MATEMATYKA II 1. Równania i nierówności Zadanie 1.1

MATEMATYKA II
PAWEŁ ZAPAŁOWSKI
1. Równania i nierówności
Zadanie 1.1. Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g, gdzie
(1) f (x) = x2 − 1, g(x) = x1 ,
√
(2) f (x) = 3x + 4, g(x) = x.
Zadanie 1.2. Dla f (x) = 3x − 5 i g(x) = −8x znaleźć f (g(0)), g(f (2)), f (g(x)), g(f (x)), f (f (x)) i
g(g(x)).
Zadanie 1.3. Dla f (x) = x3 i g(x) = x + 1 znaleźć f (g(−2)), g(f (−2)), f (g(x)), g(f (x)), f (f (x)) i
g(g(x)).
Zadanie 1.4. Dla f (x) =
1
x+7
i g(x) =
−3
1−x
znaleźć f (g(x)) i g(f (x)).
Zadanie 1.5. Rozwiązać
(1) 2(x − 1) = 5,
(2) |5x − 2| = 1,
(3) x − 1 + 2x − 5 < 9,
(4) 3x − 5 < x + 9,
(5) |x − 2| < 2 − 3x,
(6) |x − 2| > |x + 1| − 1.
Zadanie 1.6. Dla f (x) = x2 naszkicować wykresy y = f (x), y = f (x − 2), y = 2 − f (x).
Zadanie 1.7. Naszkicować wykresy, znaleźć obraz, pierwiastki, punkt przecięcia z osią y, wierzchołek i
przedziały monotoniczności dla
(1) f (x) = (x − 3)(x + 1),
(2) f (x) = x(1 − x),
(3) f (x) = 1 − 2x2 − 3x.
Zadanie 1.8. Rozwiązać
(1) x2 − 5x + 4 = 0,
(2) 2x2 + 17x + 8 = 0,
(3) x2 − 6x + 9 = 0,
(4) x2 + x + 2 = 0,
(5) 1 − 2x2 − 3x = 0,
(6) x2 + 3x + 3 = −1,
(7) x2 + 1 = −x,
x−1
x+3
(8) 2x+1
x+3 − x2 −9 = 3−x −
(9) x2 − 5 = 1,
(10) x4 + 5x2 = 6,
(11) |x2 + x − 6| = 2.
4+x
3+x ,
Zadanie 1.9. Rozwiązać
(1) x + 5 > 4 − 3x,
(2) (x − 3)(x + 5) < 0,
(3) 4x2 ≤ 4x + 1,
(4) x2 − 6x + 9 ≥ 0,
(5) x2 + x + 2 < 0,
(6) x2 − 6x + 9 ≥ 0,
Date: 17 maja 2011.
1
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
x2 − 7x > 8,
x2 + 3 6 3x,
x−1
x+3
x−3 > x+5 ,
5x−3
2x+7 6 2,
x2 − 4x > 5,
|2x2 + 5x − 12| < 9,
|2x2 + x − 10| ≥ 4,
|x2 + 5x − 2| < x + 3,
|x2 + x + 1| ≥ 5 − x.
Zadanie 1.10. Naszkicować wykresy i znaleźć współrzędne wierzchołka
(1) f (x) = −(x − 3)(x + 2),
(2) f (x) = −3x2 + 4x − 1,
(3) f (x) = x2 − x − 2,
(4) f (x) = 12 x2 − x + 4.
Zadanie 1.11. Wykazać, że qx2 + 3x − 6 − 4q = 0 zawsze ma pierwiastki rzeczywiste, niezależnie od
wartości parametru q.
Zadanie 1.12. Wykazać, że jeśli x ∈ R i s =
4x2 +3
2x−1 ,
to s2 − 4s − 12 ≥ 0.
Zadanie 1.13. Wykazać, że y = x − 3 jest styczna do krzywej y = x2 − 5x + 6.
Zadanie 1.14. Wykazać, że y = x + 1 nie przecina krzywej y = −1 − 21 x2 .
Zadanie 1.15. Wykazać, że 3x + 2 jest czynnikiem 3x3 − x2 − 20x − 12.
