Równanie okręgu, hiperboli i paraboli

Równanie okręgu, hiperboli i paraboli
Maria Małycha
Zadania na plusy
Równanie okręgu, hiperboli i paraboli
Maria Małycha
Zadania na plusy
Zadanie 1
Napisz równanie okręgu o środku S i promieniu r,
gdy:
a) S = (0, 0), r = 2
b) S = (0, 1), r = 3 √
c) S = (−1, 0), r = √2
d) S = (0, −3), r =√ 3
e) S = (1, 2), r = 2 √3
5
f ) S = (−2, 3), r = √
g) S = (4, −2), r = 2 7√
h) S = (−1, −5), r = 3 5
Zadanie 2
Punkt A należy do okręgu o środku w punkcie S.
Napisz równanie tego okręgu, gdy:
a) A = (3, 4), S = (1, 2)
b) A = (−2, 5), S = (0, 3)
c) A = (3, −5), S = (2, 0)
d) A = (5, 11), S = (3, −1)
e) A = (−1, −2), S = (1, −3)
f ) A = (−3, 5), S = (−2, −1)
Zadanie 3
Wyznacz współrzędne środka S i promień r okręgu o
równaniu:
a) x2 + y 2 − 4 = 0
b) x2 + y 2 − 12 = 0
c) x2 + y 2 − 2x − 3 = 0
d) x2 + y 2 + 2x − 8 = 0
e) x2 + y 2 − 4y + 3 = 0
f ) x2 + y 2 + 4y = 0
g) x2 + y 2 − 2x + 2y + 1 = 0
h) x2 + y 2 − 4x + 2y + 1 = 0
i) x2 + y 2 − 2x − 4y + 3 = 0
j) x2 + y 2 + 4x − 6y + 10 = 0
k) x2 + y 2 − 6x − 8y + 20 = 0
l) x2 + y 2 − 2x + 10y + 19 = 0
m) x2 + y 2 − 6x − 12y + 39 = 0
n) x2 + y 2 − x + y − 12 = 0
o) x2 + y 2 + x − y − 32 = 0
p) x2 + y 2 − 23 x + 21 y − 695
144 = 0
Zadanie 4
Mając dane równanie okręgu O, oblicz, ile punktów
wspólnych ma ten okrąg z osią x, gdy:
a) O : (x − 4)2 + (y − 3)2 = 5
2
b) O : (x + 11)
(y + 4)2√= 16
√ +
2
c) O : (x − 2 2) + (y + 3 3)2 = 27
d) O : x2 + y 2 − 8x + 20y + 100 = 0
Zadanie 5
Mając dane równanie okręgu O, oblicz, ile punktów
wspólnych ma ten okrąg z osią y, gdy:
2
a) O : (x − 5)
(y − 2)2 = 4
√ +
2
b) O : (x − √ 3) + (y + √
4)2 = 3
2
c) O : (x − 5) + (y + 2)2 = 6
d) O : x2 + y 2 + 6x − 4y + 4 = 0
Zadanie 6
Sprawdź, czy punkt P należy do koła o środku w
punkcie S i promieniu r, gdy:
a) P = (−3, 4), S = (0, 0), r = 6
b) P = (5, 12), S = (0, 0), r = 12
c) P = (8, −15), S = (0, 0), r = 17
d) P = (3, 1), S = (2, 3), r = 2
e) P = (−2, 3), S = (1, 2), r = 3 √
f ) P = (−1, −2), S = (1, 1), r = 15
g) P = (1, 3), S = (−3, −1), r = 6
h) P = (−5, 7), S = (−2, 11), r = 5
Zadanie 7
Mając dane równania okręgów O1 , O2 , wykaż, że są
one styczne zewnętrznie, gdy:
a) O1 : x2 + y 2 = 4,
O2 : x2 + y 2 + 12x + 20 = 0
b) O1 : x2 + y 2 = 1,
O2 : x2 + y 2 − 8x − 6y + 9 = 0
c) O1 : x2 + y 2 − 2x − 2y − 11 = 0,
O2 : x2 + y 2 − 8x − 10y + 37 = 0
d) O1 : x2 + y 2 + 6x − 2y + 8 = 0,
O2 : x2 + y 2 − 2x − 10y + 8 = 0
Zadanie 8
Mając dane równania okręgów O1 , O2 , wykaż, że są
one styczne wewnętrznie, gdy:
a) O1 : x2 + y 2 = 1,
O2 : x2 + y 2 − 6y − 7 = 0
