LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1

LISTA 7
W rozwiązaniu zadań 1 - 4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne.
1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi
0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie konserwacji 100 aparatów
zepsuje się:
a) nie mniej niż 5 aparatów;
b) więcej niż 5 i mniej niż 10 aparatów ?
2.Jeśli gracz wyrzuci kostką sześcienną 6 oczek to wygrywa 4 zł, w przypadku
innej liczby oczek przegrywa 1 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy
500 rzutach przegra więcej niż 200 zł?
3.Prawdopodobieństwo,że wyprodukowany detal okaże się dobry wynosi
0.9. Ile elementów należy wyprodukować,aby prawdopodobieństwo, że będzie
wśród nich co najmniej 50 dobrych było większe niż 95%.
4.Zmienne losowe X1 , X2 , . . . , X100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy
1
Σ100
z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 100
k=1 Xk przyjmie wartości
mniejsze niż 4 i większe niż 3.5.
Dla jakiego n, n1 Σnk=1 Xk odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej
niż 1 ,z prawdopodobieństwem większym niż 0.9?
5.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku
otrzymując w m.:
54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55,
60, 54 ,57 ,65 ,60 ,53 ,54, 49 ,58 ,62 ,59 ,55 ,50 ,58, 63, 64, 59, 52, 65, 58,
60. Dla przedstawionej próby zbudować szereg rozdzielczy oraz naszkicować
histogram i dystrybuantę empiryczną. Wyznaczyć średnią, medianę, modalną,
kwantyl dolny i górny, wariancję, współczynnik zmienności.
6.W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące
napięcie (w V) otrzymując 21 danych: 234, 220, 230, 218, 220, 219, 224,
223, 220, 218, 221, 229, 225, 220, 221, 216, 220, 219 ,232 ,227 ,221. Dla
przedstawionej próby wyznaczyć wielkości jak w zad.5.
) = 0.016 b)Φ( 40
) − Φ( 15
) = 0.016
Odpowiedzi zad.1 a) 1-Φ( 15
7
7
7
zad.2 Φ(−2.8) = 0.0026; zad.3 n ≥ 70.
zad.4 n ≥ 44
zad.6 wziąć 5 klas, x = 222.7, mediana = 221, modalna = 220, varX=17.99,
wsp.zmienności=0.019 (1.9% )
1
LISTA 8
1.W oparciu o 2n elementową próbę prostą z populacji o średniej m i
wariancji σ 2 oszacowano wartość oczekiwaną używając dwóch estymatorów:
1 Pn
1 P2n
Y1 = 2n
k=1 Xk , oraz Y2 = n
k=1 Xk . Który z nich jest lepszy,dlaczego ?
2.Metodą największej wiarogodności wyznaczyć estymatory parametrów:
a) λ w rozkładzie Poissona ;
b) p w rozkładzie geometrycznym ;
c) α w rozkładzie wykładniczym.
3.Prawdopodobieństwo natrafienia na złoże ropy dla każdej z 5 ruchomych
wież wiertniczych jest takie samo i wynosi p. Pierwsza wieża natrafiła po raz
pierwszy na złoże; za trzecim razem, druga za czwartym, trzecia za trzecim,
czwarta za czwartym, piąta za siódmym. Oszacować wartość parametru p.
4.W celu oszacowania wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy maszyny
pewnego typu - z partii tych maszyn wybrano losowo 7 maszyn i obserwowano
czasy pracy do momentu awarii. Uszkodzenia nastąpiły w:
51, 115, 150, 190, 217, 228, 350 godzinie. Wiedząc, że czas bezawaryjnej pracy
maszyny ma rozkład wykładniczy oszacować : wartość przeciętną bezawaryjnej
pracy maszyny oraz parametr α tego rozkładu.
5*.Wykazać, że jeżeli niezależne zmienne losowe Xk , k = 1, ..., n mają taki
1 Pn
2
sam rozkład wykładniczy to 2n
k=1 Xk jest nieobciążonym estymatorem
dla wariancji tego rozkładu.
6*.Zmienne losowe Xk mają rozkład jednostajny na przedziale [a; a+1];
parametr a jest nieznany. Sprawdzić, że dla n niezależnych obserwacji estymator:
n
1 1X
Xk
Tn = − +
2 n k=1
jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem parametru a. Oszacować
P (|Tn − a| ≥ 0.1) gdy: n = 12 oraz n = 100.
7*.Wykazać, że n+1
max1≤k≤n Xk jest lepszym nieobciążonym estymatorem
n
dla parametru a ,w rozkładzie jednostajnym na przedziale [0 ; a] niż n2 Σnk=1 Xk .
