Geometria Analityczna w Przestrzeni - Polsko

Algebra
Geometria Analityczna w Przestrzeni
Aleksander Denisiuk
[email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku
ul. Brzegi 55
80-045 Gdańsk
Algebra – p. 1
Geometria Analityczna w Przestrzeni
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Algebra – p. 2
Afiniczny układ współrzednych
˛
w przestrzeni
• Wybierzmy dowolny punkt O , poczatek
˛
układu
• Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste:
Ox, Oy , Oz , osie współrz˛ednych
• Płaszczyzny współrz˛ednych Oxy , Oxz , Oyz
• Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio e1 ,
e2 , e3 —baz˛e.
−→
• Dla każdego punktu A wektor OA ma jednoznaczne
−−→
przedstawienie OX = xe1 + ye2 + ze3
◦ liczby x, y , z —współrz˛edne punktu A
• układ jest prawym (dodatnim), jeżeli (e1 e2 e3 ) > 0
• układ jest lewym (ujemnym), jeżeli (e1 e2 e3 ) < 0
• kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy,
nazywaja˛ sie˛ dodatnimi. Kierunki przeciwne —ujemnymi
Algebra – p. 3
Układ współrzednych
˛
kartezjańskich
• Układ współrz˛ednych nazywa sie˛ kartezjańskim, jeżeli
◦ osie sa˛ wzajemnie prostopadłe
◦ wektory e1 , e2 , e3 sa˛ jednostkowe (maja˛ jednostkowa˛
długość).
• Dalej w prezentacji prawie zawsze układ bedzie
˛
prawym
kartezjańskim układem
• Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje
sie˛ oznaczenia i, j, k
Algebra – p. 4
Podział odcinka w danym stosunku
• Dane sa˛ dwa punkty A1 (x1 , y1 , z1 ) oraz A2 (x2 , y2 , z2 )
• Znaleźć punkt A(x, y, z), który dzieli odcinek A1 A2
w stosunku λ1 : λ2
−−→
−−→
◦ λ2 A1 A − λ1 AA2 = 0
−→
−−→
−→ λ2 −
OA
+λ
1
1 OA2
◦ OA =
λ1 +λ2
◦ x=
λ2 x1 +λ1 x2
λ1 +λ2 ,
y=
λ2 y1 +λ1 y2
λ1 +λ2 ,
z=
λ2 z1 +λ1 z2
λ1 +λ2 .
• wzory sa˛ prawidłowe w każdym układzie
Algebra – p. 5
Odległość miedzy
˛
punktami
• Dane sa˛ dwa punkty A1 (x1 , y1 , z1 ) oraz A2 (x2 , y2 , z2 )
−−−→
◦ |A1 A2 |2 = A1 A2 2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
• wzory sa˛ prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim
Algebra – p. 6
Pole trójkata
˛
• Dane sa˛ trzy punkty A1 (x1 , y1 , 0), A2 (x2 , y2 , 0) oraz
A3 (x3 , y3 , 0)
−−−→ −−−→ x2 − x1
◦ A1 A2 × A1 A3 = x3 − x1
x − x
1
◦ P (A1 A2 A3 ) = 1 2
2
x3 − x1
y2 − y2 k
y3 − y1 y2 − y2 y3 − y1 Algebra – p. 7
Objetość
˛
czworościanu
• Dane sa˛ cztery punkty A1 (x1 , y1 , z1 ), A2 (x2 , y2 , z2 ),
A3 (x3 , y3 , z3 ) oraz A4 (x4 , y4 , z4 )
x − x y − y z − z 1
2
2
2
1
2
◦ P (A1 A2 A3 ) = 1 x3 − x1 y3 − y1 z2 − z1 6
x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1 Algebra – p. 8
Równanie powierzchni
• f (x, y, z) = 0 równanie niejawne


x = f1 (u, v),
•
y = f2 (u, v),

z = f (u, v)
3
równanie parametryczne
◦ Sfera (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2
◦ Walec:


