Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 13

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna
13. Słaba zbieżność i centralne twierdzenie graniczne - zadania
do samodzielnego rozwiązania
Zad. 13.1 X1 , X2 , . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie E(λ).
Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu
Yn = max{e−λX1 , e−λX2 , . . . , e−λXn }.
Zad. 13.2 X1 , X2 , . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie U (0, 1). Znaleźć
rozkład graniczny ciągu Yn = n min{X1 , . . . , Xn }.
Zad. 13.3 X1 , X2 , . . . – iid, Xi ma rozkład Poissona z parametrem λ. Zbadaj zbieżność
według rozkładu ciągu
X1 + . . . + Xn − nλ
√
Yn =
.
nλ
Zad. 13.4 Zmienne X1 , X2 , . . . są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale
(−1, 1). Wyznacz rozkład graniczny ciągu
Yn = min{eX1 , eX2 , . . . , eXn }.
Zad. 13.5 Niech X1 , X2 , X3 , . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie dyskretnym: P (Xi = 0) = 0, 3, P (X = 1) = 0, 5, P (X = 2) = 0, 2. Zbadaj
zbieżność według rozkładu ciągu:
n
P
Yn =
i=1
(X2i − X2i−1 )
√
.
n
Zad. 13.6 {Xk }k∈N jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0, 6). Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu
n
P
n
P
Xk2 − 2
Xk − 6n
k=1
k=1
√
.
Yn =
n
Zad. 13.7 {Xk }k∈N jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że Xk ∼ N (k, k 2 ),
k ∈ N. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu
n
P
Yn =
k=1
1
X
k k
√
n
−
√
n,
n = 1, 2, . . .
Zad. 13.8 X1 , X2 , ... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie U (0, 1).
Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu
Pn
Zn =
k=1
max(X2k , X2k−1 ) 2 √
√
−
n.
n
3
Zad. 13.9 Zmienne losowe X1 , X2 , . . . są niezależne, mają ten sam rozkład, EX1 = 0,
V arX1 = 1. Wykaż, że
X1 + . . . + Xn D
q
−
→ N (0, 1).
X12 + . . . + Xn2
Zad. 13.10 Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi 0,517. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród n = 10 000 noworodków liczba chłopców nie przewyższy
liczby dziewcząt?
Zad. 13.11 Wydział Matematyki chciałby przyjąć nie więcej niż 130 kandydatów. Zdających jest 400, a szansa zaliczenia egzaminu wstępnego wynosi 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wydział będzie miał kłopoty z nadmiarem studentów?
Zad. 13.12 Linie lotnicze odnotowały po latach doświadczeń, że 1/10 pasażerów, którzy
mają rezerwację na dany lot, nie zgłasza się do odprawy. Linie te na pewien lot sprzedały 441 rezerwacji przy 420 miejscach w samolocie. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że dla co najmniej 1 pasażera zabraknie miejsca?