Lista zadań - granica funkcji wielu zmiennych

2. Granice funkcji wielu zmiennych,
ci¡gªo±¢.
Zadanie 1
Zbadaj istnienie granicy funkcji
(a)
f (x, y) =
(b)
f (x, y) =
(c)
f (x, y) =
sin(xy)
x
0
dla
dla
f : R2 → R
:
x 6= 0
x=0
xy
x2 +y 2
√
xy
x−y
dla
0
dla
x 6= 0
x=0
f (x, y) =
(e)
f (x, y) =
(f )
1
f (x, y) = x sin( x2 +y
2)
(g)
f (x, y) = (1 + x2 + y 2 ) x2 +y2
(h)
f (x, y) =
(x−1)(y−2)
(x−1)2 +3(y−2)2
(i)
f (x, y) =
x+y
x2 +xy+y 2
(j)
f (x, y) =
x2 +y 2
x4 +y 4
(0, 0),
w punkcie
(0, 0),
w punkcie (0,0),
9+x2 +y 2 −3
x2 +y 2
(d)
w punkcie
w punkcie
(0, 0),
w punkcie
(0, 0),
x2 y
x2 +y 2
1
w punkcie
(0, 0),
w punkcie
(0, 0),
w punkcie
(1, 2),
przy
przy
(x, y) → (+∞, +∞),
(x, y) → (+∞, +∞).
Zadanie 2
f (x, y) = (x+y) sin( x1 )cos( y1 ) dla (x, y) 6= (0, 0). Poka», »e istnieje granica
lim
f (x, y), natomiast granice iterowane
Niech
(x,y)→(0,0)
lim ( lim f (x, y))
x→0 y→0
lim ( lim f (x, y))
y→0 x→0
nie istniej¡ .
Zadanie 3
Niech
f (x, y) =
x2 y 2
x2 y 2 +(x−y)2 dla
(x, y) 6= (0, 0).
lim ( lim f (x, y))
x→0 y→0
Poka», »e granice iterowane
lim ( lim f (x, y))
y→0 x→0
istniej¡ i s¡ równe 0, ale nie istnieje granica
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y).
Zadanie 4
Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji
(
(a)
f (x, y) =
(
(b)
f (x, y) =
f : R2 → R:
x2 y 2
x2 +y 2
dla
0
dla
x4 −y 4
x4 +y 4
dla
0
dla
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
Zadanie 5
Znajd¹ zbiory punktów ci¡gªo±ci funcji
p
x2 + y 2
f (x, y) =
2
dla
dla
x>0
x<0
Zadanie 6
Poka», »e funkcja
f (x, y) =
2xy
x2 +y 2 ,
dla
0,
dla
jest ci¡gªa jako funkcja zmiennych
funkcja dwóch zmiennych.
x, y
x2 + y 2 =
6 0,
x2 + y 2 = 0.
oddzielnie, lecz nie jest ci¡gªa jako