Elektrodynamika klasyczna Lorentzowsko niezmiennicza teoria pola

Elektrodynamika klasyczna
Lorentzowsko niezmiennicza teoria pola, dana przez równania Maxwella
~
∂
E
~ ·E
~ = ρ (a)
~ ×B
~−
∇
∇
= J~ (b)
∂t
~
∂
B
~ ·B
~ = 0 (c)
~ ×E
~+
∇
∇
= 0 (d)
∂t
q1 q2
w jednostkach (c = 1, µ0 = 1, ε0 = 1, gdzie siła F = 4πr
2 ). W klasycznej
elektrodynamice źródła są niezależne i podlegają zasadzie zachowania ładunku
∂ρ ~ ~
+ ∇ · J = 0,
∂t
które daje się zapisać w postaci loretzowsko niezmienniczej:
∂µ J µ = 0
gdzie
~
J µ = (ρ, J).
Równania jednorodne (c) i (d) są równoważne istnieniu potencjałów
~ =∇
~ × A,
~
B
~
∂
A
~ = −∇Φ
~ −
.
E
∂t
1
Wprowadza się czteropotencjał :
~
Aµ = (Φ, A)
oraz tensor pola elektromagnetycznego:
F µν = ∂ µAν − ∂ ν Aµ.
Łatwo pokazać, że

