TGR - Z6. Planarność i kolorowanie map. Ćw. 10 czerwca 1
Transkrypt
TGR - Z6. Planarność i kolorowanie map. Ćw. 10 czerwca 1
TGR - Z6. Planarność i kolorowanie map. Ćw. 10 czerwca 1. Uzasadnij, że wszystkie grafy na 5 wierzchołkach, oprócz K5 , są planarne (proszę nie korzystać z tw. Kuratowskiego). 2. Zbadaj, czy graf Petersena jest planarny. Jeśli tak – narysuj go płasko, jeśli nie – znajdź w nim T K3,3 lub T K5 . 3. Czy istnieje graf planarny o minimalnym stopniu 6? 4. Czy to prawda, że jeśli e(G) ≤ 3v(G) − 6, to G jest planarny ? 5. Wyprowadź odpowiednik wzoru Eulera dla grafu płaskiego o t składowych. 6. Udowodnij, że każdy graf planarny można narysować a) w ℜ3 b) na płaszczyźnie tak, aby krawędzie były odcinkami. 7. Czy w płaskim grafie dwuspójnym o minimalnym stopniu δ ≥ 2 może istnieć ściana, która nie jest cyklem? 8. Załóżmy, że G jest grafem planarnym i nie zawiera trójkątów. Udowodnij, że e(G) ≤ 2v(G) − 4. 9. K3,3 nie jest planarny (nie korzystając z tw. Kuratowskiego). 10. Dane jest n ≥ 3 punktów na płaszczyźnie, a odległość między dowolnymi dwoma wynosi co najmniej 1. Pokaż, że jest najwyżej 3n − 6 par punktów, między którymi odległość wynosi dokładnie 1. .................................................................................................... 11. Wskaż wartości k, dla których k-kostka jest grafem planarnym. 12. Udowodnij, że każda ściana S grafu płaskiego „może przejść na zewnątrz", tzn. możemy odpowiadający graf planarny narysować tak, aby brzeg S stał się brzegiem ściany zewnętrznej. 13. Znajdź graf na na 6 wierzchołkach różny od K3,3 , który jest minimalny nieplanarny, tzn. że dowolny jego podgraf właściwy jest planarny. 14. Czy dopełnienie triangulacji może być triangulacją ? 15. Wyznacz wszystkie wartości k, dla których istnieje k-regularna triangulacja. 16. Narysuj a) płaski graf 2-spójny o minimalnym stopniu większym niż 2, dla którego G∗ ma krawędzie wielokrotne. b) 2-spójne grafy płaskie G1 i G2 , które są izomorficzne (w sensie grafowym), ale G∗1 i G∗2 nie są izomorficzne. c) 2-spójne grafy płaskie G1 i G2 , które nie są izomorficzne (w sensie grafowym), ale G∗1 i G∗2 są izomorficzne. 17. Czy istnieje mapa, na której każdy obszar graniczy z co najmniej sześcioma różnymi obszarami ? Punkt nie jest granicą. 18. Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma graf dualny do triangulacji na n wierzchołkach ? 19. Dla każdej figury platońskiej znajdź najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania jej ścian. 20. Załóżmy, że G jest minimalnym w sensie inkluzji grafem planarnym o liczbie chromatycznej 4 (tzn. wszystkie jego właściwe podgrafy mają χ < 4). Czy możliwe jest, że a) δ(G) ≤ 3 ? b) κ(G) = 1 ? 21. Czy to prawda, że jeżeli χ(G) = 4, to G jest planarny ? 22. Załóżmy, że każde państwo ma po jednej kolonii na ksieżycu. Chcemy obie mapy pomalować minimalną liczbą kolorów tak, by każdy kraj miał ten sam kolor co jego kolonia i oba kolorowania były właściwe. Niech kmin oznacza najmniejszą liczbę kolorów, jaką możemy to osiągnąć niezależnie od wyglądu obu map. Pokaż, że 8 ≤ kmin ≤ 12. 23. Rozważmy minimalny w sensie inkluzji graf planarny o liczbie chromatycznej 4. Jakie wartości może przyjąć δ takiego grafu ? Dla każdego przypadku podaj przykład odpowiedniego grafu. 24. Podaj przyklad planarnego grafu 3-regularnego G, dla którego χ′ = 4. 25. Załóżmy, że każde ziemskie państwo ma po jednej kolonii na Ksieżycu i po jednej na Marsie. Chcemy wszystkie trzy mapy pomalować minimalną liczbą kolorów tak, by każdy kraj miał ten sam kolor co jego kolonie i wszystkie trzy kolorowania były właściwe. Niech kmin oznacza najmniejszą liczbę kolorów, jaką możemy to osiągnąć niezależnie od wyglądu map Ziemi, Marsa i Księżyca. Oszacuj jak najlepiej z dołu i z góry kmin . (Gdyby to zadanie było na kolokwium, to maksimum punktów uzyskalibyście Państwo, jeśli oszacowania górne i dolne różniłyby się o mniej niż 10).