Wyznaczanie macierzy przestrzeni stanów - gryf

Zadanie 1:
Wyznaczyć macierze przestrzeni stanów dla podanego poniŜej schematu połączeń.
Rozwiązanie:
[U ] = [Z ]* [i ]
1

+
R
1
U

 
sc
0  = 
1
   −
 sc
1

 R1 + sc
det Z = 
1
 −
 sc

  i1 
1  
R2 + sL +  i2 
sc 
−
1
sc
1

 
1 
1
1
sc
=  R1 +  R2 + sL +  − 2 2 =

1
sc 
sc  s c
R2 + + sL  
sc

R + R2 L
R + R2
1
1
L
= R1 R2 + sR1 L + 1
+ + 2 2− 2 2 = 1
+ sR1 L + + R1 + R2
sc
c s c
s c
sc
c
−
1
1


R
+
U U
1

sc
det i2 = 
=
1
 −
0  sc
 sc

i2 =
det i2
=
det Z
U R2 = i2 R2 =
U R2
U
=
U
L
 R + R2

sc 1
+ sR1 L + + R1 + R2 
c
 sc

=
U
s cLR2 + (L + cR1 R2 )s + R1 + R2
2
UR2
s cLR2 + (L + cR1 R2 )s + R1 + R2
2
R2
,
L + cR1 R2
R1 + R2
2
s +
s+
cLR1
cLR1
czyli:
β 0 = R2
α0 =
R1 + R2
cLR1
α1 =
L + cR1 R2
cLR1
MoŜna zapisać macierze:
R1 + R2 

0 − cLR 
1

A=
1 − L + cR1 R2 

cLR1 
R 
b =  2
0
c = [0
1]
d = [0]
R1 + R2 

 •  0 −
cLR1   x1   R2 
 x•1  = 
   +  u (t )
 x  1 − L + cR1 R2   x2   0 
 2 
cLR1 

y (t ) = [0
x 
1] 1  + 0u (t )
 x2 
2
Wnioski:
W powyŜszym przykładzie skorzystałem z prostszej metody obliczenia macierzy
przestrzeni stanów, jaką było przedstawienie schematu jako czwórnika i obliczenie dla
kolejnych oczek prawa Ohma. W ten sposób ominąłem trudne do przekształceń równania
róŜniczkowe. W powyŜszym przykładzie nie uwzględniłem oczka numer jeden, gdyŜ nie ma ono
wpływu na końcowy wynik, do którego dąŜyłem.
Wykonując poprawnie wszystkie obliczenia doszedłem do następujących równań
przestrzeni stanu, zgodnych ze wzorem ogólnym:
 •
x = Ax(t ) + bu (t )

 y = cx(t ) + du (t )
3