rozwiązanie

53OF_III_T2
KOOF Szczecin: www.of.szc.pl
LIII OLIMPIADA FIZYCZNA (2003/2004). Stopień III, zadanie teoretyczne – T2.
Źródło:
Komitet Główny Olimpiady Fizycznej;
Jacek Jasiak, Andrzej Wysmolek: Fizyka w Szkole nr 4, 2004.
Nazwa zadania:
Dwa balony wypełnione gorącym powietrzem i parą wodną.
Działy:
Termodynamika
Słowa kluczowe:
Balon, ciepło, temperatura, gęstość, prawo Archimedesa, masa molowa,
ciepło molowe, stan gazu doskonałego, parowanie, temperatura wrzenia,
przyspieszenie ziemskie.
Zadanie teoretyczne – T2, zawody III stopnia, LIII OF.
Skonstruowano dwa balony, z których pierwszy jest wypełniony gorącym powietrzem
o temperaturze T = 373 K, a drugi parą wodną o takiej samej temperaturze. Sprawdzono, że
tuż nad powierzchnią ziemi każdy z balonów może unieść masę m = 300 kg, włączając w to
masę powłoki, linek i innych elementów konstrukcyjnych. Temperatura otoczenia wynosi
T0 = 293 K, ciśnienie p = 10 5 Pa.
a)
Ile wynoszą objętości V1 i V2 balonów?
b)
Jaka jest minimalna ilość ciepła niezbędna do podgrzania (od temperatury otoczenia)
powietrza w pierwszym balonie? Ile wynosi minimalna ilość ciepła niezbędna do wytworzenia, z wody o temperaturze równej temperaturze otoczenia, pary wodnej potrzebnej do wypełnienia drugiego balonu?
c)
Stwierdzono, że tuż po napełnieniu pierwszego balonu, tempo utraty jego siły nośnej
(udźwigu)jest równe k1 =0,3 N/s. Ile wynosi tempo utraty siły nośnej drugiego balonu k 2 tuż
po jego napełnieniu? Rozważ dwie możliwości: (i) cała skroplona para z drugiego balonu
pozostaje w jego wnętrzu (zbiera się w specjalnym pojemniku) oraz (ii) cała skroplona para
z drugiego balonu jest natychmiast usuwana (spada na ziemie). Kształt obu balonów jest taki
sam, powłoki mają takie same przewodnictwo cieplne, są nierozciągliwe, wiotkie i nie przepuszczają ani pary, ani powietrza. Zakładamy, że para spełnia równanie stanu gazu doskonałego. Każdy z balonów ma na dole mały otwór. Po napełnieniu balonów nie jest do nich dostarczane ciepło.
Do obliczeń przyjmij następujące wartości: masa molowa powietrza M p = 0,029 kg/mol;
masa molowa wody Mw = 0,018 kg/mol; stała gazowa R = 8,3 J · mol −1 · K −1 ; ciepło molowe
⎛5⎞
powietrza przy stałej objętości cV = ⎜ ⎟ R ; ciepło właściwe wody c w =4200 J · kg-1 · K-1;
⎝2⎠
temperatura wrzenia wody pod ciśnieniem p = 105 Pa – 373 K; ciepło parowania wody
J
w temperaturze 373 K (i ciśnieniu p = 10 5 Pa) r = 2,3 · 106
; przyspieszenie ziemskie
kg
m
g = 9,8 2 .
s
Rozwiązanie
a)
Gęstość gazu doskonałego wyraża się wzorem ρ =
pM
, gdzie M jest jego masą moRT
lową, zatem gęstości są odpowiednio równe:
Oprac. PDFiA US, 2009
- 1/3 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
53OF_III_T2
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
- powietrza na zewnątrz balonów
kg
m3
ρ0 =
pM p
ρ1 =
pM p
ρ2 =
pM w
kg
= 0,581 3 .
