O matematyczności przyrody

zFelietony
naszych lekcji
O matematyczności przyrody
i matematycznych modelach zjawisk fizycznych
n HIERONIM LALEK
Prawa fizyki, które są lepszymi lub gorszymi przybliżeniami praw natury (szersza
dyskusja w [1]), przedstawiane są językiem
matematyki. Innymi słowy, przyroda wydaje się matematyczna, co stanowi motyw
wielu kontrowersyjnych dyskusji dotyczących przyczyn tego stanu…
Narzucają się dwie możliwości: przyroda
została stworzona według „jakiegoś matematycznego przepisu” lub matematyka jest
odzwierciedleniem struktur przyrody i ich
dynamiki.
W naszym przekonaniu owa matematyczność przyrody wynika z faktu, że matematyka powstała z wieloletniego doświadczalnego i pragmatycznego kontaktu człowieka
z przyrodą.
Co przez to rozumiemy?
Zaczęło się od racjonalnego określania liczebności i sposobów podziału praktycznych
dóbr materialnych niezbędnych w funkcjonowaniu społeczeństw niezależnie od systemu politycznego i ich organizacji, mierzenia
długości odcinków, wielkości kątów, pola
powierzchni itd.
Tak powstały m.in. podstawy geometrii,
które doskonale uporządkował Euklides.
W kolejnych ludzkich pokoleniach przyszli matematycy wysysali z mlekiem matki
intuicyjne podstawy wiedzy geometrycznej.
Wreszcie doszło do sformułowania podstaw analizy matematycznej, a bardziej
abstrakcyjne działy matematyki powstały
na drodze uogólniania jej praktycznych
aspektów. Dotyczy to też geometrii nieeuklidesowych, które znalazły zastosowanie
w fizyce relatywistycznej i teorii przestrzeni
funkcyjnych, która ma także strukturę geometryczną. Również ona znalazła zastosowanie w fizyce.
58
Skoro matematyka pochodzi z naturalnego doświadczalnego postrzegania przyrody, to nic dziwnego, że tak znakomicie
nadaje się do prezentacji praw rządzących
przyrodą, tworzonych przez nasz system
poznania i dla niego czytelnych.
Nie wszyscy pewnie zgadzają się z takim
poglądem. Niektórzy starają się nadać matematyce bardziej mistyczne znaczenie.
Przeanalizujmy teraz następujący fikcyjny, ale pouczający przykład.
Załóżmy, że jesteśmy stworzeniami zamieszkującymi planetę Wenus otoczoną
gęstą i nieprzezroczystą atmosferą. Nasze
oczy są przystosowane do rejestracji promieniowania podczerwonego, dzięki czemu możemy widzieć na zasadzie noktowizji
mimo panujących tam ciemności. W atmosferze planety występują duże gradienty
temperatury i gęstości. Powoduje to, że
wszelkie promieniowanie – również podczerwone – nie porusza się po liniach prostych. Efekty tym spowodowane, noszące
nazwę miraży, można zauważyć nad gorącym pustynnym piaskiem czy nad gorącą
asfaltową drogą.
Łatwo zauważyć, że jeśli Wenusjanie
zechcą uporządkować swą wiedzę na temat mierzenia kątów, wyznaczania kierunków i odległości, to dojdą do sformułowania geometrii krzywoliniowej. Prostoliniową geometrię euklidesową mogliby odkryć w wyniku abstrakcyjnych rozważań
uogólniających geometrię dla nich praktyczną.
Tymczasem na Ziemi geometria euklidesowa powstała najpierw, ponieważ promieniowanie świetlne odbierane przez
nasz zmysł wzroku rozchodzi się po liniach
prostych.
fizyka w szkole
z naszych lekcji
Matematyczność przyrody oznacza, że
zjawiska fizyczne opisywane są modelami
matematycznymi, wśród których równania
różniczkowe mają szczególne znaczenie.
Rozwiązania tych równań odpowiadają
mierzalnym wielkościom fizycznym właściwym danym zjawiskom.
Rozważmy jako przykład oscylator harmoniczny, którego najprostszymi realizacjami są wahadło matematyczne lub drgania ciężarka obciążającego sprężynę
w zakresie małych wychyleń i przy zaniedbywanym tłumieniu.
Oznaczymy wychylenie w funkcji czasu
przez y(t). Model matematyczny oscylatora
przyjmie postać równania różniczkowego
drugiego rzędu:
d2y
+ ω2 y = 0,
dt 2
(1)
gdzie ω2 jest kombinacją stałych charakteryzujących własności układu.
Dokonajmy kilku uzgodnień ułatwiających zrozumienie idei naszych rozważań.
Równanie (1) zawiera niewiadomą
funkcję oraz jej drugą pochodną. A zatem
jest równaniem różniczkowym drugiego
rzędu.
Funkcja w najogólniejszej postaci, która
wraz z jej drugą pochodną spełnia to równanie, jest jego rozwiązaniem ogólnym.
Funkcje, które stanowią szczególne przypadki rozwiązania ogólnego, są rozwiązaniami szczególnymi.
