Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką

Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką.
Zestaw 5
1. Obliczyć następujące wyznaczniki:
241 40
sin α − cos α
,
,
(a) (b) 483 80
cos α sin α 1 + i −1 .
(c) 2i 1 + i
2. Obliczyć następujące wyznaczniki trzeciego stopnia:
√
1 2 3
x
1 ε ε2 y
x
+
y
2
3
1
x+y
x ,
(a) 2 1 3 ,
(b) y
.
(c) ε 1 ε , gdzie ε = − +i
2
2
3 1 2
x + y
ε ε2 1 x
y liczby
204, 255 oraz 527 dzielą się przez 17 uzasadnić, że
4
7 jest również podzielny przez 17.
5
1 0 3 0
2 1 0 3
.
4. Korzystając z rozwinięcia Laplace’a obliczyć wyznacznik 3
1
0
2
−1 2 1 4
5. Obliczyć następujące wyznaczniki:
a11 0
1 a a ... a x
0
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
a
0
a21 a22 0 . . . 0 a 2 a ... a −1 x 0 . . . 0
a1 (a) a31 a32 a33 . . . 0 , (b) a a 3 . . . a , (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0 0 . . . x an−1 an1 an2 an3 . . . ann a a a ... a 0
0 0 . . . −1 an 1
...
1
x1 + 1
.
.
.
x
+
1
n
2
2
...
xn + xn .
6. Obliczyć wyznacznik x1 + x1
n−1 . . . n−2 . . . n−1 . . . n−2 x
+ x1
. . . xn + x n 1
3. Wiedząc,
2
wyznacznik 5
2
że
0
2
5
7. Obliczyć następujące wyznaczniki za pomocą
nych:
2 1 0 ... 0 3 2
1 2 1 ... 0 1 3
(a) 0 1 2 . . . 0 ,
(b) 0 1
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
0 0 0 ... 2 0 0
zależności rekurencyj0
2
3
...
0
. . . 0 . . . 0 . . . 0 .
. . . . . .
... 3 8∗ . Wykazać, że jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n, B jest macierzą kwadratową stopnia m, natomiast C jest dowolną n × m-macierzą,
to
A C = A||B .
0 B
9∗ . Wykazać, że jeśli A, B, C, D są macierzami kwadratowymi stopnia n,
a ponadto C lub D jest macierzą nieosobliwą (tzn. taką, że jej wyznacznik
jest różny od zera) oraz CD = DC, to
A B = AD − BC .
C D