RT0
m
RT0
= 1,191
,
- powietrza w pierwszym balonie
RT
= 0,936
kg
,
m3
- pary wodnej w drugim balonie
Korzystając z prawa Archimedesa, otrzymujemy ρ 0 Vi = m + ρ i Vi , zatem
V1 =
V2 =
b)
m R T T0
m
=
= 1174 m 3 ,
ρ 0 − ρ 1 p M p (T − T0 )
m
=
ρ0 − ρ2
pM p(
mR
Mp
T0
M
− w)
T
= 491 m 3 .
Ciepło, niezbędne do ogrzania powietrza wynosi Q1 = n c p Δ T , gdzie c p = cV + R jest
ciepłem molowym przy stałym ciśnieniu (w takich warunkach odbywa się podgrzewanie).
Otrzymujemy
Q1 =
pV1
c p (T − T0 ) = 88,1 MJ.
RT
Ciepło dostarczone w drugim przypadku jest sumą ciepła potrzebnego do podgrzania
wody do 100 o C
Q2 pod = m2 c w ΔT ,
oraz ciepła potrzebnego do odparowania wody
Q2 par = m2 r , gdzie m2 = V2 ρ 2 =
m
M pT
M wT0
= 285 kg,
−1
jest masą pary (wody).
Zatem
Q2 =
m
M pT
M wT0
Oprac. PDFiA US, 2009
[c w (T − T0 ) + r ] = 752 MJ.
−1
- 2/3 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
53OF_III_T2
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
c)
Załóżmy, że w przypadku pierwszego balonu prędkość pływu ciepła przez powłokę
wynosi q1 . Po czasie dt wypłynie q1 dt ciepła, co spowoduje obniżenie temperatury powietrza
q dt
nR
o dT = 1 , a w konsekwencji jego objętości o dV1 =
dT (n i p są stałe!). Zatem spadek
p
nc p
siły nośnej wyniesie
dV1 = gρ 0 dV1 = g
M p q1
T0 c p
dt = (3,40 ⋅ 10 −6
⎛V
Powierzchnia drugiego balonu jest równa ⎜⎜ 2
⎝ V1
kg
) ⋅ gq1 dt .
J
2
⎞3
⎟⎟ razy powierzchnia pierwszego balo⎠
2
3
⎛V ⎞
nu, czyli prędkość wypływu ciepła w tym przypadku jest równa q 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⋅ q1 . W ciągu
⎝ V1 ⎠
q dt
kilogramów pary, czyli objętość pary zmniejszy się
czasu dt skropleniu ulegnie 2
r
q dt
o dV 2 = 2 . Zatem spadek siły wyporu w tym przypadku wynosi
rρ w
2
dV2 wyporu
⎛V ⎞3
ρ 0 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ q1
V2
kg ⎞
⎛
= gρ 0 dV2 = g ⎝ ⎠
dt = ⎜ 5,07 ⋅ 10 −7
⎟ ⋅ gq1 dt .
rρ w
J ⎠
⎝
Jeśli skroplona para pozostaje w balonie, to spadek siły nośnej jest równy spadkowi
siły wyporu: dV2 = dV2 wyporu . Otrzymujemy
k2 =
dV 2
N
k1 = 0,15k1 = 0,045 .
dV1
s
Jeśli woda powstała ze skroplenia (lub załoga ją wylewa), to spadek siły nośnej jest
równy spadkowi siły wyporu minus zmniejszenie ciężaru pary:
q
⎛ρ q
dV ' 2 = g ⎜⎜ 0 2 − 2
r
⎝ rρ
⎞⎛V
⎛ρ
⎞
⎟⎟ dt = g ⎜⎜ 0 − 1⎟⎟ ⎜⎜ 2
⎠
⎠ ⎝ V1
⎝ ρw
2
⎞ 3 q1
kg ⎞
⎛
⎟⎟
dt = ⎜ 2,60 ⋅ 10 − 7
⎟ ⋅ gq1 dt .
J ⎠
⎝
⎠ r
W tym przypadku tempo siły nośnej wynosi
k 2' =
Oprac. PDFiA US, 2009
dN 2'
N
k1 = 0,08k1 = 0,023 .
dN 1
s
- 3/3 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl