czynnik x

5.4. ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI
KaŜdy wielomian moŜna rozłoŜyć na czynniki co najwyŜej drugiego stopnia.
.
Metody rozkładu wielomianu na czynniki
a) rozkład wielomianu , korzystając z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej:
Znak ∆
Postać iloczynowa
funkcji kwadratowej
∆>0
y = a( x − x1 )( x − x 2 )
∆=0
∆<0
y = a ( x − x 0 )2
nie ma postaci
iloczynowej
b) wyciąganie czynnika przed nawias;
c) zastosowanie wzorów skróconego mnoŜenia:
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 - kwadrat sumy
(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 - kwadrat róŜnicy
a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) - róŜnica kwadratów
(a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 - sześcian sumy
(a − b )3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 - sześcian róŜnicy
a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 − ab + b 2 ) - suma sześcianów
a 3 − b 3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 ) - róŜnica sześcianów
d) grupowanie wyrazów
Przykład 5.4.1. Wielomian W ( x) = 2 x 3 − 4 x 2 rozłóŜ na czynniki wyciągając czynnik przed
nawias.
Rozwiązanie
W ( x) = 2 x 3 − 4 x 2
W ( x) = 2 x 2 (x − 2)
Komentarz
Przed nawias wyciągamy czynnik
2x 2 .
Przykład 5.4.2. Wielomian W ( x) = x 4 − 6 x 2 + 9 rozłóŜ na czynniki stosując wzory
skróconego mnoŜenia.
Rozwiązanie
Komentarz
Do rozkładu wielomianu W zastosujemy wzór
skróconego mnoŜenia
2
2
2
W ( x) = x 4 − 6 x 2 + 9
( )2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32
2
W ( x) = (x 2 − 3)
(a − b )
W ( x) = x 2
( 3 )2 
2
3 )(x + 3 )]
2
2
3 ) (x + 3 )
2
W ( x) =  x 2 −

[(
W ( x) = (x −
W ( x) = x −
= a − 2ab + b
Do rozkładu czynnika
skróconego mnoŜenia
2
2
x 2 − 3 stosujemy wzór
a − b = (a − b )(a + b )
Przykład 5.4.3. Wielomian W ( x) = −2 x 4 − x 2 + 1 rozłóŜ na czynniki wykorzystując postać
iloczynową funkcji kwadratowej.
Rozwiązanie
Komentarz
W ( x ) = −2 x 4 − x 2 + 1
Wprowadzając zmienną pomocniczą t = x
wielomian W(x) zapisujemy jako trójmian
kwadratowy.
( )2 − x 2 + 1
W ( x ) = −2 x 2
2
t = x2
W (t ) = −2t 2 − t + 1
a = −2; b = −1; c = 1
∆ = b 2 − 4ac = (− 1)2 − 4 ⋅ (− 2 ) ⋅ 1 = 9
t1 =
− b − ∆ − (− 1) − 9 − 2 1
=
=
=
2a
2 ⋅ (− 2 )
−4 2
Doprowadzamy trójmian kwadratowy
W (t ) = −2t 2 − t + 1 do postaci iloczynowej . W
tym celu obliczamy
∆.
∆ > 0 , dlatego obliczamy t1 ,t 2 i
wykorzystujemy wzór y = a (t − t1 )(t − t 2 )
− b + ∆ − (− 1) + 9
4
=
=
= −1
2a
2 ⋅ (− 2 )
−4
 1
W (t ) = −2 t − (t + 1)
 2
t2 =
(
)
1