Odpowiedzi
zad.1 Y1 , Y2 są niobciążone dla m, lepszy Y1 ,bo ma mniejszą wariancję.
2
b = 1 Pn X ,
b −1 = n1 Σn
zad.2 λ
α
k
k=1
k=1 Xk
n
zad.3 0.238
zad.4 185.8; 0.0054.
pb−1 =
1
n
Pn
k=1
Xk
LISTA 9
1. Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości i otrzymano (w m): 201,
195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiadomo,że rozkład błędu pomiaru
jest normalny o średniej 0 i wariancji 9. Wyznaczyć przedział ufności dla
mierzonej odległości na poziomie ufności 0.95.
Ponadto, wykonano 5 dodatkowych pomiarów i otrzymano:201, 196, 200,
195, 208. Korzystając ze wszystkich pomiarów wyznaczyć jeszcze raz przedział
ufności dla mierzonej odległości oraz porównać długości przedziałów.
2.Na podstawie 100 prób oszacowano średni czas pracy potrzebny do
wyprodukowania elementu i uzyskano (w s): x = 5.5 oraz s = 1.7.Wyznaczyć
przedział ufności dla wartości oczekiwanej czasu produkcji na poziomie: a) 0.90
oraz b) 0.80. Który jest dłuższy?
3.Dla 10 obserwacji cechy o rozkładzie normalnym otrzymano:
7; 7.5; 8.5; 8; 6; 7.5; 6.5; 5.5; 7.5; 6. Wyznacz i porównaj przedział
ufności dla parametru m na tym samym poziomie ufności gdy : a) σ = 0.5,
b) σ nieznane.
4.Klasa przyrządu jest związana z odchyleniem standardowym wykonywanych
nim pomiarów. W celu zbadania klasy przyrządu służącego do pomiaru masy
wykonano nim 12 pomiarów masy tego samego ciała (w mg):
101, 105, 98, 96, 100, 106, 100, 95, 95, 101, 94, 98.
Przy założeniu, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny wyznaczyć 95%
przedział ufności dla odchylenia standardowego.
5.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
natężenia tego samego pola magnetycznego i otrzymano (w Oe):
8, 10, 15, 12, 18, 9, 10, 12, 14, 12. Przyjmując poziom ufności
0.95 wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej oraz dyspersji
(odchylenia standardowego) wyników pomiaru tym magnetometrem.
6.Błąd pomiaru wysokości wieży ma rozkład normalny o wariancji 400m2 .
Ile pomiarów należy wykonać, aby na poziomie ufności 0.9 oszacować wysokość
wieży w przedziale ufności długości 15m?
7.Aby oszacować ile procent wyborców (p%) jest zdecydowanych poprzeć
3
danego kandydata w najbliższych wyborach przeprowadzono ankietę wśród
n losowo wybranych osób (n ≥ 100) . Na pytanie: czy będziesz głosować na
danego kandydata; ankieta przewidywała 2 odpowiedzi: ”TAK” albo ”NIE”.
Wyznacz przedział ufności dla p na poziomie ufności 1 − α. Przy jakim n
długość przedziału ufności będzie mniejsza niż 0.05 (5%.)
Wykonaj obliczenia dla: n = 200, 180 odpowiedzi ”TAK”, 1 − α = 0.95.
8.W celu zbadania szczelności pojemników pewnej firmy, wylosowano
niezależnie do próby i sprawdzono szczelność 100 pojemników, wykrywając 16
nieszczelnych. Przyjmując poziom ufności 0.99 oszacować procent nieszczelnych
pojemników.
9*.Niech (X1 , X2 , ..., Xn ) oraz (Y1 , Y2 , ..., Ym ) będą niezależnymi próbami
prostymi, że Xk ma rozkład N (m1 , σ), Yk ma rozkład N (m2 , σ). Sprawdzić,
że statystyka
s
X − Y − m1 + m2
qP
n
k=1 (Xk
− X)2 +
Pm
k=1 (Yk
− Y )2
nm(n + m − 2)
n+m
. ma rozkład t-Studenta z (n + m − 2) stopniami swobody.
