wykład XI - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

Planarność grafów
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Graf planarny i płaski
DEFINICJA Grafem planarnym nazywamy graf, który może być narysowany na płaszczyźnie w taki sposób, aby
krawędzie grafu nie przecinały się (tzn. nie miały części wspólnej poza wierzchołkami).
DEFINICJA Grafem płaskim nazywamy graf, który już jest w ten sposób narysowany; tzn.
graf płaski to para: G = (V, E), gdzie
— V jest pewnym zbiorem punktów płaszczyzny R2 ,
— E jest zbiorem nie przecinających się odcinków lub łuków w R2 o końcach w zbiorze V .
Grafy homeomorficzne
DEFINICJA Mówimy, że graf G1 jest homeomorficzny z G2 , jeśli jeden można otrzymać z drugiego poprzez
wykonanie skończenie wielu poniższych operacji:
dodawanie wierzchołków stopnia dwa na krawędzi – jeśli uw ∈ E (G1 ) oraz x 6∈ V (G1 ), to operacja ta
zastępuje graf (V (G1 ) , E (G1 )) graf em (V (G1 ) ∪ {x} , E (G1 ) ∪ {ux, xw} − {uw});
usuwanie wierzchołków stopnia dwa – jeśli x ∈ V (G1 ) ma jedynie dwóch sąsiadów u, w, to operacja ta zastępuje
graf (V (G1 ) , E (G1 )) grafem (V (G1 ) − {x} , E (G1 ) ∪ {uw} − {ux, xw}).
Twierdzenie Kuratowskiego 1930
TWIERDZENIE Graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden jego podgraf nie jest homeomorficzny z K5
ani z K3,3 .
Ściągnięcie grafu
DEFINICJA Mówimy, że graf G|e jest ściągnięciem grafu G wzdłuż krawędzi e = uv, jeśli
V (G|e ) = V (G) − {u, v} ∪ {x} dla x 6∈ V (G) oraz
E (G|e ) = E (G − {u, v})∪{xw} dla każdego wierzchołka w ∈ V (G−{u, v}) takiego, że uw ∈ E(G) lub vw ∈ E(G).
DEFINICJA Mówimy, że graf G1 jest ściągalny do G2 , jeśli G2 można otrzymać z G1 poprzez skończony ciąg
operacji ściągania wzdłuż krawędzi.
Twierdzenie Wagnera 1937
TWIERDZENIE Graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu ściągalnego do K5 lub K3,3 .
Ściany w grafach płaskich
DEFINICJA Każdy graf płaski G dzieli płaszczyznę na rozłączne obszary. Każdy z tych obszarów nazywamy
ścianą grafu G.
UWAGA Każdy graf płaski ma dokładnie jedną ścianę nieograniczoną. Nazywa się ją ścianą nieskończoną.
Twierdzenie Eulera 1750
TWIERDZENIE W grafie płaskim G = (V, E) o f ścianach zachodzi |V | − |E| + f = 2.
WNIOSEK Jeśli G = (V, E) jest spójnym grafem planarnym o co najmniej 3 wierzchołkach, to |E| 6 3 |V | − 6.
1