F µν

0 −Ex −Ey −Ez
 Ex 0 −Bz By 
.
=
 Ey Bz
0 −Bx 
Ez −By Bx
0
Wówczas równania jednorodne (c) i (d) redukują się do tożsamości:
∂ λF µν + ∂ ν F λµ + ∂ µF νλ ≡ 0,
a równania niejednorodne (a) i (b) przyjmują jawnie kowariantną postać
∂µF µν = J ν .
2
Zasada wariacyjna
Jaką postać ma gęstość Lagrange’a, która prowadzi do równań Maxwella,
jeśli
Aµ → Aµ + (δA)µ
przy ustalonym J µ?
1
L = − Fµν F µν − J µAµ.
4
3
Rzeczywiście
·
¸
Z
1
4
δS = δ d x − Fµν F µν − J ν Aν
wariacja kwadratu δF 2 = 2F (δF )
· 4
¸
Z
1
= d4x − Fµν (δF )µν − J ν (δA)ν
jawna postać F µν
· 2
¸
Z
1
4
= d x − Fµν [∂ µ (δA)ν − ∂ ν (δA)µ] − J ν (δA)ν
antysymetria Fµν
2
Z
h
i
ν
4
µ
µ
= d x −Fµν ∂ (δA) − J (δA)µ
całka przez części
Z
= d4x [∂ µFµν (δA)ν − J ν (δA)ν ]
zamiana indeksów górnych na dolne
Z
= d4x [∂µF µν − J ν ] (δA)ν = 0
Zadanie: pokazać, że
1 ~2 ~2
L = (E − B ) − J µAµ.
2
4
Swoboda cechowania
Potencjał Aµ nie jest jednozacznie określony
Aµ oraz Aµ + ∂ µχ
prowadzą do tego samego tensora pola
µ ν
ν µ
µν
F µν = ∂ µAν − ∂ ν Aµ → ∂ µAν − ∂ ν Aµ + ∂
∂
χ
−
∂
∂
χ
=
F
.
|
{z
}
=0
Transformacja
Aµ → A0µ = Aµ + ∂ µχ
nazywa się transformacją cechowania (gauge transformation). Pod wpływem
transformacji cechowania zmienia się jednak działanie:
Z
∆S = − d4x Jν ∂ ν χ całka przez części
Z
= d4x (∂ ν Jν ) χ.
∆S = 0 dla dowolnego χ, jedynie gdy zachowany jest ładunek
∂ ν Jν = 0.
5
NIEZMIENNICZOŚĆ WZGL. TRANSFORMACJI CECHOWANIA
↓
ZACHOWANIE ŁADUNKU
6
Rozwiązania równań Maxwella
Równania Maxwella
∂µF µν = J ν
wyrażone przez potencjały, mają postać
(∂µ∂ µ) Aν − ∂ ν (∂µAµ) = J ν .
Musimy ustalić cechowanie. Typowy wybór: cechowanie radiacyjne (kulombowskie)
~ ·A
~=0
∇
(w całej przestrzeni i w każdej chwili) nie jest niezmienniczy lorentzowsko (nie
jest prawdziwy w innym, poruszajacym sie układzie). W cechowaniu radiacyjnym równanie na potencjał elektryczny Φ = A0 ma postać:
~ 2A0 = J 0 = ρ.
∂i ∂ i A 0 = −∇
UWAGA:
∂
µ
~
~
=
(∂
,
∇),
∂
= (∂t, −∇)
t
µ
∂x
Rzeczywiście, mając na uwadze, że w cechowaniu radiacyjnym
∂µ =
∂µ A µ = ∂0 A 0
7
mamy
~ 2A0 + ∂t2A0 − ∂t2A0.
J 0 = (∂µ∂ µ) A0 − ∂ 0 (∂µAµ) = −∇
|
{z
}
=0
Rozwiązania są znane
1
0
A (~r, t) =
4π
Z
0
ρ(~
r
, t)
3 0
dr
|~r − ~r 0|
i otrzymuje się je metodą funkcji Greena. W cechowaniu radiacyjnym Φ = A0
jest „na sztywno” związane z ładunkiem, nie ma rozwiązań falowych na A0.
Składowe wektorowe
∂2 ~
i
µ
i
i
µ
~ + ∂ ∇A
~ 0.
J = (∂µ∂ ) A + ∂ (∂µA ) → 2 A − ∇2A
∂t
∂t
W pustej przestrzeni (ρ = 0, J~ = 0) w cechowaniu radiacyjnym mamy:
A0 = 0,
∂2 ~
2~
A
−
∇
A = 0.
2
∂t
Wygląda to jak trzy równania Kleina-Gordona na składowe A1,2,3 z m = 0
8
Rozwiązania są dane jako fale:
~ r, t) = ~ε a cos(~k · ~r − ωk t + θk )
A(~
gdzie ωk2 = k 2, z tym, że nie są to pola niezależne, bo
~ ·A
~ = 0 → ~k · ~ε = 0.
∇
Zatem są tylko dwa niezależne wektory trójwymiarowe ~ε1,2(~k): mamy dwie
polaryzacje (A0 = 0). Ogólnie
·
¸
∗
X
X
a
a
~
~
~
~
~ r, t) = √1
A(~
~ελ(~k) √ kλ ei(k·~r−ωk t) + √ kλ e−i(k·~r−ωk t) ,
2ωk
2ωk
V ~ λ=1,2
k
gdzie
~ελ(~k)
są niezależnymi liniowo wektorami jednostkowymi, prostopodłymi do ~k. Podobnie jak przypadku pola skalarnego zamykamy układ w pudle V = l3 i przyjmujemy periodyczne warunki brzegowe.
9
Możliwe są inne wybory cechowania. Używa się cząsto relatywistycznie
niezmienniczych cechowań, jak cechowanie Lorentza (lub Landaua):
∂µAµ = 0,
w którym równania pola mają postać
µ 2
¶
∂
~ 2 Aµ = J µ.
−
∇
∂t2
Inne użyteczne cechowania:
A0 = 0
A3 = 0
Φ∈R
czasowe
osiowe
unitarne
10
Odbicie przestrzenne
z
x'
y'
y
x
z'
Rozważmy odbicie, które zmienia skrętność układu współrzędnych (parzystość P):
~ →∇
~ 0 = −∇
~
~r → ~r 0 = −~r, ∇
Gęstość ładunku się nie zmienia, ale prąd (J~ = ρ~v ) tak
P
P ~P 0
~ r, t) →
~ r, t).
J(~
J (~r , t) = −J(~
ρ(~r, t) → ρP (~r 0, t) = ρ(~r, t),
Pole elektryczne jest wektorem, magnetyczne pseudowektorem:
P ~P 0
P ~P 0
~ r, t) →
~ r, t),
~ r, t) →
~ r, t).
E(~
E (~r , t) = −E(~
B(~
B (~r , t) = B(~
11
P
P ~P 0
~ r, t) →
~ r, t).
J(~
J (~r , t) = −J(~
P ~P 0
~ r, t) →
~ r, t).
B(~
B (~r , t) = B(~
ρ(~r, t) → ρP (~r 0, t) = ρ(~r, t),
P ~P 0
~ r, t) →
~ r, t),
E(~
E (~r , t) = −E(~
Stąd:
P
P ~P 0
~ r, t) →
~ r, t).
A(~
A (~r , t) = −A(~
Φ(~r, t) → ΦP (~r 0, t) = Φ(~r, t),
Równania Maxwella są niezmiennicze, mają taką samą postać w wyjściowym
(prawoskrętnym) układzie i w przetransformowanym (lewoskrętnym). Najlepiej
widać to z postaci równań:
~ ·E
~ = ρ (a)
∇
~ ·B
~ = 0 (c)
∇
~
∂
E
~ ×B
~−
∇
= J~ (b)
∂t
~
∂
B
~ ×E
~+
= 0 (d)
∇
∂t
Lagrangian jest też niezmienniczy.
12
Sprzężenie ładunkowe
polega na zamianie czątki na antycząstkę (C – charge conjugation):
C
C ~C
~ r, t) →
~ r, t).
J(~
J (~r, t) = −J(~
ρ(~r, t) → ρC (~r, t) = −ρ(~r, t),
Aby równania Maxwella były niezmiennicze, musimy przyjąć:
C
C ~C
~ r) →
~ r, t).
A(~
A (~r, t) = −A(~
Φ(~r, t) → ΦC (~r, t) = −Φ(~r, t),
Lagrangian jest też niezmienniczy.
13
Spin fotonu
W mechanice kwantowej f. falowe transformują się w wyniku obrotów. Rozpatrzmy funkcję, która sama jest wektorem:
 1