Zadanie 1.16. Zapisać w postaci iloczynowej
(1) x3 − x2 − x − 1,
(2) 2x5 + 6x4 + 7x3 + 21x2 + 5x + 15,
(3) x4 − 7x2 − 18.
Zadanie 1.17. Znaleźć p i q, jeśli
(1) (x − 2) jest czynnikiem x3 − 3x2 − 10x + p,
(2) (x + 5) jest czynnikiem 3x4 + 15x3 − px2 − 9x + 5,
(3) (x + 3) i (x + 7) są czynnikami x4 + px3 + 30x2 + 11x + q.
Zadanie 1.18. Rozwiązać
(1) x3 − 6x2 + 5x + 12 = 0,
(2) x4 − 4x3 − 19x2 + 46x + 120 = 0,
(3) x(x − 2)3 (x + 1)2 (x − 3)(2x − 1) ≥ 0,
(4) x3 + 7x2 + 4x − 12 ≤ 0.
Zadanie 1.19. Znaleźć wielomian f wiedząc, że
(1) Γf jest parabolą oraz (−4, 0), (1, 0), (0, −4) ∈ Γf ,
(2) (−4, 0), (−1, 0), (3, 0), (0, −12) ∈ Γf i f jest stopnia 3.
5 −3
√
1
Zadanie 1.20. Uprościć p5 p11 , x5 x− 3 , 3y −2 7 4 16y, (a −) 2 a.
a
Zadanie 1.21. Obliczyć 81
− 41
2
3
, 27 ,
1
9 −2
4
.
Zadanie 1.22. Rozwiązać
(1) x−6 − 64 = 0,
√
5
(2) 7 6 x = x− 6 ,
3
4
(3) x
√ = 27,
(4) x 6 x.
Zadanie 1.23. Obliczyć
(1) log5 125, log 0.0001, log4 32, log3
√
(2) loga a3 , logb b, logx x1 .
1
27 ,
log64 4,
Zadanie 1.24. Uprościć
2
3
(1) loga 6 − 2 loga 2 + loga 8,
(2) 12 log 80 − 12 log 5,
(3) 3 loga (x + 2) − loga (3x2 − 12) + loga (x − 2).
Zadanie 1.25. Rozwiązać
(1) loga x2 + loga 12 = loga 32,
(2) log4 (3x − 1) − log4 (x − 1) = 1,
(3) 19x = 2, 52x+1 = 10,
(4) 2x−1 = 3x+1 , 61−x = 23x+1 ,
(5) log4 x + 5 logx 4 = 6,
x+1
= 3,
(6) log2 2x−3
(7) loga x2 + loga 12 = loga 32,
(8) log5 (x + 1) + log5 (x − 3) = 1,
(9) log7 (2x + 5) − log7 (x − 5) = log7 x2 ,
(10) log2 (log3 (4x + 1)) = 0,
2
1
(11) 5−log
x + 1+log x = 1,
(12) ln2 x3 − 10 ln x + 1 = 0,
(13) logx−2 (x2 − 3x − 2) = 2,
(14) 4x 5x+1 = 22x+1 ,
(15) 2 · 4x+1 = 2 + 43x ,
(16) 9x + 4 · 3x − 12 = 0,
(17) 2x+2 − 2x = 3,
(18) 276x−5 · 812x+3 = 310x+13 ,
(19) 32x − 8 · 3x = 9,
(20) 3x+1 + 9x = 108,
(21) (0, 25)2−x = 2256
x+3 .
Zadanie 1.26.
Naszkicować wykresy
(1) y = 3x , y = ( 21 )x , y = 5−x ,
(2) y = log2 x, y = log0.25 x, y = log x,
(3) y = 2x−1 + 2, y = −4−x , y = 2|x| − 4,
(4) y = | log5 x|, y = log(x − 2) + 4, y = log3 |x|3 .
Zadanie 1.27. Znaleźć
(1) k, p, jeśli (0, 5), (1, 7) ∈ Γf , gdzie f (x) = k · 2x + p.
(2) a, p, jeśli (−2, 0), (1, 1) ∈ Γf , gdzie f (x) = loga (x + p).
