zestaw 14 całka oznaczona

Zestaw XIV Całki oznaczone
1. Korzystając z definicji oraz z faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne oblicz podane całki
oznaczone:

2
2
a.
∫ x dx
b.
1
1
∫ 2x dx
c.
∫ sin x dx
0
0
2. Korzystając z twierdzenia Newtona - Leibnitza oblicz podane całki:
1
2
3x−1
3
dx
a. ∫  x −x1 dx
b. ∫
c.
−1
0 3x1
5
ln 3
x dx
d. ∫
0  13x
e.
∫ x ln 1x 2  dx
h.
0
x
dx
∫  1ln
x
1
3
0

∫ x 2 sin x dx
o
b.
∫ x e−x dx
−1
e
∫ lnxx , ln x=u
1

∫ arc ctg x dx
c.
1
x 3 dx
f. ∫ 3 2
2
 3   x 1
1
arc tg x
dx
i. ∫
2
0 1 x
dx
x
−x
e −e
3. Oblicz dane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
4
ln 2
dx
x
x
2
, x=t 2
a. ∫
b. ∫ e −1 dx , e −1= z
c.
0 1 x
0
4. Metodą całkowania przez części oblicz:
a.
dx
∫ x 25x4
7
ln 2
e 4
1
g.
∫
2
d.
∫ x3 sin x 2 dx
0
−1
5. Oblicz podane całki oznaczone:
2
a.
3
∫∣x∣3 dx
b.
−1
∫ ln 1∣x∣dx
−2
6. Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych i nieparzystych uzasadnij:
ln 2
a.
∫
−ln 2
1
x
e −1
dx=0
e x 1
b.
5
x
dx=0
∫ 2 x x−x
2
1
−1

4
3
c.

4
∫ x tg 3 x dx=2∫ x tg 3 x dx
−
4
0
7. Oblicz pole obszaru D ograniczonego:
a. wykresami funkcji y=x 2 , y=2x3
b. wykresami funkcji y=sin x , y=cos2x oraz osią OY  x0
c. parabolami y=x 2 , y=2x 2 i prostą y=8 x0
d. krzywymi y=e −x , y=e 3x , y=  e
2
2
x
y
e. elipsą y= 2  2 , a , b0
a
b
f. parabolą 4y=8x− x 2 i prostą 4y= x6
g. parabolami y 2= x i y=x 2
h. hiperbolą xy=4 i prostą x y =5
i. liniami: x=a cos t , y=b sin t , gdzie ab , 0t 2 
8. Oblicz długości łuków podanych krzywych:
1

2
a. y= 1− x , x ∈[0, ]
c. y=1−ln cos x , x∈[0, ]
2
4
−x
b. y=arcsin e  , x ∈[0,1]
d. x=at−sin t , y=a 1−cos t , ao , t∈[0,2]
9. Oblicz objętość brył powstałych z obrotu podanych figur wokół wskazanych osi:
−

x ,0 ycos x ,OX
a.
b. 1 xe , ln x y ln x ,OX
2
2
c. 0x1, 0 ye− x , OY
d. 0x1, x 2 y x , OY
10. Oblicz pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół
wskazanych osi:
a. f  x =x 3 ,0x1,OX
b.
f  x =2  x , 0 x1,OY