pobierz plik

Spis treści
1. Podstawowe umiejętności i niektóre pojęcia ...................................................... 9
2. Procenty i błędy przybliżeń .............................................................................. 16
3. Rozwinięcia dziesiętne liczb. Potęgi .................................................................. 22
4. Pierwiastki. Logarytmy ...................................................................................... 27
5. Wyrażenia algebraiczne ..................................................................................... 31
6. Równania i nierówności liniowe oraz z wartością bezwzględną ...................... 36
7. Równania i nierówności kwadratowe ................................................................ 43
8. Równania wielomianowe i wymierne. Proporcjonalność .................................. 48
9. Ciągi ................................................................................................................... 53
10. Ogólne własności funkcji .................................................................................. 58
11. Funkcje liniowe .................................................................................................. 64
12. Funkcje kwadratowe .......................................................................................... 71
13. Funkcje typu y =
a
x
i inne funkcje ..................................................................... 79
14. Przekształcanie wykresów funkcji .................................................................... 85
15. Statystyka .......................................................................................................... 93
16. Rachunek prawdopodobieństwa ....................................................................... 99
17. Trygonometria ................................................................................................. 106
18. Trójkąty i czworokąty ..................................................................................... 111
19. Wielokąty. Wielokąty foremne. Figury podobne ............................................. 119
20. Koła i okręgi .................................................................................................... 126
21. Planimetria w układzie współrzędnych .......................................................... 134
22. Graniastosłupy ................................................................................................. 141
23. Ostrosłupy i inne wielościany ......................................................................... 148
24. Bryły obrotowe ................................................................................................ 156
Matura 2010 (zakres podstawowy) ............................................................. 163
Szkice rozwiązań i wskazówki .................................................................... 167
Odpowiedzi ................................................................................................. 187
MLP3y str. 5
5. Wyrażenia algebraiczne
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych
Wielomian
Wielomianem stopnia n zmiennej x nazywamy wyrażenie postaci:
an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0
gdzie współczynniki an , an−1 , ..., a2 , a1 , a0 są liczbami rzeczywistymi i n ∈ oraz an = 0.
Równość dwóch wielomianów
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i współczynniki
przy tych samych potęgach zmiennych są równe.
Zatem wielomiany:
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
i
Q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0
są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:
m = n oraz an = am , an−1 = bm−1 , . . ., a1 = b1 , a0 = b0
Wyrażenie wymierne
Wyrażeniem wymiernym zmiennej x nazywamy wyrażenie postaci
są wielomianami i V (x) nie jest wielomianem zerowym.
W (x)
,
V (x)
gdzie W (x) i V (x)
Dziedzina wyrażenia wymiernego
(x)
, nazywamy dziedziną wyZbiór liczb, dla których można określić wartość wyrażenia W
V (x)
rażenia wymiernego. Jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których V (x) = 0.
Wzory skróconego mnożenia
Kwadrat sumy:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
Kwadrat różnicy:
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
Różnica kwadratów:
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
Sześcian sumy:
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Sześcian różnicy:
(a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Suma sześcianów:
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
Różnica sześcianów:
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
MLP3y str. 31
Zadania zamknięte
1. Wskaż wielomian równy wielomianowi W (x) = x2 (x − 2) − (x − 2).
C. x(x − 2)2
D. (x2 + 1)(x − 2)
A. (x − 1)(x + 1)(x − 2)
B. x2 (x − 2)
2. Wyrażenie
A.
x−3
2−x
x − 3 można zapisać w postaci:
2 x
B.
x−3
2x
C.
x2 − 3
2x
2
−6
D. x 2x
7 + 3
można przekształcić do postaci:
m−1 1−m
B. m10
C. m−4
D. m10
2−1
−1
−1
3. Wyrażenie
A.
−4
1−m
4. Wśród poniższych wyrażeń wskaż takie, które dla każdej liczby rzeczywistej ma
tę samą wartość co wyrażenie (x − 3)(1 − x).
A. −x2 + 4x − 3
B. x2 + 3x − 3
C. −x2 − 3
D. −x2 − 2x − 3
5. Jeśli wielomiany 2x2 − (a + 1)x + 7 oraz 2x2 + 3x + 7 są równe, to:
A. a = 2
B. a = 3
C. a = −3
D. a = −4
6. Wyrażenie (x + 1)4 można zapisać w postaci sumy jednomianów, z których każdy
jest innego stopnia. Wśród tych jednomianów nie będzie:
A. x4
B. 4x3
C. 5x
D. 6x2
7. Wyrażenie (a − b)2 − 2(a + b)(a − b) można przekształcić do postaci:
A. a2 + b2
B. 3a2 − 2ab + 3b2
C. 3b2 − 2ab − a2
D. 3a2 − 2ab − b2
8. Z kwadratu o boku a wycinamy mniejszy kwadrat o boku 7. Pole otrzymanej
figury jest równe polu prostokąta o bokach:
A. a − 14 oraz a
B. a − 7 oraz a + 7
C. a oraz 7
D. a oraz 49
1 − ab dla a = −2, b = 5 i c = −1 wynosi:
c2 − 2
C. 14
D. 14 23
9. Wartość wyrażenia b +
A. −6
B. −4 23
10. Wyznaczając r ze wzoru P =
A. r =
p−a
q
B. r =
q −a
p
MLP3y str. 32
a + r , otrzymujemy:
q
C. r = pq − a
D. r = P q − a
5. W y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
11. Przekształcając wyrażenie
A.
a2 + b2
a+b
B.
12. Wyrażenie
A.
−5x
2
(x2 − 1)
a2 − b2
a−b
a3 − b3 , można otrzymać:
a2 − b2
C. a − b
D. a
2
+ ab + b2
a+b
2 + 3 + 1 − 5x można zapisać w postaci:
x+1 x−1
x2 − 1
B.