Zadanie 1.28. Znaleźć najmniejsze x ∈ N, jeśli
(1) 7x > 350,
(2) 8x > 28 .
Zadanie 1.29. Rozwiązać
(1) 21−x − ( 12 )3x−3 ≤ 0,
(2) log3 (2x − 1) < 2 log3 (x + 2) − 1,
(3) log0.2 (x + 1) > − log0.2 (2 − x),
(4) log0,1 (2x − 1) > 0,
x+3
− log2 5 > 0,
(5) log2 x−1
2
−2x
(6) log 12 log8 xx−3
6 0,
x+3
(7) logx x−1
> 1,
2
2−log x3
log
x+1
(8) 25
> 25
,
4
(9) 23x+5 − 4x−1 > 0,
−2x
1
(10) 3 x < 13
,
4 x 27 x−1
(11) 9
6 32 ,
8
x
(12) 7 + 49 > 8 · 7x ,
(13) (x2 − 6x + 9)x+3 < 1.
3
2. Rachunek różniczkowy
Zadanie 2.1. Obliczyć pochodne
(1) f (x) = −3x5 ,
(2) f (x) = x44 ,
√
(3) y = 6x3 − x1 + 4 3 x,
(4) y =
3x2 (x3 −3)
√
.
5 x
Zadanie 2.2. Obliczyć g 0 (6) dla g(x) =
4−x2
x .
Zadanie 2.3. Obliczyć gradient funkcji y =
2
4x√
−9
x
dla x = 16.
Zadanie 2.4. Znaleźć współrzędne punktu, w którym gradient równy jest 2 dla f (x) = 23 x3 − 92 x2 −3x+8.
Zadanie 2.5. Obliczyć pochodne
(1) f (x) = (3x − 4)2 ,
(2) f (x)√
= (7x − 2x2 )10 ,
(3) y = 3 6x − 5,
3
(4) p = (4−3k)
2.
Zadanie 2.6. Obliczyć pochodne
(1) f (x) = −e7x ,
6
(2) f (x) = e9x
2 ,
(3) y = ln 3x,
(4) f (x) = ln(2x2 + 4),
(5) y = 6 · 5x ,
(6) y = log2 x.
Zadanie
(1) y
(2) y
(3) y
(4) y
(5) y
2.7. Obliczyć pochodne
= (x − 1)10 (2x − 1)7 ,
= 4x log8 x,
= 4x2 ln(x2 + 2x − 5),
= x34 tg(3x + π2 ),
= e3x (x + 2)2 tg x.
Zadanie 2.8. Obliczyć pochodne
ex
(1) f (x) = cos
x,
(2) f (x) = tg7xx ,
(3) f (x) =
(4) f (x) =
(5) f (x) =
Zadanie
(1) y
(2) y
(3) y
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
log6 x
(x+6)2 ,
ex
ex −e−x ,
4(3x−2)5
(2x+3)2 .
2.9. Obliczyć pochodne
= 7x2 − 5 sin x + 2 ctg x,
= tg 6x,
= 3 sin 5x − √ 4 5 ,
(3x+4)
y = tg2 √
4x,
y = sin x + 1,
f (x) = cos(3x − π4 ),
y = e4x − sin 2x + ln x,
y = tg ln x,
y = x3 cos x,
y = ln x sin x,
y = 5x cos x,
y = e4x sec 3x,
ctg(2x− π )
f (x) = ln(3x+1)3 ,
f (x) = ln cos 2x.
4
Zadanie
(1) y
(2) y
(3) y
2.10. Znaleźć równanie stycznej i normalnej do
= x2 − 3x w punkcie x = 2,
= x42 w punkcie x = −1,
= x3 w punkcie x = 0.
Zadanie 2.11. Styczna w punkcie P = (1, 0) do krzywej y = x3 + x2 − 2 przecina tę krzywą także w
punkcie Q. Znaleźć współrzędne punktu Q.
Zadanie 2.12. Znaleźć równania stycznych do krzywej y = (2x + 1)(x − 1) w punktach, w których
krzywa przecina oś x. Znaleźć punkty przecięcia się tych stycznych.