ψα(~r)
~α(~r) =  ψ 2 (~r)  .
ψ
α
ψα2 (~r)
Wówczas prawo transformacji przybiera postać
~β (R ~r) = R ψ
~α(~r) → ψ
~β ( ~r) = R ψ
~α(R−1~r)
ψ
Macierz R działa tylko na wskaźniki wektorowe funkcji falowej, a nie na indeksy
α, β. Stąd operator ÛR , przekształcający funkcję falową (zmaiana stanu) spełnia równanie
~α(~r) = ψβ (~r) = R ψ
~α(R−1~r).
(1)
ÛR ψ
14
Dla obrotów infinitenzymalnych
µ
¶
i~ ~ ~
~
~ × ~r)
ÛR ψα(~r) = 1 − φ · S ψα(~r − φ
~
µ
¶µ
¶
i~ ~
i~ ~ ~
·S
1− φ
· L ψα(~r)
= 1− φ
~
~¶
µ
i~ ~ i~ ~ ~
= 1 − φ · S − φ · L ψα(~r).
~
~
~α(~r), a L
~ działają na indeksy wektorowe funkcji ψ
~ są operaPamiętajmy, że S
torami różniczkowymi. Zatem
³
´
³ ´
i
~ =1− φ
~· S
~ +L
~ + ...
ÛR φ
~
~ i generatora S.
~
czyli że generatory obrotów są sumą generatora L
15
~ + L.
~
J~ = S
Spin dla cząstki z masą definiujemy jako wartość własną generatora obrotu
dla cząstki w spoczynku. Foton nigdy nie spoczywa. Wybierzmy foton, który
porusza się po prostej wzdłuż osi z. Wówczas Jz = Sz . Operator Sz można
odczytać ze wzoru:
´
³
Sz = i~ lim ÛRz (φ) − 1 /φ
φ→0
gdzie ÛRz (φ) = Rz (φ).




