a) f(x)

Elementarne wiadomości o funkcjach liczbowych
zad.1. Wyznaczyć miejsca zerowe i narysować wykresy funkcji:
a) f (x) = 2x − 4,
b) f (x) = 4x + 1,
e) f (x) = x2 − 5x + 4,
c) f (x) = −3x + 6,
f ) f (x) = 2x2 + 4x + 2,
d) f (x) = −2x − 1,
g) f (x) = x2 − 2x + 4,
i) f (x) = −x2 − 4x + 4, j) f (x) = −2x2 + 4x − 3,
µ ¶x
1
Ãl) f (x) = 3 x ,
m) f (x) =
,
4
k) f (x) =
h) f (x) = −2x2 − x + 1,
2
,
x
l) f (x) =
−3
,
x
o) f (x) = log 1 x.
n) f (x) = log 3 x,
2
zad.2. Wyznaczyć dziedzinȩ funkcji:
2x + 5
,
3x − 4
a) f (x) =
√
e) f (x) =
b) f (x) =
4 − 5x,
f ) f (x) =
3x2
√
3
,
− 5x + 2
c) f (x) =
2x2 − 7x − 4,
7x + 1
,
+ 4x + 3
g) f (x) =
√
4
4x − 6
, j) f (x) = √
,
i) f (x) = √
x2 + 2x − 8
x2 + 2x − 3
d) f (x) =
2x2
√
2 + x − 6x2 ,
√
8x − 16,
2x − 5
h) f (x) = √
,
12 − 3x
k) f (x) = log3 (2x − 4), l) f (x) = log4 (x2 − 8x).
Granica funkcji
zad.1. Obliczyć granice funkcji:
a) lim (7x3 + 3x2 − 8x + 2) ,
x→+∞
5x4 + 6x3 − 4x2 + x − 3
,
x→+∞
4x4 + 3x2 + 2x + 5
b) lim (−3x4 + 5x2 + 3x − 1), c) lim
x→+∞
−2(x − 3)(x + 2)(1 − x)
(2x − 3)2 − (x + 2)2
5x2 + 7x − 4
, e) lim
,
f
)
lim
,
x→+∞ (2x − 5)(x + 7)(3 − 7x)
x→+∞
x→+∞ 3x3 − 8x + 9
4x − 1 − x2
d) lim
µ 2
¶3
x4 + 5x3 + 2x2 − 8x + 2
4x5 − 3x3 + 4x − 7
3x − 4x − 6
g) lim
,
, h) lim
, i) lim
x→+∞
x→+∞ −9x4 + 6x3 + 2x2 − 8x − 5
x→+∞
6x2 + 3x − 1
2x2 + 7x − 1
s
√
3x − 4
(3x + 2)(2x − 1)
2x2 + 3x − 5
j) lim
,
k) lim √
,
l) lim √
,
x→+∞
x→+∞
x→+∞ 3 8x3 + 2x − x + 6
(x + 4)(x + 5)
2x2 + x − 1
Ãl) lim
√
x→+∞
o) lim (
x→+∞
x2 + x −
√
√
x2 − x,
9x2 + 4x − 7 −
√
m) lim
x→+∞
9x2 + 2x − 4 ),
√
4x2 + 7x − 1 − 2x,
p) lim (
x→+∞
√
n) lim 3x −
x→+∞
16x2 − 3x + 2 −
√
√
9x2 + 6x − 15,
16x2 + 4x − 5 ).
zad.2. Obliczyć granice funkcji:
x2 − 6x + 8
,
x→2 x2 + x − 6
3
e) lim+
,
x→2 x − 2
a) lim
x2 − 3x − 10
x2 + 3x − 28
x3 − 27
,
c)
lim
,
d)
lim
,
x→−2 x2 + 3x + 2
x→4 x2 − 7x + 12
x→3 x2 + 2x − 15
x+3
3−x
−2
x+3
f ) lim−
,
g) lim−
,
h) lim 2
,
i) lim
.
x→−2 x − 4
x→5 x − 5
x→4 x − 4
x→1 x − 1
b) lim
SkÃladanie funkcji
zad.1. Utworzyć zÃlożenia g ◦ f oraz f ◦ g dla nastȩpuja̧cych par funkcji:
a) f (x) = 4x2 −5x+3, g(x) = 7x−2, b) f (x) = cos x, g(x) = 6x+1, c) f (x) = 3x2 +2x−4, g(x) = 4x .
zad.2. RozÃlożyć na funkcje elementarne nastȩpuja̧ce funkcje zÃlożone:
a) y = (2x2 + 3x − 4)7 , b) y =
√
1
, c) y = tg(5x − 4), d) y = 8x2 + 6x − 9, e) y = ctg3 x.
sin x
Pochodne funkcji
zad.1. Obliczyć pochodne funkcji:
a) f (x) = 6x,
f ) f (x) =
√
x,
b) f (x) = 3x2 ,
g) f (x) =
√
4
c) f (x) = −4x3 ,
√
h) f (x) = x 3 x,
x,
j) f (x) = −5x4 +2x3 −4x+1,
r) f (x) =
x
,
sin x
s) f (x) =
1
,
x
e) f (x) =
3
,
x2
i) f (x) = 7x2 − 3x + 2,
k) f (x) = (2x−3)(3x−4), l) f (x) = (4x5 −3x3 +2x−8)(2x2 +5x+4),
7x + 4
,
4x − 6
o) f (x) =
x2 − 4x
cos x
, p) f (x) = 5 ,
3
x + 2x
x
ex
,
tg x
u) f (x) =
2x2 − 3x + 8
.
x3 − 5x2 − 2x + 3
Ãl) f (x) = x4 ln x, m) f (x) = ex tgx, n) f (x) =
√
d) f (x) =
ctg x
,
ln x
t) f (x) =
zad.2. Obliczyć pochodne funkcji zÃlożonych:
√
a) f (x) = ln x,
b) f (x) = (3x2 + 5x − 2)6 ,
c) f (x) = sin 4x,
e) f (x) = cos2 x,
g) f (x) = e x ,
f ) f (x) = ln(2x3 − 5x + 7),
1
d) f (x) = e2x ,
√
h) f (x) = 4x2 − 3x + 6.
zad.3. Zbadać monotoniczność i ekstrema lokalne fukcji:
a) f (x) = x3 + 3x2 − 9x − 2,
b) f (x) = x3 − 3x2 + 3x + 8,
d) f (x) = x3 − 9x2 − 24x − 12,
1
e) f (x) = x3 + 12x2 + 36x − 50, f ) f (x) = x3 + x2 − 3x,
3
g) f (x) =
2x − 3
,
x+1
h) f (x) =
j) f (x) =
3x + 5
,
x−2
k) f (x) =
x2
,
x2 − 4
2x
,
+1
x2
c) f (x) = 2x3 − 3x2 − 72x + 4,
i) f (x) = x +
4
,
x−5
3
l) f (x) = x + .
x
zad.1. Obliczyć
zad.2. Obliczyć
zad.3. Obliczyć
zad.4. Obliczyć
Macierze, ukÃlady równań
·
¸
·
¸
1 −2 4
1
1 −1 2
T
A · 3B, gdzie A =
, B=
.
2
0 3 −1
−2
0 1
·
¸
1 −2 4
1
T
T
A · A oraz A · A, gdzie A =
.
2
0 3 −1
¯
¯
¯ 2
1 −1 −2 ¯¯
¯
¯ 3
2
0
1 ¯¯
wyznacznik ¯¯
.
1
3 ¯¯
¯ 4 −1
¯ 1
0
2 −3 ¯




