Zad 1

Zad. 1. Zbadano wydajność odmiany pomidorów na 100 poletkach doświadczalnych. W
wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność na w tonach na hektar x =30 i s 2  x  =7
. Przyjmując, że rozkład plonów pomidora jest normalny, oszacować metodą przedziałową
przeciętne jego plony na poziomie ufności 1−α=0, 95 .
Zad. 2. Pewien prywatny przedsiębiorca jest właścicielem sieci małych i średnich sklepów
spożywczych. Przedmiotem zainteresowania przedsiębiorcy są wzajemne zależności:
dziennego obrotu  Y  oraz liczby zatrudnionych ekspedientek  X  . Tablica przedstawia
niezbędne do analizy informacje o sklepach tego przedsiębiorcy:
Wielkość
dziennego obrotu w
tys. zł. (y)
Liczba
ekspedientek (x)
6
2
4
5,5
6,6
3
2
2
4
5
a. Obliczyć współczynnik korelacji liniowej Pearsona
b. Oszacować funkcję regresji Y względem X.
c. Wyznaczyć współczynnik determinacji i zbieżności.
d. Dokonać interpretacji wyników.
Zad. 3. Spośród 300 losowo wybranych mieszkańców wsi należących do gminy Trzciana
Dolna tylko 50 korzysta z prenumeraty czasopism. Wyznaczyć na poziomie ufności
1−α=0, 95 przedział ufności dla frakcji stałych prenumeratorów czasopism gminy Trzciana
Dolna.
Zad. 4. W losowo wybranej próbie 200 studentów pewnej uczelni 30% osób wydaje
miesięcznie na gazety i czasopisma ponad 10 zł. Wyznaczyć przedział ufności dla odsetka
studentów, którzy wydają na ten cel ponad 10 zł na poziomie ufności 1−α=0,9 .
Zad. 5. Losowa próba n=200 studentów pewnej uczelni dała odchylenie standardowe s=7
papierosów wypalanych dziennie przez studentów tej uczelni. Na poziomie istotności
α=0,05 zweryfikować hipotezę, że odchylenie standardowe liczby wypalanych dziennie
papierosów przez studentów wynosi 5.
Zad. 6. Wykonano niezależne pomiary wydajności pracy 6 pracowników pierwszej zmiany i 8
pracowników drugiej zmiany. Dla pierwszej zmiany uzyskano następujące wydajności (w
szt/h) 6,4,5,6,8,7, zaś dla drugiej zmiany: 7,3,3,5,4,5,8,5. Zweryfikować, przyjmując poziom
istotności α=0,05 , hipotezę o jednakowym zróżnicowaniu wydajności pracowników obu
zmian.
Zad. 7. Zapytano 200 losowo wybranych przedstawicieli rodzin, kto podejmuje poważniejsze
decyzje finansowe? W 36% tych rodzin decyzje podejmuje małżonek. Jaki jest 99% przedział
ufności dla odsetka rodzin, w których decyzje podejmuje małżonek? Podać interpretację
wyznaczonego przedziału.
Zad. 8. Obserwując liczbę kilometrów, jaką w ciągu roku przebywają prywatne samochody
osobowe, otrzymano w losowej próbie 100 samochodów x =12500 km i s=2400 km. Na
poziomie istotności
α=0,05 zweryfikować hipotezę, że przeciętna ilość kilometrów
przebytych rocznie przez prywatny samochód wynosi 12 000 km.
Zad. 9. W celu zbadania zależności między wydatkami X na czasopisma i wielkością dochodu
Y wybrano losowo 10 rodzin i otrzymano następujące wyniki
średnie wydatki x =58 tys. zł; średni dochód y =6 mln zł oraz
n
∑  x i −x  y i − y =584 ,5 ;
i=1
n
∑  x i −x  =6860 ;
2
i=1
n
∑  yi − y  2=63,7 .
i=1
a. Czy gospodarstwa domowe są bardziej zróżnicowane pod względem wydatków czy
też dochodów?
b. Ocenić siłę zależności liniowej między badanymi zmiennymi.
c. Oszacować wielkość wydatków na czasopisma przy dochodzie rodziny wynoszącym
10 mln zł.
Zad. 10. Pobrano losowo dwie próby: 9-elementową próbę lekarzy wiejskich i 8-elementową
próbę lekarzy miejskich. Średni wiek lekarzy wiejskich wynosił 42 lata, a lekarzy miejskich
46 lat. Odchylenie standardowe
wieku lekarzy zatrudnionych na wsi i w mieście było
wynosiło odpowiednio 2,4 i 2,6. Zakładając, że rozkład wieku lekarzy jest normalny, zbadać
czy zróżnicowanie wieku lekarzy na wsi i w mieście jest jednakowe. Czy średni wiek
lekarzy na wsi jest mniejszy niż w mieście?
Zad. 11. W zakładach produkujących chemikalia wylosowano z populacji 2000 pracowników
niezależną próbę 260 osób i przeprowadzono wśród nich ankietę na temat stanu BHP. 75%
pracowników oceniło warunki bezpieczeństwa i higieny pracy jako niezadowalające.
Przyjmując poziom ufności 1−α=0, 95 oszacować metodą przedziału ufności frakcję
pracowników niezadowolonych z istniejących warunków BHP.
Zad. 12. Wylosowana do badań budżetów rodzinnych w pewnym roku próba 150 rodzin
zamieszkałych w Warszawie dała średnią x =400 zł miesięcznych wydatków na mieszkanie
oraz odchylenie standardowe s=120 zł . Natomiast losowa próba 120 rodzin zamieszkałych
w Łodzi dała średnią x =420 zł miesięcznych wydatków na mieszkanie oraz odchylenie
standardowe s=150 zł . Przyjmując poziom istotności α=0,01 zweryfikować hipotezę o
jednakowych średnich wydatkach na mieszkanie rodzin w Warszawie i Łodzi.