0 −φ 0
cos φ − sin φ 0
Rz =  sin φ cos φ 0  ' 1 +  φ 0 0 
0 0 0
0
0
1


0 −i 0
Sz = ~  i 0 0 
0 0 0
16
Ponieważ ~k = (0, 0, 1) mamy dwa poprzeczne wektory polaryzacji
 
 
0
1
εx =  0  , ε y =  1  .
0
0
Stąd
³
´
1
i(~k·~r−ωk t)
~
~
~~ (~r, t) = √
A
~
ε
(
k)a
+
~
ε
(
k)a
e
+ h.c.
x
y
~kx
~ky
k
2ωk V
Zdiagonalizujmy macierz Sz :


−λ −i 0
det  i −λ 0  = −λ3 + λ → λ±,0 = ±1, 0.
0 0 −λ
Wektory własne:
 
1
1  
i ,
~ε+ = √
2 0
i
~εx =
√
2(~ε+ + ~ε−),


1
1 
−i  ,
~ε− = √
2 0
 
0
~ε0 =  0 
1
√
~εy = −i 2(~ε+ − ~ε−),
17
~ε∗+ = ~ε
~~ (~r, t) możemy rozpisać:
Zatem pole A
k
³
´
1
i(~k·~r−ωk t)
~~ (~r, t) = √
A
(~
ε
+
~
ε
)a
−
i(~
ε
−
~
ε
)a
e
+ h.c.
+
− ~kx
+
− ~ky
k
ωk V
´
1 ³
~
=√
~ε+(a~kx − ia~ky ) + ~ε−(a~kx + ia~ky ) ei(k·~r−ωk t) + h.c.
ωk V
Czyli dowolne pole opisujace promieniowanie dane poprzez fale płaskie można
rozłożyć na dwie składowe o rzucie spinu na oś z równym + lub − (tak na
prawdę jest to polaryzacja kołowa). Nie ma składowej zerowej! Foton jest
zawsze poprzeczny.
18
Energia pola elektromagnetycznego
Ponieważ pole Aµ jest w zasadzie superpozycją 2 pól skalarnuch (abstrahując
od własności transformacyjnych), zatem
Tνµ =
∂L
∂L
ρ
µ
∂ν ϕ − δνµL → Tνµ =
∂
A
−
δ
ν
νL
ρ
∂(∂µϕ)
∂(∂µA )
co daje
1 ~2 ~2
T00 = −F0µF 0ν + Fµν F µν = (E
+B )
2
Energia i pęd dane są jako
Z
X
3
0
ωk a~∗kλa~kλ
H = d rT0 =
X
~ka∗ a~
P~ =
~kλ kλ
~k,λ
19
~k,λ
Masywne pole wektorowe
Wielki sukces modelu standardowego polega na poprawnej konstrukcji teorii
pola wektorowego z masą. Proste uogólnienie wzorujące się na polu skalarnym
¢
1¡
µ
2 2
L = ∂µ ϕ ∂ ϕ − m ϕ
2
1
1
L = − Fµν F µν + m2AµAµ − J µAµ
4
2
nie jest niezmiennicze wzgledem transformacji cechowania. (Znak przy masie
sprawdzimy a’posteriori). Zbadajmy jednak konsekwencje takiego lagrangianu.
Równania ruchu
∂µF µν + m2Aν = J ν .
Widać, że zmiana cechowania nie zmienia ∂µF µν oraz J ν a zmienia Aν . Różniczkując to równanie po ∂ν mamy
m2∂ν Aν = ∂ν J ν .
To nie jest warunek ustalający cechowanie, ale wskazuje, że nie wszystkie skład-
20
owe pola Aν są niezależne. Rozpiszmy równanie ruchu
0 = ∂µF µν + m2Aν − J ν = ∂µ(∂ µAν − ∂ ν Aµ) + m2Aν − J ν
1
= ∂µ∂ µAν − 2 ∂ ν ∂µJ µ + m2Aν − J ν .
m
W próżni (J µ = 0)
∂ 2Aν ~ 2 ν
2 ν
−
∇
A
+
m
A =0
∂t2
analogicznie do równania Kleina-Gordona
µ
¶
∂2
~ 2 − m2 ϕ = 0,
− 2 +∇
∂t
co potwierdza poprawność wyboru znaku m2. Rozwiązanie w postaci fal płaskich
Aν = εν a cos(kx + θ)
gdzie
kx = ωt − ~k · ~r, ω 2 − ~k 2 = m2.
Dodatkowy warunek
kε = 0.
21
Wybierając pęd w kierunku osi z:
k = (ω, 0, 0, k)
mamy trzy (znormalizowane ε2 = −1) wektory polaryzacji
 