Odpowiedzi:
zad.1 dla n=8 mamy 199.52 < m < 203.7,
dla n=13 mamy 199.37 < m < 202.63
zad.2 a) 5.22 < m < 5.78; b) 5.28 < m < 5.72.
zad.4 2.8 < σ < 6.7
zad.5 9.84 < m < 14.16 oraz 4.31 < σ 2 < 30.37.
zad.6 n ≥ 20.
zad.8 6% < p < 25.4%
LISTA 10
1. Hipotezę,że wadliwość produktu wynosi 0.1 sprawdzano następująco: z
dużej partii towaru wybierano losowo 100 produktów. Jeśli wśród nich jest
mniej niż 17 wadliwych to całą partię towaru uznajemy za wystarczająco
dobrą, w przeciwnym przypadku partię uznajemy za złą. Obliczyć błąd I
rodzaju oraz wartości funkcji mocy dla p = 0.2; p = 0.3. Wskazówka: rozkład
Bernoulliego przybliżyć rozkładem normalnym.
2.Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety H: p = 0.5 przeciwko
K: p 6= 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny na
poziomie istotności:
4
a) α = 0.1,
b) α = 0.05 .
Obliczyć moc testu dla p=0.9, p=0.4. Zweryfikować hipotezę H gdy w 100
rzutach monetą było 59 orłów dla a) oraz b).
3.Niech (X1 , X2 , ..., Xn ) będzie próbą prostą, że Xk ma rozkład N(m,1).
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę H: m=4, przeciwko
K: m > 4, gdy n=25 oraz zaobserwowano x = 4.3. Wyznaczyć i naszkicować
funkcję mocy testu. Podać wartość p-value.
4.Producent twierdzi,że długość życia produkowanych przez niego baterii
ma rozkład normalny o średniej 48h. Długość życia dla zbadanych 7 baterii
wyniosła: 44, 46, 49, 42, 51, 40, 45. Czy obserwacje te przeczą hipotezie
producenta o średniej długości życia baterii ? Zweryfikować hipotezę dla
α = 0.02.
5.Przyjmując, że waga odczynnika w pewnego typu opakowaniach jest
zmienną losową o rozkładzie N(m, σ) zweryfikować na poziomie istotności
α = 0.1 hipotezę H: m=100 przeciwko K: m 6= 100 dla następujących
obserwacji: 95, 103, 104, 97, 100.
6.Zużycie energii elektrycznej (w kWh) przez pewną firmę w 10 losowo
wybranych dniach było następujące:
104, 100, 105, 110, 106, 105, 102, 105, 107, 106. Zakładając,że zużycie
energii ma rozkład normalny , na poziomie istotności α = 0.025 zweryfikować
hipotezę H: σ 2 = 10 przeciwko K: σ 2 > 10.
7.Producent twierdzi, że produkowany przez niego przyrząd nie popełnia
błędu systematycznego oraz odchylenie standardowe wyników pomiaru wynosi
σ = 0.01. W celu sprawdzenia przyrządu wykonano nim 10 niezależnych
pomiarów wzorca m=10.00 i uzyskano:
9.97, 9.97, 10.00, 10.01, 9.99, 10.01, 10.00, 10.02, 10.00, 10.03.
Zakładając, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny zweryfikować na poziomie
istotności α = 0.01:
a) hipotezę producenta o błędzie systematycznym oraz
b) hipotezę σ = 0.01 przeciwko hipotezie, że rzeczywiste odchylenie jest
większe.
8.Pewien eksperymentator twierdzi, że opracował nową (lepszą) metodę
odsiarczania gazów przemysłowych. Dokonano pomiarów zawartości siarki i
otrzymano dla metody:
5
starej: 17, 11, 22, 18, 15, 13, 14, 16
nowej: 15, 12, 10, 18, 14, 15, 13.
Przyjmując, że zawartość siarki ma rozkład normalny zweryfikować odpowiednią
hipotezę na poziomie istotności α = 0.05.
9.Błędy pomiarów dla 2 przyrządów mają rozkład normalny o takiej samej
wariancji, równej 3. Badając zgodność pomiarów wykonano po 6 pomiarów
każdym przyrządem i otrzymano: x1 = 66.7, x2 = 67.3;
a)zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności α = 0.05;
b) wyznaczyć błąd II rodzaju. gdy różnica między średnimi wynosi 2.44.
10.W wyniku pomiarów temperatury w 20 takich samych zbiornikach
wykorzystywanych w procesie produkcji otrzymano w stopniach Celsjusza
x = 4.8. Zakładając, że temperatura utrzymywana w zbiornikach jest zmienną
losową o rozkładzie normalnym N(m,0.1) na poziomie istotności α = 0.1
zweryfikować hipotezę H: m = 5 przeciwko alternatywie:
a) K: m < 5 oraz b) K: m 6= 5
11.Pomiary napięcia prądu mają rozkład normalny. Dokonano 15 niezależnych
pomiarów napięcia i otrzymano S 2 = 1.4. Na poziomie istotności α = 0.05
zweryfikować hipotezę, że wariancja pomiarów wynosi 1.2.