−1 1
0
1
0 −1
1 .
1
0 ,
B= 2 3
A−1 · B dla A =  2
1 −1
3
0 1 −1
zad.5. Rozwia̧zać równania macierzowe:


 
1
0 −2
0 −1 −2
5 −4 ,
3  =  −1
a) X ·  2 −1
−6
1
2
4 −1
3
¸
·
¸ ·
¸
·
1 3
5 3
2 1
·X ·
=
.
c)
−1 1
2 2
1 1



1 −1 2
1 3 0
4 1  · X =  −1 2 4 ,
b)  3
4 7 1
2 −2 0


x



x
zad.6. Wyznaczyć w oparciu o wzory Cramera niewiadoma̧ y z ukÃladu
2x



2x
− 2y + z
+ y − z
− y + z
− 4y + 3z
+
+
−
−
zad.7. Rozwia̧zać metoda̧ eliminacji Gaussa ukÃlady równań:


2
2
 2x − 2y − z =
 4x − y − 3z =
x + y + 4z = −2 ,
x + y + 2z = −1 ,
a)
b)


3x + 3y + 2z =
4
3x − 2y − 5z = −3


2x + y − 3z + 4t = −2


 2x + y − z = 2

3x − 5y + z − t =
1
3x + 2y + 3z = 4 ,
c)
d)
,
5x
−
4y
−
2z
+
3t
=
−1



5x + 3y + 2z = 6

x − 6y + 4z − 5t =
3


2x
+
3y
+
11z
+
5t
=
2



 −4x + 3y − 2z + 3t = 5


x + y + 5z + 2t =
1
3x − 2y + z + 2t = 4
e)
,
f)
.
2x + y + 3z + 2t = −3
2x − y +
+ 7t = 13






x + y + 3z + 4t = −3
−x + y − z + 5t = 9
t
t
t
t
=
=
=
=
1
1
.
2
2