x = R cos u
•
y = R sin u,

z = v
• x2 + y 2 = R 2
Algebra – p. 9
Równanie krzywej
(
f1 (x, y, z) = 0,
•
równanie niejawne
f2 (x, y, z) = 0


x = f1 (t),
•
y = f2 (t), równanie parametryczne


z = f3 (t)
(
2
2
2
2
(x
−
a
)
+
(y
−
b
)
+
(z
−
c
)
−
R
1
1
1
1 = 0,
◦ Okrag
˛
(x − a2 )2 + (y − b2 )2 + (z − c2 )2 − R22 = 0.
• Punkty przeciecia
˛
— rozwiazania
˛
układów równań
Algebra – p. 10
Zmiana układu współrzednych
˛
• Niech dane bed
˛ a˛ dwa ogólne układy współrz˛ednych:
(O, e1 , e2 , e3 ) oraz (O′ , e′1 , e′2 , e′3 )
• Punkt A ma współrz˛edne (x, y, z) wzgledem
˛
jednego układu
oraz (z ′ , y ′ , z ′ ) wzgledem
˛
drugiego.
• Wektory (e1 , e2 , e3 ) maja˛ jednoznaczne rozłożenie po

′
′
′

e1 = a11 e1 + a12 e2 + a13 e3 ,
bazie (e′1 , e′2 , e′3 ): e2 = a21 e′1 + a22 e′2 + a23 e′3 ,


e2 = a31 e′1 + a32 e′2 + a33 e′3 .
• Punkt O w nowym układzie ma współrz˛edne (x0 , y0 , z0 ).

′

x = a11 x + a21 y + a31 z + x0 ,
• Wówczas y ′ = a12 x + a22 y + a32 z + y0 ,

 ′
z = a13 x + a23 y + a33 z + z0 .
Algebra – p. 11
Zmiana kartezjańskiego układu współrzednych
˛
• Jeżeli obydwa układy sa˛ kartezjańskie, to współczynniki aij
spełniaj
a˛ warunki

