Seminarium Stochastyczne, 9.11.2007 r., godz. 10.30, sala SS3

Prof. dr hab. Tomasz Bojdecki
Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Uniwersytet Warszawski
O ró»nych procesach zwi¡zanych z ÿczasami przebywania" ukªadów
cz¡stek
W chwili pocz¡tkowej mamy w Rd poissonowski ukªad cz¡stek z miar¡ intensywno±ci . Ka»da z cz¡stek, niezale»nie jedna od drugiej, podejmuje standardowy ruch -stabilny, po czasie wykªadniczym rozgaª¦zia si¦, ka»da z nowopowstaªych cz¡stek podejmuje taki sam ruch itd. Zakªada si¦, »e rozgaª¦zianie
jest krytyczne, o rozkªadzie zadanym przez parametr (0 < ¬ 1), dla = 1
rozgaª¦zianie jest binarne, dla mniejszych rozkªad rozgaª¦ziania ma drugi
moment niesko«czony.
W sposób naturalny deniuje si¦ ÿproces przebywania" dla tego ukªadu i
bada si¦ granice (wedªug rozkªadu, w S ) uktuacji tego procesu wokóª ±redniej, gdy przyspieszamy czas. Mo»na te» równocze±nie zwi¦ksza¢ g¦sto±¢ cz¡stek. Otrzymuje si¦ wielk¡ ró»norodno±¢ procesów granicznych, w zale»nosci od
wzajemnych relacji miedzy d; ; ; . W ka»dym przypadku, dla wymiarów ÿmaªych" dostaje si¦ proces o prostej strukturze przestrzennej (tzn. jednorodny), ale
o skomplikowanej strukturze czasowej, z zale»no±ciami dalekiego zasi¦gu. Natomiast dla d ÿdu»ych" w granicy pojawia sie proces o skomplikowanej strukturze
przestrzennej, ale o przyrostach niezale»nych (np. pewien proces Wienera w S ),
albo wr¦cz proces staªy.
W dowodach zbie»no±ci podstawow¡ rol¦ odgrywa wzór Feynmana-Kaca.
0
0