Ze względu na występującą w równaniu
drugą pochodną rozwiązanie ogólne powinno zawierać dwie dowolne stałe całkowania.
Jeżeli kilka funkcji różni tylko forma
występowania dowolnych stałych całkowania i da się je sprowadzić do tej samej postaci, to każda z nich po
uwzględnieniu identycznych warunków
brzegowych (początkowych) daje dokładnie jedno takie samo rozwiązanie.
Takie funkcje będziemy traktować
jako równoważne sobie.
Rozumienie treści zawartej w ostatnim
zdaniu zilustrujemy przykładem. Dane są
2/2012
trzy funkcje w formie następujących równań:
(a) y = Asin (ωt + ϕ0)
(b) y = Acos (ωt + ϕ1)
(c) y = A1sin ωt + A2cos ωt,
gdzie: A, A1, A2, ϕ0, ϕ1 są dowolnymi stałymi.
Podstawiając do równania (b):
ϕ1 = ϕ0 –π/2,
a do równania (c):
A1 = Asinϕ0 oraz A2 = Acosϕ0,
otrzymamy dokładnie równanie (a).
A zatem każda z wymienionych funkcji
po uwzględnieniu warunków początkowych daje dokładnie jedno takie samo rozwiązanie.
Wróćmy do naszego matematycznego
modelu oscylatora harmonicznego, który
prezentuje równanie (1).
Rozwiązanie tego równania można odgadnąć, nie zawracając sobie głowy ścisłymi rozważaniami, no i oczywiście rozwiązać w „sposób podręcznikowy”.
Najpierw spróbujmy odgadnąć rozwiązanie tego równania.
Równanie to ma specyficzną postać ułatwiającą rozwiązanie problemu tą drogą.
Musimy znaleźć taką funkcję, która
po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem czasu odtworzy się z dokładnością
do stałej multiplikatywnej –ω2.
Łatwo zauważyć, że niżej przedstawiona
ekspotencjalna funkcja zespolona spełnia
nasze równanie:
y = Ae ± i(ωt + ϕ0 ) , gdzie i = −1 ,
gdyż
d ⎡ ± i(ωt + ϕ0 ) ⎤
± i ( ωt + ϕ0 )
Ae
⎦ = ± Aiωe
dt ⎣
oraz
d 2 ⎡ ± i(ωt + ϕ0 ) ⎤
± i ( ωt + ϕ0 )
2
Ae
.
⎦ = − ω Ae
dt 2 ⎣
59
z naszych lekcji
Pytamy teraz: czy odgadnięte przez nas
rozwiązanie jest najogólniejszym i jedynym
rozwiązaniem równania (1), gdy jego część
rzeczywista poprawnie opisuje przebieg
zjawiska, a funkcje:
y = A sin ( ωt + ϕ0 ) i y = Acoss ( ωt + ϕ0 ) (2)
będące równoważnymi sobie odpowiednikami części rzeczywistej „odgadniętej”
funkcji, po uwzględnieniu warunków początkowych dają taką samą postać matematycznego opisu przebiegu zjawiska?
Uważamy, że tak, bo jeśli jakieś zjawisko
fizyczne jest opisywane przez pewne równanie różniczkowe, to równanie to powinno mieć tylko jedno ogólne rozwiązanie
dające jedyne rozwiązanie dla określonych
warunków brzegowych (początkowych).
Gdyby istniały inne rzeczywiste rozwiązania, to drgania oscylatora miałyby więcej
możliwości przebiegu lub – mówiąc ogólniej – zjawisko fizyczne przebiegałoby na
wiele sposobów. Tymczasem zjawiska zaliczane do obszaru fizyki klasycznej zachodzą zawsze w ten sam sposób, jeżeli tylko
warunki początkowe są takie same, a podczas jego przebiegu nie pojawiają się żadne
nowe oddziaływania na układ.
Pokażemy również, że rozwiązanie (2)
jest rzeczywiście jedynym rozwiązaniem
równania (1), przedstawiając odpowiednie
rozumowanie w dziedzinie liczb rzeczywistych zgodnie z regułami sztuki matematycznej [2].
Wprowadźmy oznaczenie dy/dt = v,
sprowadzając równanie (1) do postaci:
dy
+ ω2 y = 0 .
dt
(3)
Uwzględniając wyniki działania pomocniczego:
d 1 2
dV dy dV dV
,
V =V
=
=
dy 2
dy dt dy
dt
w równaniu (3) otrzymujemy:
d 1 2
V = − ω2 y .
dt 2
60
Obustronne całkowanie daje wynik:
V = c 2 − ω2 y 2
dy
= c 2 − ω2 y 2 .
dt
lub
Rozdzielając zmienne i mnożąc obustronnie przez ω, otrzymamy:
ωdy
c − ω2 y 2
2
= ωdt .
Przekształcenie do postaci:
ωdy
ω2
c 1− 2 y2
c
= ωdt
i całkowanie prowadzi do równania:
arcsin
ω
y = ωt + ϕ 0 .
c
Uwzględniając, że A = c/ω i ϕ0 są dowolnymi stałymi całkowania, otrzymujemy
ostatecznie wynik:
y = Asin(ωt + ϕ0)
zgodny z odgadniętym.