2
2
2

a
+
a
+
a
 11
12
13 = 1,
a221 + a222 + a223 = 1,

a2 + a2 + a2 = 1,
31
32
33
a11 a21 + a12 a22 + a13 a23 = 0,
a11 a31 + a12 a32 + a13 a33 = 0,
a21 a31 + a22 a32 + a23 a33 = 0.
• I odwrotnie
Algebra – p. 12
Równanie płaszczyzny
• Niech dany bedzie
˛
kartezjański układ współrz˛ednych.
• Niech A(x0 , y0 , z0 ) bedzie
˛
punktem na płaszczyźnie.
• Niech n = (n1 , n2 , n3 ) bedzie
˛
wektorem, prostopadłym do
płaszczyzny
• Wtedy każdy punkt płaszczyzny spełnia równanie
n1 (x − x0 ) + n2 (y − y0 ) + n3 (z − z0 ) = 0
• W każdem układzie współrz˛ednych równanie płaszczyzny
jest liniowe: ax + by + cz + d = 0
• Odwrotnie: każde liniowe równanie (abc 6= 0) określa
płaszczyzn
˛
e.
˛
Algebra – p. 13
Położenie wzgledem
˛
układu współrzednych
˛
• a = b = 0 — równoległa do Oxy (zgadza sie˛ przy d = 0).
• b = c = 0 — równoległa do Oyz (zgadza sie˛ przy d = 0).
• a = c = 0 — równoległa do Oxz (zgadza sie˛ przy d = 0).
• a = 0, b 6= 0, c 6= 0 — równoległa do Ox (przechodzi przez
Ox przy d = 0).
• a 6= 0, b = 0, c 6= 0 — równoległa do Oy (przechodzi przez
Oy przy d = 0).
• a 6= 0, b 6= 0, c = 0 — równoległa do Oz (przechodzi przez
Oz przy d = 0).
• d = 0 — przechodzi przez poczatek
˛
układu współrz˛ednych
• d 6= 0 ⇒
x
α
+
y
β
+
z
γ
=1
Algebra – p. 14
Równanie normalne płaszczyzny
• Punkt A0 (x0 , y0 , z0 ) należy do płaszczyzny ⇐⇒
ax0 + by0 + cz0 + d = 0
• Niech punkt nie należy do płaszczyzny.
◦ Niech A1 (x1 , y1 , z1 ) bedzie
˛
podstawa˛ prostopadłej,
poprowadzonej z A0 na płaszczyzne˛
◦ ax0 + by0 + cz0 + d =
−−−→
a(x0 − x1 ) + b(y0 − y1 ) + c(z0 − z1 ) + d = n · A1 A0 = ±|n|δ ,
• n = (a, b, c) jest normala˛ do płaszczyzny
• δ jest odległościa˛ płaszczyzny od punktu
◦ ax0 + by0 + cz0 + d ma znak plus po jednej stronie od
płaszczyzny i minus — po drugiej
◦ δ=
|ax0 +by0 +cz0 +d|
√
a2 +b2 +c2
• Jeśli a2 + b2 + c2 = 1, równanie płaszczyzny nazywa sie˛
normalnym
Algebra – p. 15
Wzjaemne położenie dwóch płaszczyzn
• Niech dane bed
˛ a˛ dwie płaszczyzny: a1 x + b1 y + c1 + d1 = 0
oraz a2 x + b2 y + c2 + d2 = 0
• Płaszczyzny sa˛ równoległe (lub sie˛ pokrywaja)
˛ ⇐⇒
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
• Płaszczyzny sa˛ prostopadłe ⇐⇒ a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 = 0
• Niech θ bedzie
˛
katem
˛
miedzy
˛
płaszczyznami. Wtedy
cos θ = √
a1 a2 +b1√
b2 +c1 c2
a21 +b21 +c21 a22 +b22 +c22
Algebra – p. 16
Wzjaemne położenie trzech płaszczyzn
• Niech dane bed
˛ a˛ trzy płaszczyzny: a1 x + b1 y + c1 + d1 = 0,
a2 x + b2 y + c2 + d2 = 0 oraz a3 x + b3 y + c3 + d3 = 0
• Płaszczyzny maja˛ jeden wspólny punkt ⇐⇒
a b c 1 1 1
a2 b2 c2 6= 0
a3 b3 c3 a b c 1 1 1
• jeżeli a2 b2 c2 = 0, to płaszczyzny sa˛ równowegłe do
a3 b3 c3 niektórej prostej.
Algebra – p. 17
Równanie prostej
• Prosta jest przecieciem
˛
dwóch płaszczyzn
(
a1 x + b1 y + c1 + d1 = 0
a2 x + b2 y + c2 + d2 = 0
(1)
• Niech dany bedzie
˛
punkt A0 (x0 , y0 , z0 ) na prostej, oraz
niezerowy wektor e = (k, l, m), równoległy prostej. Wtedy
−−→
dla dowolnego punktu A(x, y, z) wektory e oraz A0 A bed
˛ a˛
równoległe:
◦
x−x0
k
=
y−y0
l
=
z−z0
m
— równanie kanoniczne prostej
◦ równanie kanoniczne jest szczególowym przypadkiem
równania 1
◦ równanie kanoniczne nie jest określono jednoznacznie
• Równanie prostej ma taka˛ postać w dowolnym afinicznym
układzie współrz˛ednych
Algebra – p. 18
Równanie parametryczne prostej
•
x−x0
k
=
y−y0
l
=
z−z0
m


x = x0 + kt,
•
y = y0 + lt,

z = z + mt.
0
Algebra – p. 19
Położenie prostej wzgledem
˛
układu współrzednych
˛


