PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE {Ω,F,P}

PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE
{Ω, F, P } - przestrzeń probabilistyczna.
Niech B ∈ F , P (B) > 0.
Definicją. Funkcję P (·|B) : F → [0, 1] zadaną dla
dowolnego A ∈ F wzorem
P (A|B) =
P (A ∩ B)
,
P (B)
nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem B; liczbę P (A|B) nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem,
że zaszło zdarzenie B.
Uwaga 1. P (·|B) jest prawdopodobieństwem na F.
Uwaga 2. P (A|B) = P (A)
P (A)P (B).
⇐⇒
P (A ∩ B) =
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
H1, . . . , Hn ∈ F : ∪ni=1Hi = Ω; Hi ∩ Hj = ∅, i ̸= j;
P (Hi) > 0, i = 1, . . . , n. Wtedy dla dowolnego A ∈ F
P (A) =
n
∑
P (A|Hi)P (Hi).
i=1
1
Wzór Bayesa:
H1, . . . , Hn jak wyżej. Wtedy dla dowolnego A ∈ F,
P (A) > 0,
P (A|Hj )P (Hj )
,
P (Hj |A) = ∑n
i=1 P (A|Hi )P (Hi )
j = 1, . . . , n.
NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ
{Ω, F, P } - przestrzeń probabilistyczna.
Definicja. Mówimy, że zdarzenia A1, . . . , An ∈ F są
niezależne, jeśli dla k = 2, 3, . . . , n oraz dowolnych indeksów 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 n zachodzi
P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) = P (Ai1 ) · . . . · P (Aik ).
Definicja. Mówimy, że zdarzenia A1, . . . , An ∈ F są
niezależne parami, jeśli dla dowolnych dwóch zdarzeń
Ai, Aj , i ̸= j, zachodzi
P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai)P (Aj ).
Uwaga. P (A1∩A2) = P (A1)P (A2) ⇐⇒ albo przynajmniej jeden ze zbiorów ma zerowe prawdopodobieństwo,
albo P (A1|A2) = P (A1), P (A2|A1) = P (A2).
Niezależność =⇒ niezależność parami.
2
Odwrotna relacja nie zachodzi (przykład Bernsteina z
pomalowanym czworościanem foremnym).
SCHEMAT BERNOULLIEGO
Jest to seria n niezależnych doświadczeń losowych (niezależność rozumiemy w sensie, że wynik każdego doświadczenia nie ma wpływu na wyniki innych doświadczeń), takich że: w każdym doświadczeniu są tylko dwa
możliwych wyniki - sukces (oznaczany jako 1) i porażka
(oznaczana jako 0), przy czym prawdopodobieństwo
sukcesu p ∈ (0, 1) oraz porażki 1 − p są takie same
we wszystkich doświadczeniach.
Przestrzeń probabilistyczna to (Ω, F, P ), gdzie
Ω - zbiór n-wyrazowych ciągów złożonych z 0 i 1, #Ω = 2n;
F = 2Ω; P ({ωj }) = pk (1 − p)n−k , jeśli ciąg ωj , j =
1, . . . , 2n, posiada k jedynek (sukcesów).
Schemat Bernoulliego jest całkowicie określony poprzez
zadanie dwóch parametrów: n ∈ N oraz p ∈ (0, 1).
Oznaczmy przez Sn liczbę sukcesów w n doświadczeniach. Wówczas
( )
n k
P (Sn = k) =
p (1 − p)n−k ,
k = 0, 1, 2, . . . , n.
k
3
(n )
Nabór liczb b(n, p, k) = k pk (1−p)n−k , k = 0, 1, 2, . . . , n,
określa tzw. rozkład dwumianowy.
Liczby te posiadają własności:
• b(n, p, k) > 0, k = 0, 1, 2, . . . , n;
∑n
• k=0 b(n, p, k) = 1;
• b(n, p, k) = b(n, 1 − p, n − k).
Pytanie: Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba
sukcesów w n doświadczeniach?
Odpowiedź: jeśli (n + 1)p jest liczbą całkowitą, to
max P (Sn = k) = P (Sn = (n+1)p) = P (Sn = (n+1)p−1),
0≤k≤n
natomiast jeśli (n + 1)p nie jest liczbą całkowitą, to
max P (Sn = k) = P (Sn = [(n + 1)p]),
0≤k≤n
gdzie [x] oznacza część całkowitą (podłogę) liczby x,
tzn. [x] = max {k ∈ Z : k 6 x}.
Istotnie,
b(n, p, k + 1)
=
b(n, p, k)
(
)
pk+1(1 − p)n−k−1
(n − k)p
(n)
=
.
k
n−k
(k + 1)(1 − p)
k p (1 − p)
n
k+1
Ostatnie wyrażenie jest większe od 1, gdy k < (n+ 1)p−1,
oraz mniejsze od 1, gdy k > (n + 1)p − 1.
4