b) O1 : x2 + y 2 = 1,
O2 : x2 + y 2 − 6x − 7 = 0
c) O1 : x2 + y 2 − 8x − 10y + 16 = 0,
O2 : x2 + y 2 − 14x − 18y + 30 = 0
d) O1 : x2 + y 2 + 6x − 12y = 0,
O2 : x2 + y 2 + 2x − 4y = 0
Równanie okręgu, hiperboli i paraboli
Maria Małycha
Zadanie 9
Mając dane równania okręgów O1 , O2 , wykaż, że
mają one dwa punkty wspólne, gdy:
a) O1 : x2 + y 2 = 5,
O2 : x2 + y 2 − 4x = 0
b) O1 : x2 + y 2 + 2x + 4y − 5 = 0,
O2 : x2 + y 2 − 6x − 4y = 0
c) O1 : x2 + y 2 + 4x − 2y − 11 = 0,
O2 : x2 + y 2 − 8x + 4y − 25 = 0
d) O1 : x2 + y 2 − 2x − 6y − 6 = 0,
O2 : x2 + y 2 + 4x + 2y − 4 = 0
Zadanie 10
Mając dane równania okręgów O1 , O2 , wykaż, że nie
mają one punktów wspólnych, gdy:
a) O1 : x2 + y 2 = 1,
O2 : x2 + y 2 − 4x + 6y + 9 = 0
b) O1 : x2 + y 2 − 4y = 0,
O2 : x2 + y 2 − 4x − 2y − 31 = 0
c) O1 : x2 + y 2 + 4x − 6y + 12 = 0,
O2 : x2 + y 2 − 6x − 8y + 23 = 0
d) O1 : x2 + y 2 − x − y = 0,
O2 : x2 + y 2 − 4x − 6y − 12 = 0
Zadanie 11
Mając dane równania okręgów O1 , O2 , oblicz liczbę
ich punktów wspólnych, gdy:
a) O1 : x2 + y 2 = 9,
O2 : (x − 3)2 + (y − 4)2 = 4
b) O1 : (x − 4)2 + (y + 5)2 = 4,
O2 : (x + 1)2 + (y − 1)2 = 1
c) O1 : x2 + y 2 = 16,
O2 : (x − 3)2 + y 2 = 9
d) O1 : x2 + y 2 = 25,
O2 : x2 + (y + 3)2 = 4
e) O1 : x2 + y 2 = 1,
O2 : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 20
f ) O1 : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 5,
O2 : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 13
Zadanie 12
Mając dane równania okręgów O1 , O2 , oblicz liczbę
ich punktów wspólnych, gdy:
a) O1 : x2 + y 2 = 3,
O2 : x2 + y 2 − 6x + 2y = 0
b) O1 : x2 + y 2 = 5,
O2 : x2 + y 2 − 2x − 4y − 93 = 0
c) O1 : x2 + y 2 − 4x + 2y + 4 = 0,
O2 : x2 + y 2 − 10x − 6y + 18 = 0
d) O1 : x2 + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0,
O2 : x2 + y 2 − 3x − 7y = 0
e) O1 : x2 + y 2 − 3x − 5y = 0,
O2 : x2 + y 2 − 9x − 15y = 0
f ) O1 : x2 + y 2 − 5x + 9y = 0,
O2 : x2 + y 2 − 3x − 11y = 0
Zadania na plusy
Zadanie 13
Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych zaznacz zbiór A ∩ B, gdy:
a) A = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x2 + y 2 > 1}
B = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x2 + y 2 6 9}
b) A = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x2 + y 2 6 4}
B = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x2 + y 2 + 2x > 0}
c) A = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ (x − 1)2 + y 2 > 1}
B = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ (x + 1)2 + (y + 1)2 6 16}
d) A = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x2 + y 2 6 1}
B = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x2 + y 2 − 2x 6 0}
Zadanie 14
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt
P = (8, 9) i stycznego do obu osi układu współrzędnych.
Zadanie 15
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt
P = (9, 9) i stycznego do osi OX w punkcie
A = (6, 0).
Zadanie 16
Napisz równanie okręgu i naszkicuj
√ okrąg:
a) o środku (−2, 1) i promieniu 3√ 3
b) o środku (1, −3) i promieniu 2
Zadanie 17
Dany jest okrąg x2 + y 2 − 4x − 6y + 4 = 0. Wyznacz
współrzędne środka okręgu i długość promienia.
Zbadaj, ile punktów wspólnych z danym okręgiem ma
prosta o równaniu x + 3y − 6 = 0.
Zadanie 18
Dany jest okrąg (x − 4)2 + (y − 3)2 = 4. Wyznacz
współrzędne środka okręgu i długość promienia.
Zbadaj, ile punktów wspólnych z danym okręgiem ma
prosta o równaniu x − 4y + 4 = 0.
Zadanie 19
Prosta o równaniu 3x + 4y − 5 = 0 jest styczna do
okręgu, którego środkiem jest punkt O = (−3, −1).
Oblicz promień okręgu.
Zadanie 20
Rozwiąż
algebraicznie i graficznie układy równań:
y+x=6
a)
xy = 8
x−y =2
b)
xy = 48 5
x−y = 6
c)
xy = 1
x+y =2
d)
xy = −15
2
x + y 2 = 250
e)
x−y =4
Równanie okręgu, hiperboli i paraboli
x2 + y 2 = 136
x + y = 16
2
x + y 2 = 90
g)
12
x 2+ y =
x + y 2 = 100
h)
x−y =2
2
x + y2 = 5
i)
xy = 2
2
x + y 2 = 40
j)
xy2 = 122
x + y = 4 94
k)
=4
3xy
x2 + y 2 = 1
l)
xy = 24
y = x2
m)
2
+x
y = −x
y = x2 + x + 1
n)
y = x2 + 4x
2
x + y 2 = 2a2
o)
2
xy2 = a
x + xy = 5
p)
y 2 − xy = 12
2
x + xy + y 2 = 57
q)
2
2
x2 − xy + y 2= 43
x + 2xy − y = 7(x − y)
r)
2xy − y = 5
2
x + y 2 − 5(x + y) = 8
s)
x2 + y 2 − 3(x + y) = 28
y = 21 x
t)
2
y = x2
y=x
u)
2
y 2 = x2
x +y =2
v)
y2 = x
2
x + y2 = 2
w)
2
y2 = −x
x + y2 = 4
x)
y 2 = x2
2
x + y2 = 5
y)
2
2
=0
y2 − 4x
2
x + y = 25
z)
16y 2 − 9x2 = 0
2
y2
x
16 + 4 = 1
ź)
y=x
2
y2
x
16 + 9 = 1
ż)
y = 43 x + 3
Zadanie 21
Rozwiąż
graficznie układy nierówności:
y 6 x2 − 2x + 1
a)
y > 21 x2 + 4x + 4
f)
Maria Małycha
y > x2 + 2x + 1
y 6 x2 + 6x + 9
y > x2 − 1
c)
y 6 x 2+ 1
y > x − 16
d)
y 6 −x2 + 10x − 25
y > x2 − 4
e)
x+y 62
2
x + y2 6 4
f)
2
y 6x −2
xy 6 1
g)
x2 + y 2 > 4
2
x + y2 6 4
h)
2
2
y2 6 x2
x +y >1
i)
y 2 > x2
2
x + y2 6 5
j)
2
2
y 6 4x
xy 6 1
k)
x>0
xy 6 1
l)
2
2
x + y 6 9
xy 6 1
m)
− 2)2 + (y − 2)2 > 4
 (x
2
 x + y 2 6 25
y 6 x2
n)

2
2
 (x2 + 2)2 + (y + 2) > 1
 x +y >1
(x − 3)2 + y 2 6 25
o)

2
2
 (x2 + 3)2 + y 6 25
 x + y 6 16
x2 + y 2 − 6x > 0
p)
 2
2
 x2 + y2 > 1
 x + y 6 16
q)
y 6 (x − 2)2

+ 1)2 + (y + 1)2 > 1
 (x
2
 x + y2 6 9
x+y >2
r)

y−x 60
b)
Zadania na plusy