Zad 1. Wyznaczyć i zaznaczyć na płaszczyźnie dziedzinę
Transkrypt
Zad 1. Wyznaczyć i zaznaczyć na płaszczyźnie dziedzinę
Zad 1. Wyznaczyć i zaznaczyć na płaszczyźnie dziedzinę następujących funkcji: (a) f (x, y) = ln (−x − y) (b) f (x, y) = ctg (x − y) (c) f (x, y) = arccos(x + y) 2 +y 2 (d) f (x, y) = arctg xx2 −y 2 (e) f (x, y) = p x2 − y 2 Zad 2. Obliczyć granice iterowane i granice funkcji (o ile istnieją): 2 (a) lim(x,y)→(0,0) x2x+yy 2 π (b) lim(x,y)→(1,0) sin x2 +y 2 1 (c) lim(x,y)→(0,0) sin x2 +y2 1 (d) lim(x,y)→(0,0) x sin x2 +y 2 xy (e) lim(x,y)→(0,0) x−y x2 y 2 x2 y 2 +(x+y)2 2 +y 2 limx→+∞,y→+∞ xx4 +y 4 (f) lim(x,y)→(0,0) (g) (h) limx→1+ ,y→0+ logx (x + y) Zad 3. (wazniak, ćwiczenie 6.4) Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu następujących funkcji: (a) f (x, y, z) = xy 2 z 3 − y sin z √ (b) f (x, y, z) = x y − ez ln y (c) f (x, y, z) = x2xyz 2 +y√ (d) f (x, y, z) = xz+ y (e) f (x, y, z) = x+y x+z z (f) f (x, y, z) = x y z (g) f (x, y, z) = xy Zad 4. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu następujących funkcji: (a) f (x, y) = sin2 (2x + y) y (b) f (x, y) = exe (c) f (x, y) = ln(x2 + y) Zad 5. (EGZ 2011) Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = 2xy 2 + y ln y + x2 w punkcie (2, 1, 8). Wyznaczyć gradient tej funkcji w punkcie (2, 1). Zad 6. Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej w punkcie A = (1, 1, 1) do powierzchni danej równaniem (x2 + y 2 + z 2 )2 − x2 + y 2 − z 2 − 8 = 0 . Zad 7. Wykazać, że powierzchnie dane równaniami x + 2y − ln z + 4 = 0 oraz x2 − xy − 8x + z + 5 = 0 są styczne w punkcie A = (2, −3, 1). Wyznaczyć równanie ich wspólnej płaszczyzny stycznej w tym punkcie.