Zadanie 2.13. Wyznaczyć punkty stacjonarne i ich rodzaj analizując znaki pochodnej
(1) f (x) = x3 − 12x + 7,
(2) f (x) = 5x4 ,
(3) f (x) = 4x + x1 .
Zadanie 2.14. Wyznaczyć punkty stacjonarne i ich rodzaj analizując znak drugiej pochodnej
(1) f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 5,
(2) f (x) = 3x5 ,
(3) f (x) = 16x − x12 .
Zadanie 2.15. Wyznaczyć asymptoty pionowe i ukośne dla funkcji
x
,
(1) f (x) = x−3
(2) f (x) =
(3) f (x) =
(4) f (x) =
−2x2 −7x−1
,
x−4
x3 −4x
,
x2 +1
x2 +6
x2 −1 .
Zadanie 2.16. Naszkicować wykres funkcji f uwzględniając asymptoty, punkty stacjonarne i punkty
przecięcia z osiami, jeśli
x−1
,
(1) f (x) = x(x+1)
(2) f (x) =
(3) f (x) =
(4) f (x) =
2x2
x+4 ,
x
x2 −1 ,
1
x2 −x−12 .
Zadanie 2.17. Naszkicować wykres funkcji
(1)
(2)
(3)
(4)
1
f (x) ,
jeśli
f (x) = 2x − 1,
f (x) = (x − 2)2 ,
f (x) = ln x,
f (x) = cos x.
Zadanie 2.18. Wyznaczyć współczynnik nachylenia stycznej do krzywej
√
(1) y = ln 1 − cos 2x w punkcie x = π4 ,
(2) 2x ln x − y ln y = 2e(1 − e) w punkcie (e, e2 ).
Zadanie 2.19. Abażur lampy biurkowej ma kształt walca z jednym końcem otwartym, a drugim zamkniętym. Znaleźć promień podstawy abażuru tak, aby ilość materiału zużytego do produkcji abażuru
była minimalna jeśli wiadomo, że objętość walca wynosi 1000 cm3 .
Zadanie 2.20. Otwarty pojemnik wykonano z czterech kawałków blachy. Dwa końce są trójkątami
równoramiennymi o długościach boków 13x, 13x i 24x. Dwa pozostałe kawałki tworzące pojemnik są
prostokątami o długości y i szerokości 13x. Do produkcji pojemnika zużyto 900 cm2 blachy.
2
.
(1) Wykazać, że y = 450−60x
13x
(2) Wyrazić objętość pojemnika w x.
(3) Znaleźć wartość x, dla której objętość V pojemnika ma wartość stacjonarną i sprawdzić, czy jest
to maksimum czy minimum.
Zadanie 2.21. Populacja P moskitów w regionie Kilimandżaro, liczona w tysiącach, w ciągu 30-dniowego
okresu w maju zależy od dwóch czynników: średniego dziennego opadu deszczu r, i średniej dziennej
temperatury θ. Opad deszczu dany jest przez funkcję r = t cos t + 6, a temperatura dana jest przez
t
funkcję θ = e 10 + 7, gdzie t oznacza czas (wyrażony w dniach). Okazało się, że P = r + θ. Wyznaczyć
minimalną liczbę moskitów w ciągu pierwszych pięciu dni maja.
5
3. Rachunek całkowy
Zadanie 3.1. Scałkować wyrażenia 2x − 1, x1/2 , 7 − 4x−3 .
Zadanie 3.2. Obliczyć całki
R
(1) R x−1/2 dx,
(2) (1 − 2x + 6x2 − x3 ) dx.
Zadanie 3.3. Znaleźć funkcje spełniające warunki
√
dy
= x − √1x ,
(1) dx
(2)
(3)
dy
dx
dy
dt
= 8x(2x2 − 3).
√
3
= t−4t
.
3t
Zadanie 3.4. Scałkować funkcje
(1) x3 − x2 ,
(2) 4ex + sin x,
√
x
(3) e15 − 15 x + cos x.
Zadanie
R
(1) R
(2) R
(3)
3.5. Obliczyć całki
sin 5x dx,
4e4x dx,
−5 cos 2x dx.
