Wstęp do logiki i teorii mnogości Relacja równoważności i klasa
Transkrypt
Wstęp do logiki i teorii mnogości Relacja równoważności i klasa
Relacje równoważności Relacje równoważności Definicja relacji równoważności i klasy abstrakcji Zadania Relacja równoważności i klasa abstrakcji Wstęp do logiki i teorii mnogości dr Artur Woike Ćwiczenia Niech A będzie dowolnym zbiorem oraz niech S ⊆ A × A. Relację S nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy S jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią. Jeśli S ⊆ A × A jest relacją równoważności oraz a ∈ A jest dowolne, to klasą abstrakcji elementu a względem relacji S nazywamy zbiór [a]S zdefiniowany następująco: df [a]S = {x ∈ A; aSx} . Relacje równoważności Dla dowolnych a1 , a2 ∈ A mamy następującą własność: [a1 ]S = [a2 ]S ⇐⇒ a1 Sa2 . dr Artur Woike Relacje równoważności Wstęp do logiki i teorii mnogości Definicja relacji równoważności i klasy abstrakcji Zadania Zadania Zbadać czy relacja S jest relacją równoważności i wyznaczyć wszystkie klasy abstrakcji (jeżeli to możliwe): N × N ∧ ∀x,y ∈N xSy ⇐⇒ 3|(x + y ); S ⊆ Z × Z ∧ ∀x,y ∈Z xSy ⇐⇒ 5|(x − y ); S ⊆ N × N ∧ ∀x,y ∈N xSy ⇐⇒ 2|(x + y ); S ⊆ C × C ∧ ∀x,y ∈C xSy ⇐⇒ Im x = Im y ; S ⊆ R × R ∧ ∀x,y ∈R xSy ⇐⇒ ∃a∈R (x + iy )2 = ai ; S ⊆ (N \ {0}) × N \ {0}) ∧ ∀x,y ∈N\{0} xSy ⇐⇒ ∃t∈N xy = t 2 ; S ⊆ C × C ∧ ∀x,y ∈C xSy ⇐⇒ x + y ∈ R. 1) S ⊆ 2) 3) 4) 5) 6) 7) dr Artur Woike Wstęp do logiki i teorii mnogości dr Artur Woike Wstęp do logiki i teorii mnogości