Rozwiązywanie układu równań metodą podstawiania

Rozwiązywanie układu równań
metodą podstawiania
Sposoby postępowania – krok po kroku:
I. przygotowanie równań
1. pozbywamy się ułamków mnoŜąc kaŜdy jednomian równania lub równań przez
najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników (tzn. liczbę, która jest wspólnym
mianownikiem ułamków w równaniu)
2. wykonujemy skracanie tam gdzie to moŜliwe
3. zapisujemy wyraŜenia po skróceniu nie zapominając o nawiasach i sprowadzamy je do
najprostszej postaci np. opuszczając nawiasy, przenosząc na przeciwne strony równania ze
zmianą znaku i redukując wyrazy podobne
4. tworzymy odpowiedni układ wyraŜeń wewnątrz równań: po lewej stronie niewiadome
(najpierw jedna a potem druga), a po prawej wiadome (wyrazy wolne, czyli liczby)
II. rozwiązanie właściwe
1. wybieramy równanie, które najłatwiej moŜemy przekształcić w taki sposób, aby wyliczyć
jedną z niewiadomych
2. podstawiamy wyraŜenie równe wspomnianej niewiadomej do drugiego z równań, dzięki
czemu otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą
3. upraszczamy wyraŜenia tworzące drugie równanie (opuszczamy nawiasy, wykonujemy
działania, przenosimy „niewiadome” na jedną a „wiadome” na druga stronę, redukujemy
wyrazy podobne, itp.) i rozwiązujemy go
4. podstawiamy otrzymany wynik do pierwszego równania i rozwiązujemy go wykonując
potrzebne operacje matematyczne
5. otrzymujemy rozwiązanie układu
III. wskazówki:
1. rozwiązując układy równań moŜemy wykonywać wszystkie te operacje matematyczne,
które są dozwolone przy rozwiązywaniu równań (przenoszenie wyraŜeń ze strony na stronę
ze zmienionym znakiem, mnoŜenie lub dzielenie obu stron równania przez tą sama liczbę,
zamiana całych stron równania bez zmiany znaku).
2. MoŜemy równieŜ zamieniać równania kolejnością (pierwsze z drugim) oraz dodawać lub
odejmować równania stronami (lewa z lewą i prawa z prawą).
3. ZaleŜnie od układu wybieramy punkt od którego rozpoczniemy rozwiązywanie.
A. Układ o podstawowym stopniu trudności
I. przygotowanie równań – tego typu równania zazwyczaj wymagają bardzo krótkiego
przygotowania, albo w ogóle nie jest ono konieczne
II. rozwiązanie właściwe
x − y = 4

 x + 3 y = 16
x = y + 4

 x + 3 y = 16
1. wyliczamy „x” z pierwszego równania przenosząc „– y” na stronę
prawą z przeciwnym znakiem
x = y + 4

( y + 4 ) + 3 y = 16
2. podstawiamy „y + 4” zamiast „x” do drugiego równania i przez
pewien czas rozwiązujemy tylko to równanie, a pierwsze przepisujemy
x = y + 4

 y + 4 + 3 y = 16
3a. opuszczamy nawias
x = y + 4

 y + 3 y = 16 − 4
3b. przenosimy „4” na stronę prawą ze zmienionym znakiem
x = y + 4

4 y = 12
3c. dodajemy „y + 3y” oraz odejmujemy „16 – 4”
x = y + 4

4 y = 12 / : 4
3d. dzielimy obie strony drugiego równania przez 4 w celu wyliczenia
„y”
x = y + 4

 4 y 12
 4 = 4
3e. skracamy otrzymane ułamki
x = y + 4

y = 3
x = 3 + 4

y = 3
x = 7

y = 3
3f. otrzymujemy y = 3
4. podstawiamy „3” w miejsce „y” do pierwszego równania i
wyliczamy „x”
5. otrzymujemy rozwiązanie układu
B. Układ o średnim stopniu trudności
I. przygotowanie równań – w tym przypadku rozpocząć moŜemy od trzeciego punktu
przygotowania, gdyŜ nie mamy tutaj do czynienia z ułamkami ani nawiasami
3 x − 4 = y + 2 x

2( x − 8) = −6 y + 16
3 x − 2 x − y = 4

2 x − 16 = −6 y + 16
3a. w pierwszym równaniu niewiadome przenosimy na lewą
stronę a wiadome na prawą, natomiast w drugim opuszczamy
nawias wykonując mnoŜenie
x − y = 4

2 x + 6 y = 16 + 16
3b. redukujemy wyrazy podobne w równaniu pierwszym i
przenosimy „– 16” oraz „– 6y” na przeciwne strony równania
drugiego
x − y = 4

2 x + 6 y = 32 / : 2
3c. redukujemy wyrazy podobne w równaniu drugim i moŜemy
podzielić jego obie strony przez 2, Ŝeby go uprościć
x − y = 4

 2 x 6 y 32
 2 + 2 = 2
3d. skracamy ułamki w drugim równaniu
x − y = 4

 x + 3 y = 16
3e. otrzymujemy najprostszą postać układu i jest ona identyczna
jak w przykładzie A, zatem rozwiązanie prowadzimy tak samo
jak we wspomnianym przykładzie.
C. Układ o wyŜszym stopniu trudności
I. przygotowanie równań
x − 3 y +1
 5 − 2 = 1 − ( x − y ) /⋅ 10

