Przykładowe zadania na egzamin

Zadanie 1
Rozwiąż metodą graficzną następujące zagadnienie
x1 + 1.5x2 = z
→
min
6x1 + x2
x1 + 4x2
≥
≥
18
12
2x1 + x2
x1 , x2
≥
≥
10
0
Zbuduj zagadnienie dualne i podaj optymalną wartość jego funkcji celu (nie rozwiązuj zagadnienia dualnego).
Zadanie 2
Rozwiąż metodą sympleks - użyj metody dwóch faz (M-metody) - podane zagadnienie liniowe:
= z → min
5x1 + 6x2
x1 + x2
x1
= 1000
≤ 300
x2
x1 , x2
≥ 150
≥ 0.
Zadanie 3
Dla podanej tablicy zagadnienia transportowego:
10
2
1
3
20
10
20
5
5
8
7
4
9
30
10
6
10
6
4
3
9
4
8
wyznacz rozwiązanie optymalne rozpoczynając algorytm potencjałów od następującego rozwiązania bazowego: x13 = 4, x14 = 5, x22 = 4, x31 = 3, x32 =
1, x34 = 1, x35 = 3 (od bazowego rozwiązania otrzymanego metodą kąta północnozachodniego, minimum z macierzy lub metodą Vogela). Jeśli są inne rozwiązania
optymalne to je wyznacz.
Zadanie 4
Rozwiąż algorytmem węgierskim następujące zagadnienie optymalnego przydziału
3 9 2 3 7
6 1 5 6 6
(funkcja celu min lub max): 9 4 7 10 3 Sformułuj liniowy model tego
2 5 4 2 1
9 6 2 4 6
zagadnienia.
1
Zadanie 5
Do rozwiązania podanego zagadnienia:
2x1 + x2
3x1 + x2
3x1 + 4x2
x1 , x2
= z → max
≤ 7
≤ 12
≥ 0, całkowite,
użyj metody oszacowań i podziału (lub metody Gomoryego - tylko jedno odciȩcie).
Wygeneruj tylko trzy węzły drzewa przeglądu tj. węzeł początkowy (rodzic) i węzły
(dzieci), na które rozbija się ten węzeł. Do otrzymania rozwiązania optymalnego
relaksacji dla węzła początkowego użyj metody graficznej lub sympleks. Nie rozwiązuj relaksacji dla węzłów dzieci. Opisz krótko jak powinno się dalej realizować
tę metodę.
Zadanie 3
Zastosuj metodę oszacowań i podziału do następującego zagadnienia plecakowego:
5x1 + 3x2 + 6x3 + 6x4 + 2x5
= z → max
5x1 + 4x2 + 7x3 + 6x4 + 2x5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5
≤ 15
∈ {0, 1}.
Obliczeń dokonaj tylko dla trzech węzłów (węzła początkowego i węzłów dzieci)
drzewa przeszukiwań (podaj to drzewo).
Zadanie 6
Zastosuj algorytm oszacowań i podziału do rozwiązania zagadnienia komiwojażera o
M 2
8
5
4
2 M 2
4
2
2 M 6
2
następującej macierzy odległości (M oznacza brak połączenia): 3
5
4
6 M 4
4
2
2
4 M
Podaj tylko trzy początkowe węzły drzewa.
Zadanie 7
Wyznacz minimalne (maksymalne) drzewo rozpinające dla podanej sieci - użyj algorytmu Kruskalla (Prima):
2
Zadanie 8
W podanej sieci liczby w nawiasach okrągłych są wartościami przepływu od węzła
s do węzła t (liczba przed nawiasem jest przepustowością łuku):
1. Czy jest to przepływ maksymalny? Jeśli nie to wykorzystując ten przepływ
wyznacz (stosując odpowiedni algorytm) maksymalny przepływ.
2. Zanacz łuki tworzące minimalny przekrój rozdzielający źródło (węzeł s) od
ujścia (węzeł t).
3. Sformułuj liniowy model maksymalnego przepływu dla tej sieci.
Zadanie 9
W podanej sieci wyznacz metodą Dijkstry najkrótszą drogę od węzła 1 do węzła 8:
"
!
!
"
#
"
Zapisz model liniowy wyznaczania najkrótszej drogi od 1 do 8 w tej sieci.
Zadanie 10
Wykonaj obliczenia metodą CPM dla projektu podanego w tabeli (możesz użyć
dowolnej reprezetacji projektu):
3
Czynność
A
B
C
D
E
F
G
H
Bezpośrednie
poprzedniki
A,B
A,B
C,D
D
F
E,G
Czas
wykonania
5
3
6
7
9
3
4
6
ES
EF
LS
LF
Całkowity
zapas czasu
gdzie
• ES - najwcześniejsze rozpoczęcie czynności,
• EF - najwcześniejsze zakończenie czynności,
• LS - najpóźniejsze rozpoczęcie czynności,
• LF - najpóźniejsze zakończenie czynności.
1. Wykonaj rysunek sieci i uzupełnij tabelkę.
2. Podaj drogę krytyczną i termin ukończenia projektu.
Zadanie 11
Firma posiada pewien teren, gdzie może znajdować się ropa. Geolodzy oceniają
prawdopodobieństwo wystąpienia tam złóż ropy na 14 . Firma może odsprzedać
ten teren za 90000zł. Może podjąć się wierceń w poszukiwaniu ropy, których
koszt wyniesie 100000zł. Jeśli wiercenia natrafią na ropę, to zyski firmy szacuje
się na 800000zł. Natomiast w przypadku, gdy nie znajdzie się ropy firma ponosi
straty odpowiadające kosztom wiercenia. Skonstruuj tablicę decyzyjną dla tego
problemu. Wyznacz strategię optymalną. Podaj wartość oczekiwaną zysku przy
pewnej(doskonełej prognozy) informacji i wartość oczekiwaną pewnej informacji.
4