Mamy zatem podstawy, by podać twierdzenie: jeżeli równanie różniczkowe
jest modelem matematycznym pewnego
procesu fizycznego, to funkcja, która
opisuje przebieg tego procesu fizycznego, dla określonych warunków początkowych, jest jedynym rozwiązaniem tego równania.
Czytelnikom pozostawiamy próbę obalenia tego twierdzenia, czyli znalezienia
kontrprzykładu w ramach fizyki klasycznej.
Oczywiście wykonanie tego zadania to syzyfowa praca, przecież determinizm w fizyce klasycznej nie podlega dyskusji.
W obszarze fizyki klasycznej zjawiska
przebiegają zawsze identycznie, jeżeli warunki początkowe są takie same. A zatem
zastosowane, poprawne modele matematyczne zjawisk, którymi są równania różniczkowe, muszą wyróżniać się dokładnie
jednym rozwiązaniem dla tych samych warunków początkowych. W modelach tych
funkcja spełniająca odpowiednie rów-
fizyka w szkole
z naszych lekcji
nanie reprezentuje konkretną mierzalną wielkość fizyczną.
Inaczej przedstawiają się problemy
w mechanice kwantowej, w której odpowiednie równania spełnia funkcja pozwalająca wyznaczyć jedynie prawdopodobieństwo otrzymania określonych wyników
pomiarów, podlegających prawom prawdopodobieństwa.
W nauczaniu fizyki klasycznej (w większości przypadków), mając model matematyczny procesu fizycznego w formie równania różniczkowego, podaje się najczęściej
gotowe ogólne rozwiązanie bez skomplikowanych operacji matematycznych prowadzących do jego otrzymania. Rozwiązanie
określa się przewidywaną funkcją, którą
czasem sprawdza się, czy spełnia równanie.
Jedną z przyczyn tego toku postępowania jest ugruntowana wiedza, że przedstawiane rozwiązania wywodzą się z doświadczenia i przekonania, że matematyka
stanowi w ogromnej mierze abstrakcyjne
i użyteczne odbicie struktur przyrody i ich
dynamiki.
HIERONIM LALEK
Rymanów
L
c
c
c
ITERATURA
[1] J. Gil, Wielki Wybuch a stworzenie świata,
„Wiedza i Życie” 1993, nr 4.
[2] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy,
PWN, Warszawa 1969.
[3] M. Heller, Wielki Program Wszechświata,
„Postępy Fizyki” 2009, nr 3.
Po pierwsze doświadczenie…
n ARLETA BIEGAŃSKA
Przed lekcją fizyki w klasie I gimnazjum
uczeń zgłosił, że przygotował prezentację
na temat rozszerzalności termicznej ciał.
Bardzo się ucieszyłam, bo właśnie w planie
był ten temat. Odsunęłam więc na bok stolik z przygotowanym sprzętem do doświadczeń i ze słowami: „Wyręczysz mnie dzisiaj
w prowadzeniu lekcji” oddałam katedrę
uczniowi. Uczeń należy do grupy ambitnych
i przygotował się bardzo starannie. Prezentacja zawierała zarówno słowny opis zjawiska, jak i fotografie ilustrujące występowanie rozszerzalności w otoczeniu, fotografie
taśmy bimetalicznej oraz dylatoskopu. Wystąpienie było ilustrowane odpowiednimi
slajdami, nie zawierało błędów merytorycznych, było wyczerpujące pod względem treści. Uczniowie w ciszy i skupieniu z podziwem wysłuchali kolegi.
Ponieważ miałam już przygotowany odpowiedni sprzęt, postanowiłam mimo wszystko
zademonstrować zjawisko rozszerzalności
ciał w różnych stanach skupienia. Dopiero
2/2012
teraz uczniowie się ożywili, komentowali obserwowane zjawiska. Gdy kolega prezentował na fotografiach bimetal przed ogrzaniem
i po ogrzaniu, słuchali z uwagą, ale nie było
żadnej reakcji z ich strony. Dopiero gdy podgrzewałam bimetal, usłyszałam okrzyki: „O,
wykrzywia się!”, „Wykrzywia się, tak jak było
to na zdjęciu”. Gdy zaproponowałam im
przeprowadzenie doświadczeń, wszyscy podbiegli do stołu po przyrządy. Nie było ciszy
i skupienia, ale za to było autentyczne przeżywanie i zainteresowanie zjawiskiem.
Takie zachowanie uczniów odebrałam
z pewną ulgą, bo już zaczynałam wątpić
w słuszność trwania przy „starych” metodach. Uczniowie przekonali mnie, że racja
jest po mojej stronie.
Doświadczenia w nauczaniu fizyki
Podstawą fizyki jako nauki empirycznej
jest eksperyment i dlatego eksperyment warunkuje prawidłowy i skuteczny przebieg
procesu nauczania fizyki. Fizyka powinna
61