Zadanie 3.6. Znaleźć y, jeśli
dy
1
= 2x−3
,
(1) dx
dy
4
(2) dx = (3x−2)3 ,
(3)
dy
dx
= (4x − 7)6 .
Zadanie 3.7.
Znając pochodną krzywej i punkt leżący na krzywej, znaleźć równanie krzywej, jeśli
dy
(1) dx
= 6, (2, 8),
dy
(2) dx
= 4x3 − 6x2 + 7, (1, 9),
dy
(3) dx = 4x2 + x62 , (4, −1).
Zadanie 3.8. Obliczyć całki oznaczone
R2
(1) 1 2x dx,
R −1 6
(2) −3 x3 dx,
R π/2
(3) 0 sin 3x dx,
R2
(4) −1 (3 − 2x)4 dx,
R −1 5
(5) −4 t−2
dt.
Zadanie 3.9. Narysować obszary zadane następującymi całkami
R3
(1) 0 (2x + 3) dx,
Rπ
(2) 0 sin x dx.
Zadanie 3.10. Obliczyć pole obszaru ograniczonego daną krzywą i osią x.
(1) y = −(4x + 1)2 + 9 and the lines x = −1 and x = 12 ,
(2) y = e2x − sin 2x and the line x = − π2 and the y-axis.
Ra
25
5
Zadanie 3.11. Wyznaczyć a, jeśli −a (9−x)
2 dx = 8 .
Zadanie
(1) y
(2) y
(3) y
3.12. Obliczyć pole obszaru ograniczonego danymi krzywymi i osią x, jeśli
= −(x + 4)(2x + 1)(x − 3),
= x2 − x − 6, x = −2 i x = 4,
= cos(2x − π6 ), x = 0 i x = π.
Zadanie 3.13. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami dwóch funkcji
(1) y = 8 − x2 , y = 2 − x,
(2) y = ex , y = 4 − x2 .
6
Zadanie 3.14. Obliczyć całki
R √
(1) x 1 + x2 dx,
R2
(2) R0 2 cos xesin x dx,
(3) R x5 (x6 − 9)8 dx,
(4) R (x + 1)(x2 + 2x − 4)5 dx,
(5) x22x−3
dx,
R p 2−3x+5
ln x
(6) 1 x dx.
Zadanie 3.15. Obliczyć
R 1
(1) 9+x
2 dx,
R
1
dx,
(2) √1−3x
2
R
1
(3) √−x2 +2x dx,
R 1/2
1
dx.
(4) 0 x2 +4x+7
Zadanie
R
(1) R
(2) R
(3) R
(4)
3.16. Obliczyć
cos3 x dx,
sin4 2x dx,
tg3 3x dx,
sin2 x cos2 x dx.
Zadanie 3.17. Obliczyć
R
√ cos 2x
1−sin 2x
Zadanie 3.18. Obliczyć
R
2x
1+x4
Zadanie 3.19. Obliczyć
R
1
cos2 x+4 sin2 x
Zadanie 3.20. Obliczyć
Rp √
Zadanie 3.21. Obliczyć
Rp
Zadanie
R
(1) R
(2) R
(3) R
(4) R
(5) R
(6)
1/2
dx stosując podstawienie u = 1 − sin 2x.
dx stosując podstawienie u = x2 .
dx stosując podstawienie u = tg x.
4 − x2 dx stosując podstawienie x = 2 sin θ.
6
0 5+3 sin x
dx stosując podstawienie t = tg x2 .
3.22. Obliczyć
x cos x dx,
x4 ln x dx,
x2 e−3x dx,
sin−1 x dx,
ln x dx,
ex cos x dx.
Zadanie 3.23. Obliczyć
R
(1) √x+1
dx,
1−x2
R x+3
(2) x−4 dx.
Zadanie 3.24. Obliczyć
R x2
(1) (x+5)
2 dx stosując podstawienie t = x + 5,
R
1
√
(2) x2 4−x2 dx stosując podstawienie x = 2 sin θ.
Zadanie 3.25. Obliczyć całkując przez części
R
(1) R x12 ln x dx,
(2) x2 sin x2 dx.
Zadanie 3.26. Obliczyć
R
(1) R cos x sin2 x dx,
(2) cos4 x6 dx.
7