seria3

III
Zad. 1. Koło o promieniu C obraca się wokół osi prostopadłej do koła przechodzącej przez jego
środek tak, że droga kątowa dla dowolnego punktu koła zależy od czasu t w następujący sposób:
ϕ (t ) − ϕ (t = 0) = At + Bt 3 ( A > 0, B > 0 ; A, B − stałe)
Wyznaczyć dla punktów koła położonych w odległości C / 2 od osi obrotu zależność od czasu
następujących wielkości:
a) wartości prędkość kątowej i liniowej
b) wartości przyspieszenia kątowego
c) składowych stycznej i normalnej przyspieszenia
d) wartości (długości wektora) przyspieszenia
e) kąta, jaki tworzy wektor przyspieszenia z wektorem prędkości ciała.
Odp.
C
a) ω (t ) = A + 3Bt 2 V (t ) = (A + 3Bt 2 )
b) ε (t ) = 6 Bt
2
2
4
C
C
C
a n (t ) = (A + 3Bt 2 )
d) a n (t ) =
(
A + 3Bt 2 ) + 36 B 2 t 2
c) a t (t ) = 6 Bt
2
2
2
(A + 3Bt )
tg (α ) =
2 2
e)
6 Bt
Zad. 2 (W).Znaleźć promień obracającego się koła jeśli wiadomo, że szybkość (wartość prędkości)
punktu znajdującego się na obwodzie koła jest n=3 razy większa od wartości prędkości punktu
n
położonego o d=4cm bliżej osi koła. Odp. R =
d = 6cm
n −1
Zad. 3(W) . Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu R.
Wiadomo iż czas jednego pełnego obiegu okręgu jest równy T. Znaleźć długość wektora
przyspieszenia z jakim porusza się ten punkt.
r
4π 2 R
Odp. a = a d =
T2
Zad. 4 (W). Dwie tarcze wirują ze stałą prędkością kątową wykonując 3000 obrotów w ciągu
minuty. Tarcze są umieszczone na wspólnej osi w odległości d=5cm. Równolegle do osi został
wystrzelony pocisk, który przebił obie tarcze. Otwór w drugiej tarczy jest przesunięty kątowo
względem otworu w pierwszej tarczy o kąt ∆ϕ = π / 10 rad. Jak była wartość prędkości pocisku
poruszającego się ze stałą prędkością?
Odp. V = 50m / s
Zad. 5 (W). Punkt materialny poruszający się ruchem jednostajnie przyspieszonym po okręgu ze
stałym przyspieszeniem kątowym wykonał n=100 pełnych obiegów okręgu w ciągu tk =20s. Jaką
prędkość kątową osiągnął ten punkt po upływie tego czasu? Zakładamy iż w chwili początkowej
punkt spoczywał.
rad
Odp. ω k = 20π
s
Zad. 6 (W). Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R ruchem jednostajnie
opóźnionym ze stałym ujemnym przyspieszeniem kątowym. Wiadomo iż w chwili początkowej t=0
wartość prędkości kątowej punktu materialnego była równa ω (t = 0 ) = ω 0 . W trakcie ruchu punktu
materialnego przebył on do chwili zatrzymana drogę S. Określić:
a) opóźnienie kątowe punktu materialnego ε op = −ε > 0 ( ε -przyspieszenie kątowe)
b) czas trwania ruchu
ω 02 R
2S
2S
ωo R
Zad. 7 (W). Motocykl startując do wyścigu przyspiesza do prędkości o wartości Vk = 120km / h po
przejechaniu drogi S=150m. Koło motocykla ma średnicę d=80 cm. Znaleźć wartość przyspieszenia
V2
1
kątowego kół motocykla. Odp. ε = k = 9,26 2
Sd
s
Zad. 8 (W). Samochód, którego koła maja średnice d jedzie z prędkością V0.
a) Obliczyć wartość prędkości kątowej ω 0 kół wokół ich osi.
b) W pewnej chwili samochód zaczyna hamować poruszając się ruchem jednostajnie
r
opóźnionym. Jakie była wartość opóźnienia kątowego kół ε op = ε , jeśli po włączeniu
hamulców obróciły się jeszcze n razy? Obliczyć drogę hamowania S. Określić związek
r
r
wektora przyspieszenia kątowego ε z wektorem prędkości kątowej ω .
2V
V2
Odp.(częściowa) ω 0 = 0 , ε op = 02 , S = πdn
d
πd n
Zad. 9 (W). Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R ruchem jednostajnie
przyspieszonym z przyspieszeniem o stałej składowej stycznej równej at>0. Początkowa prędkość
punktu wynosiła zero.
a) Określić wartość przyspieszenia kątowego, z jakim porusza się ten punkt.
b) Znaleźć wartość prędkości kątowej tego punktu po czasie t od początku ruchu.
c) Znaleźć drogę kątową przebytą przez punkt do tego czasu.
d) Znaleźć drogę (liniową) S przebytą przez ten punkt do tego czasu.
e) Znaleźć wartość przyspieszenia dośrodkowego (normalnego) an(t) tego punktu po czasie t
od początku ruchu oraz długość wektora przyspieszenia.
f) Znaleźć kąt, jaki tworzy wówczas wektor przyspieszenia z wektorem prędkości ciała po
czasie t od początku ruchu
Odp. (częściowa)
at
at t 2
at t 2
at t 2
a) ε = ;
c) ∆ϕ =
d) S =
f) tgα =
R
2R
2
R
Zad. 10 (W). Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R z przyspieszeniem o stałej
składowej stycznej a t bez prędkości początkowej. Po jakim czasie t1 od chwili rozpoczęcia ruchu
Odp. ε op =
t=
składowa normalna przyspieszenia (przyspieszenie dośrodkowe) a n będzie dwa razy większa od
2R
at
Zad. 11 (W). Punkt porusza się po okręgu ruchem jednostajnie przyspieszonym ze stałym
przyspieszeniem kątowym o wartości ε . Po upływie czasu tk od rozpoczęcia ruchu bez prędkości
początkowej wartość (długość wektora) przyspieszenia punktu była równa a. Znaleźć promień
a
okręgu po którym poruszał się punkt. Odp. R =
ε ε 2 t k4 + 1
składowej stycznej Odp. t1 =