnić warunek ciągłości samej funkcji, jej pierwszej i drugiej
(n=3, n−1=2) pochodnej. Przy n+1 punktach danych wyznaczamy n różnych funkcji (n przedziałów)
czyli 4n współczynników. Ze wszystkich warunków ciągłości na styku przedziałów dostaniemy
3(n−1) równań. Ponieważ mamy też wartości samej funkcji w n+1 punktach (zwanych węzłami, ang.
knots), w sumie mamy 4n−2 równań na 4n niewiadomych.
Pozostałe dwa równania musimy określić wybierając warunki brzegowe. Mamy tu kilka typowych
możliwości:
Możemy przyjąć, że druga pochodna naszej funkcji w punktach brzegowych jest równa zero
(dwa równania). Otrzymujemy w ten sposób tzw. naturalne funkcje sklejane (ang. natural
spline). Czasem nazywa się taki wybór dopasowaniem z końcami swobodnymi.
Możemy założyć, że funkcja jest okresowa, a nasz zestaw węzłów obejmuje jeden okres. Wtedy
zakładamy, że pierwsza i druga pochodna (dwa równania) są sobie równe na obu końcach
przedziału (czyli dla x1 i xn+1).
Możemy wybrać sobie wartości pierwszej pochodnej na obu końcach przedziału (dwa
równania). Wybór taki nazywa się dopasowaniem z końcami usztywnionymi. Funkcja poza
zakresem dopasowania ma postać linii prostych o zadanych nachyleniach.
Rysunki poniżej przedstawiają dopasowanie wielomianu stopnia 6 oraz funkcji sklejanej stopnia 3 do
funkcji logarytmicznej w zakresie 0,5-100 w kilkudziesięciu punktach. Funkcja sklejana „optycznie”
znacznie lepiej dopasowuje badaną krzywą, nawet w części ekstrapolacyjnej, poza zakresem
posiadanych punktów.
Zadanie
Napisz program dopasowujący i rysujący funkcję sklejaną stopnia 3 do danego zestawu punktów
stosując procedury splrep i splev z modułu scipy.interpolate.
Zadanie
Napisz program dopasowujący funkcję sklejaną stopnia 3 do zbioru punktów pomiarowych
opisujących położenie wahadła tłumionego w czasie, zmierzone z błędem (stosując procedury
splrep i splev z modułu scipy.interpolate).
Uwaga: czy funkcja sklejana przechodząca przez wszystkie punkty ze zbioru będzie dobrym
wyborem?
Czy możemy powiedzieć coś o parametrach tego wahadła na podstawie dopasowanej funkcji
sklejanej?
Równania różniczkowe i całkowanie
Równania ruchu
Na zajęciach z „Technologii informacyjnej” zetknęliśmy się już przez chwilę z zagadnieniem
rozwiązywania równania różniczkowego na przykładzie równań ruchu. W tym rozdziale powtórzymy
podobny przykład, który, mamy nadzieję, pomoże w zrozumieniu tego zagadnienia.
Gdy rozwiązujemy zwykłe równanie z niewiadomą wielkością, jako rozwiązanie otrzymujemy
poszukiwaną liczbę. Gdy rozwiązujemy równanie różniczkowe rozwiązaniem jest nie liczba ale
funkcja. Na przykład równanie y′ = x ma rozwiązanie w postaci funkcji y = x2/2. Taki zwięzły wynik
otrzymujemy, gdy umiemy rozwiązać nasze równanie w sposób analityczny, czyli gdy znamy
konkretną postać funkcji będącej rozwiązaniem. My jednak będziemy rozwiązywać równania
różniczkowe w sposób numeryczny nawet, gdy nie tylko nie znamy postaci funkcji-rozwiązania, ale
nawet nie musimy znać wzoru funkcji występującej w równaniu. To co właściwie wiemy o tych
funkcjach? Znamy ich wartości dla pewnego zakresu ich argumentów. Wynikiem też będzie zestaw
wartości funkcji-rozwiązania dla pewnego zakresu jej argumentów. Nie będziemy znać wzoru
opisującego rozwiązanie, ale będziemy mogli narysować jego wykres.