x = x0 + kt,
•
y = y0 + lt,


z = z0 + mt.
◦ k = 0 — równoległa do płaszczyzny Oyz
◦ l = 0 — równoległa do płaszczyzny Oxz
◦ m = 0 — równoległa do płaszczyzny Oxy
◦ k = l = 0 — równoległa do Osi Oz
◦ k = m = 0 — równoległa do Osi Oy
◦ l = m = 0 — równoległa do Osi Ox
Algebra – p. 20
Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny
• ax + by + cz + d = 0
•
x−x0
k
=
y−y0
l
=
z−z0
m
◦ równoległe ⇐⇒ ak + bl + cm = 0
• jeżeli ponadto ax0 + by0 + cz0 + d = 0, to prosta leży
na płaszczyźnie
◦ prostopadłe ⇐⇒
a
k
=
b
l
=
c
m
(
a1 x + b2 y + c1 z + d1 = 0,
•
a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0,
b c a c a b 1 1
1
1
1
1
◦ k=
,
l
=
−
,
m
=
.
b2 c2 a2 c2 a2 b2 Algebra – p. 21
Wzajemne położenie dwóch prostych
•
x−x0
k
•
x−x′0
k′
=
y−y0
l
=
y−y0′
l′
=
z−z0
m
=
z−z0′
m′
◦ równoległe ⇐⇒
• jeżeli ponadto
k′
l′
m′
=
=
k
l
m
′
x0 −x0
y0 −y0′
= l′
k′
=
z0 −z0′
m′ ,
to proste sie˛
pokrywaja˛
• prostopadłe ⇐⇒ kk ′ + ll′ + mm′ = 0
• kat
˛ miedzy
˛
prostymi:
kk ′ + ll′ + mm′
√
cos θ = √
2
2
2
k + l + m k ′2 + l′2 + m′2
Algebra – p. 22
Podstawowe zadania na prosta˛ i płasczyzne˛
• Płaszczyzna przechodzaca
˛ przez punkt (x0 , y0 , z0 ):
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
• Prosta przechodzaca
˛ przez punkt (x0 , y0 , z0 ):
x−x0
k
=
y−y0
l
=
z−z0
m
• Prosta przechodzaca
˛ przez dwa punkty (x0 , y0 , z0 )
oraz (x1 , y1 , z1 ):
x−x0
x1 −x0
=
y−y0
y1 −y0
=
z−z0
z1 −z0
• Płaszczyzna przechodzaca
˛ przez trzy punkty (x0 , y0 , z0 ),
(x1 , y1 , z1 ) oraz (x2 , y2 , z2 ):
x−x
y − y0 z − z0 0
x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 = 0
x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0 Algebra – p. 23
Podstawowe zadania na prosta˛ i płasczyzne,
˛ cd
• Płaszczyzna przechodzaca
˛ przez punkt (x0 , y0 , z0 )
i równoległa do danej płaszczyzny ax + by + cz + d = 0:
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
• Prosta przechodzaca
˛ przez punkt (x0 , y0 , z0 ) i równoległa do
danej prostej
x−x′0
k
=
y−y0′
l
=
z−z0′ x−x0
m : k
=
y−y0
l
=
z−z0
m
• Prosta przechodzaca
˛ przez punkt (x0 , y0 , z0 ) i prostopadła
do danej płaszczyzny ax + by + c + d = 0:
y−y0
z−z0
x−x0
=
=
a
b
c
• Płaszczyzna przechodzaca
˛ punkt (x0 , y0 , z0 ) i prostopadła
x−x′0
k
y−y0′
l
z−z0′
m :
=
=
do danej prostej
k(x − x0 ) + l(y − y0 ) + m(z − z0 ) = 0
Algebra – p. 24
Płaszczyzna rónoległa do dwóch prostych
• Płaszczyzna przechodzaca
˛ przez punkt (x0 , y0 , z0 )
i równoległa do danych prostych
x−x′′
0
k2
=
y−y0′′
l2
=
x−x′0
k1
=
y−y0′
l1
=
z−z0′
m1
oraz
z−z0′′
m2 :
l m k m k l 1
1
1 1
1
1
(x − x0 ) − (y − y0 ) + (z − z0 ) =0
l2 m2 k2 m2 k2 l2 czyli
x − x y − y z − z 0
0
0
l1
m1 = 0
k1
k2
l2
m2 Algebra – p. 25