Odpowiedzi
zad.1 α = 0.0038, niech M(p) oznacza moc testu dla parametru p; M(0.2)=0.7734,
M(0.3)=0.9977, M(0.5)=1
zad.2 a) Q = {0, 1, ..., 41}∪{59, 60, ..., 100}, odrzucamy H gdy zaobserwowano
59 orłów
b)Q = {1, 2, ..., 40} ∪ {60, 61, ...100}, nie ma podstaw do odrzucenia H gdy
zaobserwowano 59 orłów.
M(0.4)=0.5793, M(0.9)=1
zad.3 Q = (1.64; ∞); u=1.5, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
p-value =0.0768
M(m)=Φ(−1.64 + 5(m − 4))
zad.4 t=-1.877 ,6 stopni swobody Q = (−∞, −0.906), odrzucamy hipotezę
zad.5 t=-0.17, 4 st.swobody, Q = (−∞, −2.132)∪(2.132, ∞), nie ma podstaw
do odrzucenia H
zad.6 χ2 = 6.1, 9 st.swobody, Q = (19.02, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy
zad.7 a) H: m=0 (błąd systematyczny wynosi 0 )
K: m 6= 0
t=0, 9 st.swobody, Q = (−∞, −3.25)∪(3.35, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy H
6
b) H: σ 2 = 0.0001 przeciwko K: σ 2 > 0.0001
χ2 = 34, 9 st.swobody, Q = (21.67, ∞), odrzucamy H na podanym poziomie
istotności
zad.8 H: ms = mn przeciwko K: ms > mn
t=1.48, 13 st.swobody Q = (1.771, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
H
zad.9 a) H: m1 = m2 przeciwko K: m1 6= m2
u=-0.6, Q = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, ∞) , nie ma podstaw do odrzucenia H
b) β = 0.3156
zad.11 χ2 = 17.5, 14 st.swobody Q = (23.68, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia
H
LISTA 11
1.W celu sprawdzenia symetryczności kostki do gry wykonano nią 120
rzutów i otrzymano:
1 2 3 4 5 5
liczba oczek
liczba rzutów 11 30 14 10 33 22
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że kostka jest
symetryczna.
2.Zmienna losowa X oznacza liczbę kolizji komunikacji miejskiej w ciągu
jednej doby.Na podstawie obserwacji próby prostej: 3,2,2,1,4,0,4,2,3 zweryfikować
hipotezę ,że X ma rozkład Poissona z λ = 2. Przyjąć α = 0.025.
3.Prześwietlono 100 niezależnych próbek tego samego materiału i uzyskano
następujące liczby skaz:
liczba skaz
0 1 2 3 4 5
liczba próbek 10 27 29 19 8 7
Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby
skaz w próbkach ma rozkład Poissona.
4.W pewnym doświadczeniu mierzy się czas występowania określonego
efektu świetlnego. Dla 1000 niezależnych doświadczeń uzyskano:
czas efektu [0-2) [2-4) [4-6) [6-8) [8-10)
liczba dośw. 90
140 320 300
150
Zweryfikować na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę,że czas występowania
efektu świetlnego ma rozkład normalny.
7
5.Zbadano zależność między ilością pewnej substancji dodawanej do produkcji
wyrobu a jego wagą i otrzymując:
ilość substancji 1 2 4 6 7
waga wyrobu 52 53 48 50 52
a) czy istnieje zależność między ilością dodawanej substancji a wagą
wyrobu?
b) wyznaczyć równanie prostej regresji
c) obliczyć spodziewaną wagę wyrobu, gdy do produkcji dodamy 8 jednostek
substancji
d) obliczyć współczynnik korelacji rang Spearmana.
Odpowiedzi
zad.1 χ2 = 24.50, Q = (11.07, ∞), odrzucamy hipotezę
zad.2 χ2 = 2.8434,4 st.swobody Q = (11.141, ∞), nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy
zad.3 χ2 = 4.4107, 5 st.swobody Q = (13.277, ∞) , nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy
zad.4 χ2 = 52, 43, r=5, 2 st.swobody Q = (5.991, ∞) , odrzucamy hipotezę
zad.5 a) r=-0.27, b) y = −0.23x + 51.92
c) 50.08, d) rs = −0.275
8