2
x2 − 1
C.
6 − 5x
x2 − 1
D. 5(1 − 5x)
x−1
13. Średnia arytmetyczna dwóch kolejnych liczb parzystych bezpośrednio poprzedzających liczbę naturalną 2n wynosi:
3
2
A. 2n − 2
B. 2n −
C. 2n − 1
14. Jeśli A =
12 i B = (x + 2)2 , to wyrażenie
4 jest równe:
x−2
x2 − 4
3x + 6
A. A + B
B. A − B
C. A · B
D. 2n − 3
D. A : B
√
3
√
3
3
2 + 4 jest równe:
√
√ √
A. 6 1 + 3 2 + 3 4
B. 6
C. 6 + 2 3 6
15. Wyrażenie
√
√
D. 6 + 3 3 4 + 3 3 16
16. Które z poniższych wyrażeń nie jest równe a2 − 3?
A. 6 − (3 − a)(3 + a)
B. 6(a − 1) + (a − 3)2
C. (a + 3)2 − 3(a − 3)
D. (a − 2)(a + 3) − (a + 3)
x2 − 1 : x + 1 można przekształcić do postaci:
x
x2
x
D. x −31
x−1
x
17. Dla x = 0 i x = −1 wyrażenie
A. x3 + x2
B. x2 − x
C.
18. Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie x3 + 2 przyjmuje taką samą wartość
jak wyrażenie (x + a)(x2 − bx + c), gdy:
√
√
C. c = 3 4, a = b = 2 3 4
A. a = b = c = 2
√
√
B. c = 2, a = b = 1
D. c = 3 4, a = b = 3 2
19. Którego z poniższych wielomianów nie można zapisać w postaci iloczynu wielomianów pierwszego stopnia?
√
A. x3 − x
B. x3 + x
C. 3x2 − 2
D. 2x3 − x2
20a . Wynika stąd, że:
c − 2t
t = c − 10a
C. pc = 20a
2
p
−2t
20. Wiadomo, że p =
A. c =
20a
−2tp
B.
MLP3y str. 33
D. a =
p
20(c − 2t)
33
34
5. W y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
21. Którą z poniższych nierówności spełniają wszystkie liczby mniejsze od −10?
A.
1 > −1
x
B. x2 < 100
C. 2x > x
x <1
D. −10
22. Pole trapezu o wysokości a jest równe P , a jedna z podstaw tego trapezu ma
długość x, zatem druga jego podstawa ma długość:
A.
2P − x
a
B.
2aP
x
C. 2P − a − x
P +x
D. 2a
23. Dodatnia liczba a jest sześć razy większa od liczby b i dwa razy mniejsza od
liczby c. Wobec tego:
A. c =
b
12
B. c = 3b
24. Wiadomo, że w =
A. w =
x2 − 4
2x
C. c = 12b
D. c = 13 b
x − xy 2 oraz xy = 2. Wynika stąd, że:
y
B. w =
x3 − 8
2x
C. w = 2x2 −
2
x2
D. w = 2x − 2x3
Zadania otwarte
25. W jednym z testów wydolnościowych badany rytmicznie wchodzi na stopień
i schodzi z niego. Ćwiczenie przerywa się po upływie t sekund, a następnie
trzykrotnie bada się puls badanego (liczony w uderzeniach serca na minutę):
po upływie 1 minuty od zakończenia ćwiczenia (p1 ), po upływie 2 minut (p2 )
oraz po upływie 3 minut (p3 ). Wskaźnik sprawności S oblicza się według wzoru
50t
S=
, a następnie ocenę wydolności odczytuje się z tabeli:
p1 + p2 + p3
Wynik
Ocena wydolności
50–55
słaba
56–64
dostateczna
65–79
przeciętna
80–89
dobra
90 i powyżej
bardzo dobra
a) Oceń wydolność mężczyzny, który wykonywał ćwiczenie przez 5 minut, po minucie od zakończenia ćwiczenia jego puls wynosił 90 uderzeń na minutę, po dwóch
minutach — 80, a po trzech minutach — 70 uderzeń na minutę.
b) Pomiary pulsu pewnej kobiety po ukończeniu ćwiczenia wyniosły: p1 = 72,
p2 = 68 i p3 = 60. Uzyskała ona dobrą ocenę wydolności. Określ, w jakim najkrótszym czasie mogła zakończyć ćwiczenie. Wynik podaj z dokładnością do 10
sekund.
MLP3y str. 34
5. W y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
26. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba (n + 3)2 − n2 jest podzielna
przez 3.
27. Uzasadnij, że równość
prawdziwa dla x = 0.
5x2 + 10 = 5
x
x3 + 2x
jest
28. Które pole jest większe: pole wielokąta narysowanego obok czy kwadratu o boku
a + 3? Znajdź różnicę tych pól.
29. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba (n + 1)3 − (n3 + 1) jest liczbą
parzystą. Czy ta liczba jest podzielna przez 9 dla każdej liczby naturalnej n?
30. Uzasadnij twierdzenie:
Jeżeli
√
√ liczby a i b są różnych znaków oraz a = 0 i b = 0,
to wyrażenie (a + b 2)2 − (a − b 2)2 przyjmuje wyłącznie wartości ujemne.
31. Promień skrętu nart (R, wyrażony w metrach) można określić według wzo(0,9L)2
ru R =
, gdzie S, H i W oznaczają szerokości narty (w milimetrach)
20(S + H − 2W )
w trzech miejscach, a L jest długością narty (w centymetrach).
Jak wyglądałby ten wzór, gdyby wszystkie wymiary nart wyrażone były w metrach?
32. Wyznacz R ze wzoru D = (n − 1)
MLP3y str. 35
1 + 1 .
r
R
35