Lista 1 zada« z analizy matematycznej. Biotechnologia. Studia in

Lista 1 zada« z analizy matematycznej. Biotechnologia. Studia in»ynierskie
1. Napisa¢ cztery pocz¡tkowe wyrazy ci¡gu o danym wyrazie ogólnym:
an =
3n−2
2n ,
bn =
n+5
2n+1 ,
cn = (−1)n +
1
n;
dn =
√
n!−1
,
2n2 +3
2n2 − n en =
fn =
2n +3n
4n .
2. Dla podanych ci¡gów napisa¢ w najprostszej postaci wzory okre±laj¡ce wskazane wyra»enia:
a)
an+3
an ;
an = n!,
b) bn
=
n2 bn+1
2n , bn ;
c) cn
= (−1)n , cn+1 − cn ;
d)
dn+1
n+2
2 , dn .
dn =
3. Zbada¢, czy podane ci¡gi s¡ monotoniczne od pewnego miejsca:
an =
n
n+1 ,
bn =
10n
n! ,
π
cn = cos 2n
, dn =
n!(2n)!
(3n)! ,
en =
3n+2
n+4 ,
fn =
n!
nn .
4. Zbada¢, czy podane zbiory s¡ ograniczone i znale¹¢ ich kresy:
A = {(−3)n : n ∈ N}, B = {3−n : n ∈ N}, C = {2z : z ∈ Z}, D =
n
2n
n+3
:n∈N
o
E = {3−|x| : x ∈ R},
,
F = { x1 : x ∈ (0, 1]}, G = {x ∈ Q : x2 6 3}, H = {x ∈ R : x2 − 5x + 4 6 0}.
5. Dla ka»dego z danych ci¡gów wskaza¢ indeks
n0 ,
dla którego wyrazy o indeksach
n > n0
speªniaj¡ dan¡
nierówno±¢. Jakie s¡ granice tych ci¡gów?
a)
an =
2
n,
an < 0, 00001;
b) bn
= 2n , bn > 1000;
= 1 + ( 12 )n , |cn − 1| < 0, 001.
c) cn
6. Wyznaczy¢ granice ci¡gów:
a)
√
( n+4)2
(2n2 +3)2
(2n+1)(2n−1)
2n2 −3n+7
n3 −2n2 +5
,
b)
lim
,
, c) lim (3n+6)(2n+2) , d) lim (0,5n+1)3 , e) lim
2 +5n−6
4
2n+13
3n
n→∞
n→∞ n −9
n→∞
n→∞
n→∞
lim
5−3n
f) lim ( 1−2n )2 , g) lim
n→∞
n→∞
l)
lim (n −
√
n→∞
q
√
(3n+5)2
7n −2
5·8n +11
3·22n −5
,
h)
lim
,
i)
lim
,
j)
lim
,
k)
lim
(
n
n
n
2
n−1
(1−2n)
n→∞ 3·8 −1
n→∞ 8·4 +5
n→∞ 2−7
n→∞
n2 + 7n − 1),
m)
+2−
√
n),
√
√
lim ( 2n2 + 10n − 3 − 2n2 − 2n + 3).
n→∞
7. Korzystaj¡c z twierdze« o granicach niewªa±ciwych wyznaczy¢:
a)
1
1
1+ n
2+ n
, b) lim
1 , c) lim (n
n
n→∞
n→∞ − n
n→∞
lim
+ n1 ), lim (3 + n1 ) · n,
n→∞
d)
lim ( 1 )n , e) lim (2
n→∞ n
n→∞
+ n1 )n ,
f)
1
lim n−2+ n .
n→∞
8. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach znale¹¢ podane granice:
√
3n + 5n + 7n , b) lim cosn n , c) lim n 10 + sin n,
n→∞
n→∞ q
n→∞
√
n·sin 2n
n
d) lim
,
f)
lim n n2 + n · 2n .
( 87 )n + ( 87 )n , e) lim (3n−1)
2
a)
√
n
lim
n→∞
n→∞
n→∞
9. Korzystaj¡c ze zbie»no±ci odpowiednich ci¡gów do liczby
a)
lim (1 +
n→∞
e
obliczy¢ podane granice:
6 n
n n+1
lim ( n+1
)
, c) lim ( n+3
)n+2 , d) lim (1
n ) , b) n→∞
n→∞ n
n→∞
− n2 )−n .
10. Wyznaczy¢ sumy danych szeregów (w a) i b) napisa¢ najpierw wzór na sum¦
n
pierwszych wyrazów, a w
c) i d) skorzysta¢ ze wzoru na sum¦ szeregu geometrycznego):
a)
∞
X
n=1
1
,
n(n + 1)
11. Obliczy¢
a) log√5 5
h)
√
3
b)
∞
X
n=1
n+1
log
,
n
c)
∞
X
2n + 3n
n=1
4n
,
d)
∞
X
2n+1 + 5 · 3n
n=1
5n+1
.
p
√
√
1
5− 31 log2 27
2+log
4
3
log2 8 2, d) log 1 81 3, e) 3
, f) 2
, g)
102+ 2 log 16
3
loga b · logb a dla a, b > 0, a, b 6= 1, j) loga b + log 1 b dla a, b > 0, a 6= 1.
5, b) log √
3 27, c)
3
log2 3 · log3 6 · log6 8,
i)
a
12. Rozwi¡za¢ równania i nierówno±ci:
log2√2 x = −3, b) logx 25 = 2, c) log4 log2 log3 (x2 − 63) = 21 , d) 2 logx 3 + log3x 3 + 3 log9x 3 = 0,
e) log 5 + log(x + 10) − 1 = log(21x − 20) − log(2x − 1), f) ln(x2 + 1) > ln(3x − 1),
g) log 1 (2x + 5) < log 1 (16 − x2 ) + 1, h) (log2 x)2 + log2 x − 2 6 0.
a)
5
5
13. Okre±li¢ dziedziny naturalne i zbiory warto±ci funkcji:
a)
f (x) =
g)
h(x) =
√
3
x,
b)
g(x) =
x3 −1
x−1 , h)
√
c)
h(x) = sin x1 ,
p(x) = log3 (1 + |x|),
14. Okre±li¢ funkcje zªo»one
a)
−x2 ,
f (x) = x1 , g(x) = x2 ;
i)
d)
q(x) =
f ◦ f, f ◦ g, g ◦ f, g ◦ g ,
b)
p(x) = log3 | cos x|,
√ 1
, j)
x2 −1
r(x) =
e)
f (x) =
√
2x
2x −4 .
je»eli:
f (x) = log2 x, g(x) = 4x ;
c)
f (x) =
√
x, g(x) = x4 .
sin x,
f)
g(x) =
1
1+cos x ,