 4 x − 1 − y − 3 = − 2( x − y ) / ⋅ 6
 3
6
1. dąŜymy do pozbycia się ułamków mnoŜąc pierwsze
równanie przez 10 a drugie przez 6
x−3
y +1

10 ⋅ 5 − 10 ⋅ 2 = 10 ⋅ 1 − 10 ⋅ ( x − y )

6 ⋅ 4 x − 1 − 6 ⋅ y − 3 = −6 ⋅ 2( x − y )

3
6
2. skracamy 10 i 6 z mianownikami ułamków
2( x − 3) − 5( y + 1) = 10 − 10( x − y )

2(4 x − 1) − ( y − 3) = −12( x − y )
3a. zapisujemy wyraŜenia powstałe po skróceniu,
wstawiając nawiasy i nie zapominając o znakach
2 x − 6 − 5 y − 5 = 10 − 10 x + 10 y

8 x − 2 − y + 3 = −12 x + 12 y
3b. opuszczamy nawiasy nie zapominając o znakach
2 x + 10 x − 5 y − 10 y = 10 + 5 + 6

8 x + 12 x − y − 12 y = 2 − 3
3c. przenosimy niewiadome na jedna a wiadome na
druga stronę równania pamiętając o zmianie znaku
12 x − 15 y = 21 / : 3

20 x − 13 y = −1
3d. upraszczamy pierwsze równanie dzieląc je przez 3
12 x 15 y 21
−
=

3
3
 3
20 x − 13 y = −1
3e. skracamy ułamki a następnie zapisujemy prostszą
postać równania, od której rozpoczyna się rozwiązanie
właściwe
4 x − 5 y = 7

20 x − 13 y = −1
II. rozwiązanie właściwe
4 x = 7 + 5 y

20 x − 13 y = −1
Przypadek I
1a. najbardziej korzystnie byłoby skorzystać z „x” z
pierwszego równania, a zatem przenosimy „– 5y” na
prawą stronę zmieniając znak
Przypadek II
4 x = 7 + 5 y / : 4
4 x = 7 + 5 y / ⋅ 5
lub 

20 x − 13 y = −1
20 x − 13 y = −1
moŜemy teraz postąpić na dwa sposoby:
1b. przypadek I: wyliczamy z pierwszego równania „x”
dzieląc je przez 4,
przypadek II: wyliczamy „20x” – mnoŜąc to
równanie przez 5
 4x 7 + 5 y
 =
lub
4
4
20 x − 13 y = −1
5 ⋅ 4 x = 5 ⋅ (7 + 5 y )

20 x − 13 y = −1
1c. przypadek I: skracamy powstałe ułamki
przypadek II: zapisujemy wyraŜenie otrzymane w
wyniku mnoŜenia przez „5” nie zapominając o
nawiasach ) tam gdzie są konieczne)
7 + 5y

20 x = 35 + 25 y
x =
lub 
4

20 x − 13 y = −1
20 x − 13 y = −1
1d. – w pierwszym przypadku: otrzymaliśmy „x”
– w drugim przypadku: wykonujemy mnoŜenie
upraszczając tym samym pierwsze równania
7 + 5y

 x = 4

20 ⋅ 7 + 5 y − 13 y = −1

4
2. wykonujemy odpowiednie podstawienia.
jak widać, łatwiej jest podstawić wyraŜenie za „20x”
w przypadku drugim niŜ za „x” w pierwszym, ale oba
sposoby są poprawne
lub
20 x = 35 + 25 y

35 + 25 y − 13 y = −1
7 + 5y

x =
4

5 ⋅ (7 + 5 y ) − 13 y = −1
lub
20 x = 35 + 25 y

25 y − 13 y = −1 − 35
7 + 5y

x =
4

35 + 25 y − 13 y = −1
lub
20 x = 35 + 25 y

25 y − 13 y = −1 − 35
3a. w równaniu drugim:
– w pierwszym przypadku skracamy i zapisujemy
wyraŜenie powstałe po skróceniu,
– w drugim przypadku od razu moŜemy uporządkować
jednomiany
3b. w pierwszym przypadku po opuszczeniu nawiasów
drugie równanie przyjmuje taka sama postać jak w
przypadku drugim
7 + 5y

20 x = 35 + 25 y
x =
lub 
4

12 y = −36 / : 3
12 y = −36 / : 3
3c. w obu przypadkach upraszczamy drugie z równań i
dzielimy przez 12 w celu wyliczenia „y”
7 + 5y

 x = 4

12 y = − 36
 12
12
20 x = 35 + 25 y

lub 12 y − 36
 12 = 12
3d. skracamy otrzymane ułamki
7 + 5y

x =
4

 y = −3
lub
20 x = 35 + 25 y

 y = −3
7 + 5 ⋅ (− 3)

x =
4

 y = −3
lub
20 x = 35 + 25 ⋅ (− 3)

 y = −3
3e. otrzymujemy „y = –3”
4a. w obu przypadkach podstawiamy –3 w miejsce „y”
do pierwszego równania
7 − 15

x =
4

 y = −3
lub
20 x = 35 − 75

 y = −3
4b. upraszczamy pierwsze równania
−8

x =
4

 y = −3
lub
20 x = − 40 / : 20

 y = −3
4c. w celu wyliczenia „x” pierwsze równanie w drugim
przypadku dzielimy przez 20
−8

x =
4

 y = −3
lub
 20 x − 40
=

20
 20
 y = −3
 x = −2

 y = −3
4d. skracamy ułamki powstałe w pierwszych
równaniach
5. otrzymujemy parę liczb, która jest rozwiązaniem
układu równań