Zad. 13. Wylosowano 10 par zawierających związek małżeński i otrzymano dla nich
następujące dane o wieku (w latach) kobiety i mężczyzny.
wiek kobiety X
wiek mężczyzny Y
20 25 30 28 34 30 20 23 22 28
21 27 31 31 36 42 23 26 27 30
Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że istnieje dodatnia korelacja
między wiekiem osób zawierających małżeństwo.
Zad. 14. Zbadano jak kształtuje się wysokość obrotów firm (w mln zł) w zależności od liczby
reklam pewnego wyrobu:
Liczba reklam xi
Wielkość obrotu yi
3
5
4
9
6
7
8
115 133 142 150 148 152 150
1. Obliczyć oraz zinterpretować współczynnik regresji liniowej opisującej zależność
wysokości obrotów firm od liczby reklam danego wyrobu.
2. Na poziomie istotności 0,1 zbadać statystyczną istotność współczynnika regresji
opisującej daną zależność.
Zad. 15. W 1996 roku zebrano informacje w sześciu krakowskich uczelniach o liczbie
studentów Y oraz o powierzchni  w m 2  sal dydaktycznych tych uczelni X.
Uczelnia
Liczba studiujących (w tys.)
Powierzchnia sal
dydaktycznych (w tys. m 2 )
AR
4
AE
12
WSP
6
UJ
21
PK
9
ASP
1
4,5
8,8
4,2
17
6
1,8
Należy:
1. Oszacować równanie regresji zmiennej Y względem zmiennej X.
2. Dokonać oceny stopnia dopasowania równanie regresji obliczając odchylenie
standardowe reszt, błędy ocen parametrów oraz współczynniki determinacji i
zbieżności
3. Obliczyć korelacji liniowej Pearsona.
4. Dokonać interpretacji wyników
Zad. 16. W grupie losowo wybranych 300 osób cierpiących na pewną chorobę zanotowano 60
zgonów. Na poziomie ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla współczynnika
śmiertelności w tej chorobie. Zinterpretować otrzymany przedział.
Zad. 17. Pobrano dwie losowe próby dwóch różnych odmian marchwi, a następnie zważono
2
ich korzenie. Dla I odmiany otrzymano x 1 =240 g oraz S 1  x  =2500 przy liczności n 1=20
2
, zaś dla odmiany II uzyskano x 2=220 g oraz S 2  x =3600 przy liczebności n 2 =15 . Na
poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że średnia masa obu odmian jest taka
sama.
Zad. 18. Z populacji studentów kończących Wydział Zarządzania wylosowano niezależnie 12
osób. Następnie odnotowano liczbę punktów jaką każdy z nich uzyskał na egzaminie
wstępnym oraz średnią z wszystkich egzaminów na studiach. Dane te pozwoliły wyznaczyć
wartość współczynnika korelacji liniowej między tymi cechami 0,522. Zweryfikować na
poziomie istotności α=0,05 hipotezę, że istnieje zależność między wynikami egzaminu
wstępnego a ocenami osiąganymi w trakcie studiów.
Zad. 19. W celu ustalenia zależności wydajności pracy w szt./godz (y). od stażu pracy w
latach (x), zbadano 35 losowo wybranych pracowników pewnej firmy. Po dokonaniu obliczeń
otrzymano następujące wyniki:
∑ xi2 =3468
∑  x i −x  y i − y =−275
2
∑  x i −x  =720
∑  yi − y 
2
=210
2
∑  yi − y i  =54
1. Obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji liniowej Pearsona.
2. Obliczyć i zinterpretować współczynnik regresji między wydajnością a stażem pracy.
3. Obliczyć oraz zinterpretować średni błąd oceny modelu i współczynnik zmienności
losowej, wiedząc że średnia wydajność pracy wynosi 8 szt./godz.
4. Obliczyć oraz zinterpretować współczynnik determinacji i współczynnik zbieżności.
5. Czy równanie regresji cechy X względem cechy Y ma sens? Uzasadnić.
Zad. 20. W celu ustalenia zależności między dochodami przypadającymi na członka rodziny a
wydatkami na żywność wybrano do próby 7 rodzin. Otrzymano następujące wyniki:
Dochody X Wyd. na żywność
(w 100 zł.)
Y (w 100zł)
Y – teor.
1,5
0,5
0,5
1,8
0,6
2,0
0,9
0,8
1,9
0,8
0,8
3,0
1,5
1,4
4,1
1,8
2,0
4,5
2,3
2,2
Na podstawie powyższych danych należy:
A. oszacować parametry liniowej funkcji regresji opisującej zależność zmiennej Y od X,
B. uzupełnić brakujące dane w tabeli,
C. oszacować błędy ocen tych parametrów,
D. znaleźć wartość współczynników determinacji i indeterminacji liniowej,
E. zinterpretować otrzymane wyniki,
F. czy zależność zmiennej X od zmiennej Y ma sens?
Zad. 21. Zbudować przedział ufności dla wariancji będącej miarą zróżnicowania gęstości
drzew w lesie, jeśli w 14 wylosowanych kwadratach lasu, o powierzchni 1 ara każdy, średnia
liczba drzew wynosi x =29 oraz S 2 =13 , 44 . Badania wcześniejsze potwierdzają, że
rozkład gęstości drzew w lesie jest rozkładem normalnym. Przy konstrukcji przedziału
ufności przyjąć współczynnik ufności 0,9