W ( x) = −2 x 2 −  x 2 + 1
2

2

1  2

2
W ( x ) = −2 x −
x +1

2 



1 
1 2
 x +
 x +1
W ( x) = −2 x −


2 
2 

(
Powracamy do zmiennej x , za
t podstawiamy x 2
)
2
Czynnik x + 1 nie moŜna rozłoŜyć na czynniki
pierwszego stopnia ,bo ∆ < 0 .
(
Do rozkładu czynnika
x2 −
skróconego mnoŜenia
a 2 − b 2 = (a − b )(a + b )
)
1
stosujemy wzór
2
Przykład 5.4.4. Wielomian W ( x) = 5 x 3 + 3 x 2 + 10 x + 6 rozłóŜ na czynniki metodą
grupowania wyrazów.
Rozwiązanie
Komentarz
W ( x) = 5 x 3 + 3 x 2 + 10 x + 6
Grupujemy wyrazy wielomianu.
W ( x) = x 2 (5 x + 3) + 2(5 x + 3)
W pierwszej grupie wyciągamy przed nawias
2
czynnik x , a w drugiej czynnik 2.
Powtarzający się czynnik 5 x + 3 wyłączamy
przed nawias.
2
Czynnik x + 2 nie moŜna rozłoŜyć na czynniki
pierwszego stopnia ,bo ∆ < 0 .
(
W ( x) = (5 x + 3) x 2 + 2
(
)
Odp. W ( x) = (5 x + 3) x 2 + 2
)
Przykład 5.4.5. Wielomian W ( x) = x 3 + 2 x 2 − 3 rozłóŜ na czynniki moŜliwie najniŜszego
stopnia.
Rozwiązanie
3
Komentarz
2
W ( x) = x + 2 x − 3
W ( x) = x 3 − x 2 + 3x 2 − 3x + 3x − 3
W ( x) = x 3 − x 2 + 3x 2 − 3x + 3x − 3
W ( x) = x 2 ( x − 1) + 3 x( x − 1) + 3( x − 1)
(
W ( x) = ( x − 1) x 2 + 3 x + 3
(
)
Odp. W ( x) = ( x − 1) x 2 + 3 x + 3
)
Wielomian W(x) rozłoŜymy na czynniki metodą
grupowania wyrazów.
ZauwaŜmy, Ŝe jednym z pierwiastków
wielomianu W(x) jest liczba 1 ( W(1)= 0 ).
Zatem wielomian zapisujemy w takiej postaci ,
aby po zastosowaniu metody grupowania
wyrazów jednym z czynników był x − 1 .
Grupujemy wyrazy wielomianu.
W pierwszej grupie wyciągamy przed nawias
2
czynnik x , w drugiej czynnik 3 x , a w trzeciej
czynnik 3.
Powtarzający się czynnik x − 1 wyłączamy przed
nawias.
2
Czynnik x + 3 x + 3 nie moŜna rozłoŜyć na
czynniki pierwszego stopnia ,bo ∆ < 0 .
Przykład 5.4.6. Wielomian W ( x) = x 4 − 8 x rozłóŜ na czynniki moŜliwie najniŜszego stopnia.
Rozwiązanie
Komentarz
Wyciągamy czynnik x przed nawias
W ( x) = x − 8 x
4
( )
W ( x) = x (x 3 − 2 3 )
W ( x) = x( x − 2 )(x 2 + 2 x + 2 2 )
W ( x) = x(x − 2 )(x 2 + 2 x + 4 )
W ( x) = x x 3 − 8
Do rozkładu czynnika x
skróconego mnoŜenia
3
3
2
3
− 8 stosujemy wzór
(
a − b = (a − b ) a + ab + b 2
x 2 + 2x + 4
a = 1; b = 2; c = 4
)
2
Czynnik x + 2 x + 4 nie moŜna rozłoŜyć na
czynniki pierwszego stopnia , poniewaŜ ∆ < 0
∆ = b 2 − 4ac = 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = −12
(
Odp. W ( x) = x(x − 2 ) x 2 + 2 x + 4
)
Przykład 5.4.7. Wielomian W ( x) = x 4 + 4 rozłóŜ na czynniki moŜliwie najniŜszego stopnia.
Rozwiązanie
Komentarz
Wielomian W(x) zapisujemy w postaci róŜnicy
kwadratów.
4
W ( x) = x + 4
W ( x) = x 4 + 4 x 2 − 4 x 2 + 4
(
)
W ( x) = x 4 + 4 x 2 + 4 − 4 x 2
( )
2


W ( x) =  x 2 + 2 ⋅ x 2 ⋅ 2 + 2 2  − 4 x 2


( ) − (2 x)
W ( x) = (x 2 + 2 − 2 x )(x 2 + 2 + 2 x )
W ( x) = (x 2 − 2 x + 2 )(x 2 + 2 x + 2 )
Odp. W ( x) = (x 2 − 2 x + 2 )(x 2 + 2 x + 2 )
W ( x) = x + 2
2
2
2
Stosując wzór skróconego mnoŜenia
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 wyraŜenie
x 4 + 4 x 2 + 4 zapisujemy jako kwadrat sumy.
Stosujemy wzór skróconego mnoŜenia
2
2
a − b = (a − b )(a + b )
2
Czynnik x + 2 x + 2 nie moŜna rozłoŜyć na
czynniki pierwszego stopnia , poniewaŜ ∆ < 0
2
Czynnik x − 2 x + 2 nie moŜna rozłoŜyć na
czynniki pierwszego stopnia , poniewaŜ ∆ < 0
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 5.4.1. Wielomiany rozłóŜ na czynniki moŜliwie najniŜszego stopnia:
a) (1pkt.) W ( x) = x 2 − 4 x + 3
b) (1pkt.)
W ( x) = 5 x 3 + 6 x 2
c) (1pkt.)
W ( x) = x 2 − 25
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Liczba punktów
Rozkład wielomianu na czynniki moŜliwie najniŜszego
stopnia.
1
Ćwiczenie 5.4.2. Wielomiany rozłóŜ na czynniki moŜliwie najniŜszego stopnia:
a)
(2pkt.) W ( x) = 5 x 5 − 10 x 3 + 5 x
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
b)
RozłoŜenie na czynnik czwartego stopnia i czynnik
pierwszego stopnia.
Rozkład wielomianu na czynniki moŜliwie najniŜszego
stopnia.
Liczba punktów
1
1
(2pkt.) W ( x) = x 3 − 4 x 2 − 25 x + 100
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
c)
Odpowiedź
Odpowiedź
RozłoŜenie na czynnik drugiego stopnia i czynnik
pierwszego stopnia.
Rozkład wielomianu na czynniki moŜliwie najniŜszego
stopnia.
Liczba punktów
1
1
(2pkt.) W ( x) = x 4 + 2 x 3 − 8 x − 16
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
Odpowiedź
RozłoŜenie na czynnik trzeciego stopnia i czynnik
pierwszego stopnia.
Rozkład wielomianu na czynniki moŜliwie najniŜszego
stopnia.
Liczba punktów
1
1