Poprzednio rozwiązywaliśmy równanie ruchu masy zawieszonej na sprężynie. Teraz rozwiążemy
równanie ruchu wahadła matematycznego, bez stosowania przybliżenia małych drgań. Wychodząc z
drugiej zasady dynamiki, po przekształceniach pozostaje nam do rozwiązania równanie na kąt α
(odchylenia wahadła od pionu):
Funkcje całkujące równania różniczkowe w SciPy radzą sobie tylko z równaniami i układami równań
pierwszego rzędu. Musimy zatem przepisać nasze równanie na układ równań pierwszego rzędu.
Można to zrobić wprowadzając dodatkową zmienną. Tą zmienną jest v = dα/dt (prędkość kątowa
wahadła). Teraz nasz układ wygląda tak:
Wprowadzając wektor zmiennych
dostajemy równanie postaci
czyli
# -*- coding: utf-8 -*from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import pylab as p
def prawa_strona_rownania(w, t, params):
''' Argumenty:
w: wektor stanu - u nas krotka (alfa, v)
t: czas
params: wektor parametrów - u nas krotka (omega_kwadrat,)
W wektorze f funkcja zwraca
obliczone dla danego wektora stanu
wartości prawej strony równania
'''
(alfa,v) = w
# dla czytelności równania wypakowuję zmienne z
wektora "w"
(omega_kwadrat,) = params # i podobnie z parametrami "params"
# poniżej do tablicy f w kolejnych wierszach wpisuję
# kolejne prawe strony równań stanowiących układ
f = [v,
# wartość pochodnej d(alfa)/dt
-omega_kwadrat*np.sin(alfa)] # wartość pochodnej dv/dt
return f
if __name__ == '__main__':
t = np.linspace(, 10, 101)
# punkty czasu, w których obserwujemy
wahadło
params = [2]
# wartość omega**2 (u nas wynosi 2)
w = [, 2.82]
# warunek początkowy (t=0) dla alfa i v
print "Wektor stanu w chwili początkowej: ",
print prawa_strona_rownania(w, t[], params)
wynik = odeint(prawa_strona_rownania, w, t, args=(params,) )
# argumentami odeint są:
# - nazwa funkcji,
# - wektor stanu początkowego,
# - wektor zawierający chwile czasu, dla których ma być zwrócony stan
układu
# - krotka zawierająca dodatkowe parametry, które mają być przekazane do
funkcji
#
opisującej prawe strony równań
alfa = wynik[:, ]
v = wynik[:, 1]
# wszystkie wiersze kolumny 0 - położenia
# wszystkie wiersze kolumny 1 - prędkości
p.plot(t,alfa, t,v)
p.legend(('$\\alpha$', 'v'))
p.grid(True)
p.show()
Funkcja odeint oczekuje przynajmniej trzech parametrów: funkcji obliczającej pochodną
poszukiwanej funkcji (albo pochodne poszukiwanych funkcji w przypadku układu równań), warunku
początkowego dla szukanych funkcji oraz sekwencji punktów czasu, w których będzie obliczone
rozwiązanie. W naszym przypadku będą to:
1. nazwa funkcji obliczającej pochodne — prawa_strona_rownania, zwraca wektor
, czyli
;
2. warunek początkowy — lista w = [0, 2.82], czyli [α(0), v(0)];
3. sekwencja punktów czasu — wektor t = np.linspace(0,10,101), czyli [0, 0,1, 0,2,... 9,9,
10].
U nas jest jeszcze czwarty parametr (nazwany, o nazwie args). Powinna być to krotka zawierająca
dodatkowe parametry, jakich może potrzebować funkcja obliczająca wartości pochodnych. My mamy
jeden taki dodatkowy parametr: ω2, która w naszym programie jest przechowywana w zmiennej
params. Tworzymy więc z niej krotkę jednoelementową i przekazujemy ją funkcji odeint jako
czwarty parametr. Zostanie ona użyta podczas liczenia prawej strony równań rozwiązywanego
układu, czyli w funkcji prawa_strona_rownania.
Uwaga: numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych jest szeroką dziedziną metod
obliczeniowych, obejmującą wiele szczegółowych zagadnień dotyczących warunków stosowalności
wybranych rozwiązań, uzyskiwanej dokładności czy szybkości algorytmu. O istotności wyboru kroku
czasowego na dokładność wyniku mówiliśmy już w kusie „Technologii informacyjnej” (rozdział
„Matplotlib”, przykład o ruchu jednostajnie przyspieszonym). W niniejszym rozdziale zdajemy się
całkowicie na obliczeniową procedurę biblioteczną, skupiając się na praktycznym jej zastosowaniu.
Zadanie
Uruchom powyższy program i narysuj wykresy rozwiązania: prędkości i położenia (kąta) wahadła od
czasu. Zaobserwuj, co dzieje się z prędkością i kątem dla różnych wartości prędkości początkowej
wahadła. Zinterpretuj otrzymane wyniki.
Jaką różnicę obserwujemy w stosunku do rozwiązania w przybliżeniu małych drgań?
Zadanie
Dodaj do ruchu wahadła tłumienie w postaci siły oporu zależnej od prędkości ze współczynnikiem β
= 0,3. Rozwiąż równanie ruchu i zaobserwuj zachowanie się wahadła dla różnych wartości prędkości
początkowej.
Zauważ, że dla większych prędkości początkowych po pewnym czasie kąt ustala się na
wielokrotności 2π. Co to oznacza?
Zmień wartość tłumienia i zaobserwuj zmiany w zachowaniu wahadła.
Zadanie
Bazując na powyższym przykładzie znajdź zależność od czasu położenia i prędkości piłki o masie m =
300 g spadającej swobodnie w ziemskim polu grawitacyjnym (g = 9,81 m/s2).
Porównaj swoje rozwiązanie z rozwiązaniem analitycznym tego problemu.
Dodaj siłę oporu zależną od prędkości i zaobserwuj zmiany w rozwiązaniu.
Zadanie
Dwie małe jednakowe kulki o masach m = 900 g, naładowane jednakowymi ładunkami elektrycznymi
Q = 10−13 C, znajdują się w odległości d = 1 cm od siebie. W chwili początkowej kulki spoczywają.
Znajdź zależność od czasu położenia i prędkości jednej z kulek dla t ∈ [0, 1] s.
Przyjmij
.
Całkowanie funkcji metodą trapezów
Metoda trapezów jest prostą techniką liczenia całek oznaczonych funkcji o znanej postaci
analitycznej lub numerycznej. Ponieważ wartość całki oznaczonej odpowiada polu figury zawartej
między osią OX a wykresem funkcji, spróbujmy to pole w przybliżeniu policzyć. Przybliżenie polegać
będzie na zastąpieniu oryginalnej funkcji funkcją sklejaną pierwszego stopnia.
Wybieramy więc zestaw n+1 punktów i liczymy dla nich wartości funkcji. W przypadku funkcji
zadanej numerycznie, użyjemy po prostu posiadanych wartości. Łączymy sąsiednie wartości funkcji
prostymi. Pole pod taką funkcją jest sumą pól w każdym przedziale między kolejnymi parami
punktów, zaś pole w każdym z przedziałów to pole odpowiedniego trapezu. Można pokazać, że gdy
odległości między punktami zbiegają do zera, pole „całki trapezowej” zbiega do prawdziwej wartości
całki oznaczonej danej funkcji ciągłej.
W przypadku funkcji zadanej numerycznie nie możemy po prostu zagęścić siatki punktów, aby
polepszyć oszacowanie całki, gdyż nie znamy wartości funkcji pomiędzy posiadanymi punktami.
Możemy wtedy interpolować funkcję w obszarze pomiędzy posiadanymi wartościami stosując np.
interpolację wielomianową lub funkcjami sklejanymi. Taką sztucznie „zagęszczoną” siatkę punktów
wykorzystujemy do polepszenia oszacowania wartości naszej całki.
Zadanie
Napisz program obliczający całkę oznaczoną metodą trapezów dla danego zestawu punktów
doświadczalnych.
Zadanie
Napisz program obliczający pole pod zadaną funkcją metodą trapezów. Policz całkę dla wybranej
funkcji analitycznej i porównaj wynik z wynikiem otrzymanym za pomocą własnego programu.
Zadanie
Napisz program obliczający całkę oznaczoną metodą trapezów dla danego zestawu punktów
doświadczalnych, do których dopasowano
wielomian;
funkcję sklejaną.
Policz całkę dla wybranej funkcji analitycznej i porównaj wynik z wynikiem otrzymanym za pomocą
własnego programu.