 
 
0
0
k
1
0
1 
0





ε1 =   , ε2 =   , ε3 =  
.
0
1
m 0
0
0
ω
Ponieważ m 6= 0 „foton” może spoczywać. Podobnie jak poprzednio, można
zdefiniować operator spinu. Oprócz polaryzacji ± mamy polaryzację λ = 0.
22
Równanie Diraka
Wracamy do poprzedniego problemu: jak napisać relatywistyczne równanie
~
„Schrödingera”, tak by było ono liniowe w E → i~∂t i liniowe w p~ → −i~∇
(musi być liniowe, żeby po podniesieniu do kwadratu
E 2 = p~ 2 + m2.
Dirac zapostulował
~ + βm,
H=α
~ · p~ + βm = α
~ · (−i~∇)
gdzie α
~ oraz β to współczyniki liczbowe, które nie koniecznie komutują (macierze).
Stąd pełne równanie (~ = 1)
~ − βm)ψ = 0.
(i∂t + i~
α·∇
23
Podnieśmy do kwadratu H:
3
X
(~
α · p~ + βm)2 =
αi2p2i + β 2m2
+
i=1
X
X
(αiαj + αj αi) pipj + m
(αiβ + βαi) pi
i<j
2
i<j
= p~ + m2
Stąd:
αi2 = β 2 = 1,
αiαj + αj αi = {αi, αj } = 0,
αiβ + βαi = {αi, β} = 0.
Okazuje się, że rozwiązaniem tych warunków są macierze hermitowskie o wymiarze parzystym. W liczbie wymiarów 3+1 najmniejszy możliwy wymiar tych
macierzy jest 4 (Bjorken-Drell):
·
¸
·
¸
0 σi
1 0
αi =
, β=
.
σi 0
0 −1
24
Nie jest to jedyna możliwa postać. Jest nieskończenie wiele reprezentacji
macierzy α
~ i β unitarnie równoważnych:
αi → U α i U † ,
β → U βU †,
które spełniają związki antykomutacji. Inna użyteczna reprezentacja (chiralna):
·
¸
·
¸
−σi 0
0 1
αi =
, β=
.
0 σi
1 0
Funkcje falowe są czterkomponentowe (bispinory Diraka):
 
ψ1
 ψ2 
£ ∗ ∗ ∗ ∗¤
†


ψ =   , ψ = ψ1 ψ2 ψ3 ψ4
ψ3
ψ4
cząstka i antycząstka w 2 stanach spinowych. Każdy spinor ma 8 stopni swobody (ψi są zespolone).
25
Gęstość Lagrange’a
~ − βm)ψ.
L = ψ †(i∂t + i~
α·∇
Zamiast prowdzić wariacje po Reψ i Imψ, wariujemy ψ i ψ †. Równanie Diraka
jest automatyczne, bo jest L liniowe w ψ i ψ †.
26
27