Zadania z matematyki dyskretnej

Zadania z matematyki dyskretnej
dla studentów II roku informatyki
Zestaw 4
1. Wędrowiec, który wybrał się w podróż dookoła świata spotyka na swojej drodze bankierów i rozbójników.
Każdy napotkany bankier daje wędrowcowi jedną sztabkę złota, natomiast napotkany rozbójnik żąda za
uwolnienie wędrowca jednej sztabki złota okupu. Pokazać, że przy dowolnym rozmieszczeniu n + 1 bankierów i n rozbójników, wędrowiec może tak wybrać początek swojej podróży, że będzie mógł zapłacić okup
podczas każdego spotkania z rozbójnikiem. Ponadto, istnieje dokładnie jeden taki punkt (tzn. pierwszy
bankier), że jeśli wędrowiec rozpocznie podróż od tego punktu, to w każdym momencie swojej podróży
będzie miał co najmniej jedną sztabkę złota.
2. Załóżmy, że pojedynczym ruchem figury na szachownicy jest przesunięcie w prawo lub w górę o jedno
pole. Jaką długość ma najkrótsza droga prowadząca z lewego dolnego do prawego górnego pola szachownicy. Obliczyć ile jest takich dróg o najmniejszej długości. Ile będzie takich dróg, jeśli obowiązuje zakaz
wychodzenia powyżej przekątnej łączącej lewo dolne pole z prawym górnym polem.
3. Bilety do kina są w cenie 5 złotych. Spośród stu osób, które zamierzają zakupić bilet połowa dysponuje
monetą 5-cio złotową, a pozostali tylko banknotem 10-cio złotowym. Zakładamy, że w kasie kina nie ma
żadnych pieniędzy i wszyscy kupują po jednym bilecie. Ile jest sposobów ustawienia kolejki w taki sposób,
że żadna z osób nie będzie musiała czekać na wydanie reszty.
4. Iloma sposobami można wyliczyć wartość iloczynu n-czynników stosując wszystkie możliwe rozmieszczenia
nawiasów.
5. Jaka jest maksymalna liczba transpozycji wykonywanych podczas generowania następnej permutacji w
algorytmie ANTYLEX.
6. Pokazać, że średnia liczba kroków potrzebnych do wygenerowania każdego następnego podzbioru w algorytmie PODZBIORY2 jest ograniczona przez stałą niezależną od n.
7. Oszacować maksymalną wielkość pamięci wykorzystywanej przez algorytm generujący wszystkie podziały
zbioru.
8. Podać algorytm generujący permutacje zbioru n-elementowego jako złożenie k wybranych losowo transpozycji, dla n − 1 < k < 2n.
9. Wyznaczyć permutację zbioru liczb {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, której numer jest równy 671.
10. Wyznaczyć numer permutacji identycznościowej zbioru {0, 1, . . . , n − 1}.
11. Wyznaczyć permutację zbioru {0, 1, . . . , n − 1}, której numer jest równy 0.
12. Algorytm WARIACJE generuje ciąg wariacji z powtórzeniami o długości 6 utworzonych z elementów zbioru
{0, 1}. Wariacja [0,0,1,0,1,1] jest 40-tym wyrazem tego ciągu. Wyznaczyć cztery następne wyrazy tego
ciągu.
13. W magazynie znajduje się towar zapakowany w 10 skrzyniach o wagach odpowiednio
Waga skrzyni [kg]
Liczba skrzyń
500
3
550
3
600
3
650
2
700
2
750
3
Czy można przewieźć te skrzynie pięcioma samochodami dostawczymi o ładowności 2 t. Napisać odpowiedni program, który rozwiąże to zadanie dla dowolnych danych.
14. Dany jest zbiór liczb naturalnych:
A = {73, 329, 17, 241, 593, 289, 97, 81, 913, 649, 377, 521, 33, 409, 857}.
(a) Sprawdzić, czy istnieje podzbiór zbioru A taki, że suma liczb należących do tego podzbioru jest równa
2740.
(b) Wyznaczyć największą liczbę mniejszą od 3000, która jest sumą pewnych liczb należących do A.
(c) Napisać odpowiedni program, który rozwiąże te zadania dla dowolnych danych.