Transformata Fouriera funkcji z L2(R1)

Transformata Fouriera funkcji z L2 (R1 )
zadania na kolokwium
Zad. 1. Oblicz
1.
2.
t2
0 (a2 +t2 )(b2 +t2 )
R ∞ dx
0 (1+x2 )2 .
R∞
dt,
Zad. 2. (2002) Oblicz całkę
∞
Z
dt
(a2
0
+
Zad. 3. (2002) Oblicz
Z
t2 )(b2
∞
0
+ t2 )
,
a, b > 0.
sin at sin bt
dt.
t2
Zad. 4. (2003) Wiedząc, że transformata Fouriera funkcji
f (x) = cos ax 1l[−π,π] (x)
ma postać
sin(a − 2πξ)π sin(a + 2πξ)π
fˆ(ξ) =
+
,
a − 2πξ
a + 2πξ
a) podaj wzór odwrotnej transformaty Fouriera funkcji f ,
b) wyznacz funkcję g, której transformata ma postać
ĝ(ξ) =
sin(a − ξ)π sin(a + ξ)π
+
,
a−ξ
a+ξ
c) oblicz całkę
Z
∞
−∞
sin(a − ξ)π sin(a + ξ)π
+
a−ξ
a+ξ
2
Zad. 5. (2003) Wiedząc, że transformata Fouriera funkcji
f (x) = e−λx 1I(0,∞) (x),
λ>0
ma postać
fˆ(ξ) =
1
,
λ + 2iπξ
a) podaj wzór odwrotnej transformaty Fouriera funkcji f ;
b) wyznacz funkcję g, której transformata ma postać
ĝ(ξ) =
1
;
λ + iξ
c) oblicz całkę
Z
∞
−∞
(a − iξ)(b + iξ)
dξ.
(a2 + ξ 2 )(b2 + ξ 2 )
1
dξ.