Rozwiązania zestawu 6

Liga Zadaniowa Wytrzymałości Materiałów
Edycja III, Zestaw 06 – rozwiązanie
Zadanie 6.01
a) Rozwiązanie dla układu kratowego
Siły normalne w elementach kratowych:
Energia potencjalna odkształcenia sprężystego:
E pN =
1 N2
1 Si 2li
ds
=
∑ =
2 ∫L EA
2 i EAi
=
2
2
2
2
2
2
P2a   5 
 5
1
1
1
 1 
2
2
⋅
−
⋅
5
+
−
⋅
5
+
1
⋅
4
+
⋅
4
+
2
⋅
⋅
3
+
⋅
3
+
−
 



 
 
 

 ⋅ 3 = .
2 EA   12 
 6
3
2
4
 4  
=
415 P 2 a
72 EA
Przemieszczenie δ :
δ=
∂E pN
∂P
=
415 Pa
Pa
≈ 11.528
.
36 EA
EA
b) Rozwiązanie dla układu ramowego
Reakcje dla zadanego obciążenia P :
Wykres momentów zginających dla układu:
Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechniki Gdańskiej
Katedra Wytrzymałości Materiałów
1
Liga Zadaniowa Wytrzymałości Materiałów
Edycja III, Zestaw 06 – rozwiązanie
Energia potencjalna odkształcenia sprężystego:
2 3
1 M2
1  1 PL PL
1
 2P L
4⋅ ⋅
E = ∫
ds =
⋅
⋅ L + 3 ⋅ ⋅ PL ⋅ PL ⋅ L  =
.
2 L EI
2 EI  3 2 2
3
 3 EI
M
p
Przemieszczenie δ :
δ=
∂E pM
∂P
=
4 PL3
.
3 EI
Wyprowadzenie wzoru całkowego
Zapisanie wzorów funkcji liniowych:
F1 =
a
x
l
F2 =
b
x.
l
Wyznaczenie całki:
l
l
l
l
a b
ab 2
ab x3
ab l 3 1
∫0 F1F2 dx = ∫0 l x ⋅ l xdx = l 2 ∫0 x dx = l 2 ⋅ 3 = l 2 ⋅ 3 = 3 abl .
0
Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechniki Gdańskiej
Katedra Wytrzymałości Materiałów
2
Liga Zadaniowa Wytrzymałości Materiałów
Edycja III, Zestaw 06 – rozwiązanie
Zadanie 6.02
Wyznaczenie sił w prętach (reakcji w układzie):
Wykres momentów w belce:
Moment ekstremalny w belce:
M extr = 9 P [kNm] .
Ekstremalna siła normalna w pręcie kratowym:
Sextr = 5P [kN] .
Oś obojętna przekroju belki w stanie granicznym (z równości pól – ściskanego i rozciąganego):
Plastyczny wskaźnik wytrzymałości przekroju belki:
W pl = 18 ⋅ 6 ⋅ 9 + 6 ⋅ 6 ⋅ 3 + 6 ⋅ 24 ⋅12 = 2808 cm3 .
Graniczny moment zginający:
M gr = Wpl R bpl = 2808 ⋅10 = 28080 kNcm = 280.80 kNm .
Warunek nośności granicznej dla belki:
M extr ≤ M gr
9 P ≤ 280.80 kNm .
PgrM = 31.20 kN
Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechniki Gdańskiej
Katedra Wytrzymałości Materiałów
3
Liga Zadaniowa Wytrzymałości Materiałów
Edycja III, Zestaw 06 – rozwiązanie
Pole przekroju pręta kratowego:
A = π ⋅ ( 2.52 − 2.2 2 ) = 4.43 cm 2 .
Graniczna siła normalna:
N gr = ARbpl = 4.43 ⋅ 28 = 124.04 kN .
Warunek nośności granicznej dla pręta kratowego:
Sextr ≤ N gr
5P ≤ 124.04 kN .
PgrN = 24.81 kN
Decydująca jest wartość mniejsza, stąd:
Pgr = PgrN = 24.81 kN .
Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechniki Gdańskiej
Katedra Wytrzymałości Materiałów
4